1、方法技巧專題12,函數單調性、極值、最值與導數問題（解析版） 方法技巧專題 12 函數單調性、極值、最值與導數問題 解析篇 一、函數單調性、極值、最值知識框架 二、函數單調性、極值、最值問題題型 【一】判斷函數單調性 1. 例題 【例 1 】已知函數 ( )xf x ax e = - 判斷函數 ( ) f x 的單調性。 【解析】由題意可求， ( ) xf x a e = - 1.當 0 a£ 時， ( ) ( ) 0, f x f x < 在 r 上為減函數； 2.當 0 a > 時，令 ( ) 0 f x > ，解得 x lna < , 令 ( ) 0 f

2、 x < ，解得 x lna > 于是 ( ) f x 在 ( ,ln a -¥ 為增函數，在 ln , ) a +¥ 為減函數； 【例 2 】已知函數2( ) ln1af x xx+= +，其中 ar，討論并求出 f(x)在其定義域內的單調區間 【解析】 ( )22 21 2 1( ) 1( 1) ( 1)af x x axx x x x+¢ = - = - + +，設 g(x)x 2 ax1， x0，當 a0 時，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立， 此時函數 f(x)在區間(0，)上單調遞增； 當 a0 時，222( ) 1 12 4

3、a ag x x ax xæ ö= - + = - + -ç ÷è ø. 當 124a0，即 0a2 時，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立，此時函數 f(x)在區間(0，)上單調遞增； 當 a2 時，方程 g(x)0 的兩根分別為2 21 24 4,2 2a a a ax x- - + -= =，且 0x 1 x 2 ， 當 x(0，x 1 )時，g(x)0，f(x)0，故函數 f(x)在(0，x 1 )上單調遞增； 當 x(x 1 ，x 2 )時，g(x)0，f(x)0，故函數 f(x)在(x 1 ，x 2 )上單調遞

4、減； 當 x(x 2 ，)時，g(x)0，f(x)0，故函數 f(x)在(x 2 ，)上單調遞增 綜上所述， 當 a2 時，函數 f(x)的單調增區間為 (0 ) ¥ ， ，沒有減區間； 當 a2 時，函數 f(x)的減區間為1 2( ) x x ， ；增區間為(0，x 1 )，(x 2 ，) 2. 鞏固提升綜合練習 【練習 1】 】已知函數 ( )xf x e = ， ( ) ( )21 0 g x ax x a = + + > .設 ( )( )( )g xf xf x=，討論函數 ( ) f x 的單調性； 【解析】因為2( ) 1( )( )xg x ax xf xf

5、x e+ += = ， 所以22 1(2 1)"( )x xaax xax a x af xe e- æ ö- -ç ÷- + -è ø= =， 若12a = ，2"( ) 0xaxf xe-= £ .( ) f x 在 r 上單調遞減. 若12a > ，則2 10aa-> ， 當 0 x< ，或2 1 axa-> 時， "( ) 0 f x < ，當2 10axa-< < 時， "( ) 0 f x > ， ( ) f x 在 ( ,0

6、) -¥ ，2 1 , aa- æ ö+¥ç ÷è ø上單調遞減，在2 10,aa- æ öç ÷è ø上單調遞增. 若102a < < ，則2 10aa-< ， 當2 1 axa-< ，或 0 x > 時， "( ) 0 f x < ，當2 10axa-< < 時， "( ) 0 f x > . ( ) f x 在2 1,aa- æ ö-¥ç

7、 ÷è ø， (0, ) +¥ 上單調遞減，在2 1 ,0 aa- æ öç ÷è ø上單調遞增. 【練習 2 】已知 x ax x x ax x f + - - =2 221ln ) ( ) ( ，求 ) (x f 單調區間. 【解析】該函數定義域為 ） ， （ ¥ + 0 （第一步：對數真數大于 0 求定義域） 令 x ax x f ln 1 2 ) ("） （ - = ，解得1 21, 12x xa= = （第二步，令導數等于 0，解出兩根2 1 ,xx ） （1）當

8、0 £ a 時，"(0,1), ( ) 0, ( ) x f x f x Î > 單調增，"(1, ), ( ) 0, ( ) x f x f x Î +¥ < 單調減 （第三步，1x在不在進行分類，當其不存在得到0 £ a；第四步數軸穿根或圖像判斷正負） （2）當 121=a時即21= a"(0, ), ( ) 0, ( ) x f x f x Î +¥ > 單調增， （第五步，x 1 在區間時，進行比較大小，當2 1x x = 得到21= a 第四步圖像判斷正負） 當 12

9、10 < <a時，即21> a "1(0, ), (1, ) ( ) 0, ( )2x x f x f xaÎ Î +¥ > 單調增，"1 ,1, ( ) 0, ( )2x f x f xaÎ < 單調減 （當2 1x x < 得到21> a ；第四步圖像判斷正負） 當 121>a時，即210 < < a "1(0,1), ( , ) ( ) 0, ( )2x x f x f xaÎ Î +¥ > 單調增，"11, ,

10、( ) 0, ( )2x f x f xaÎ < 單調減 （2 1x x > 得到210 < < a ；第四步圖像判斷正負） 綜上可知： 0 £ a ，"(0,1), ( ) 0, ( ) x f x f x Î > 單調增，"(1, ), ( ) 0, ( ) x f x f x Î +¥ < 單調減； 21= a ，"(0, ), ( ) 0, ( ) x f x f x Î +¥ > 單調增 21> a"1(0, ), (1, )

11、( ) 0, ( )2x x f x f xaÎ Î +¥ > 單調增，"1 ,1, ( ) 0, ( )2x f x f xaÎ < 單調減 210 < < a ，"1(0,1), ( , ) ( ) 0, ( )2x x f x f xaÎ Î +¥ > 單調增，"11, , ( ) 0, ( )2x f x f xaÎ < 單調減 【二】根據單調性求參數 1. 例題 例 【例 1】 】（1）若函數2( ) 2( 1) 2 f x x a x =

12、 + - + 在區間 ( ,4 -¥ 上是減函數，則實數 a 的取值范圍是 . （2）函數 ( ) ( )22 4 4xf x e x x = - - 在區間 ( ) 1, 1 k k - + 上不單調，實數 k 的范圍是（ ） （3）若函數( ) ( )212log 4 5 f x x x = - + +在區間 ( ) 3 2, 2 m m - + 內單調遞增，則實數 m 的取值范圍為 . （4）若函數 ( )2ln f x ax x x = + - 存在增區間，則實數 a 的取值范圍為 . 【解析】（1）因為函數2( ) 2( 1) 2 f x x a x = + - + 的單調

13、減區間為 ( ,1 a -¥ -， 又函數( ) f x 在區間 ( ,4 -¥ 上是減函數，則 ( ,4 -¥ Í ( ,1 a -¥ -，則 1 4 a - ³ ，解得： 3 a£- ， （2） ( ) ( )22 4 4xf x e x x = - - q ， ( ) ( )22 8xf x e x ¢ = - ，令 ( ) 0 f x ¢ = ，得 2 x=± . 當 2 x<- 或 2 x> 時， ( ) 0 f x ¢ > ；當 2 2 x - <

14、< 時， ( ) 0 f x ¢ < . 所以，函數 ( ) y f x = 的極大值點為 2 - ，極小值點為 2 . 由題意可得 1 2 1 k k - <- < + 或 1 2 1 k k - < < + ，解得 3 1 k - < <- 或 1 3 k < < . （3）由24 5 0 x x - + + >，即24 5 0 x x - - <，解得 1 5 x - < < . 二次函數24 5 y x x = - + + 的對稱軸為 2 x = . 由復合函數單調性可得函數( ) ( )21

15、2log 4 5 f x x x = - + +的單調遞增區間為 ( ) 2,5 要使函數( ) ( )212log 4 5 f x x x = - + +在區間 ( ) 3 2, 2 m m - + 內單調遞增， 則 ( ) ( ) 3 2, 2 2,5 m m - + Í ，即3 2 22 53 2 2mmm m- ³ ìï+ £íï- < +î，解得423m £ < . （4）若函數 ( ) f x 不存在增區間，則函數 ( ) f x 單調遞減， 此時 ( )12 1 0 f x ax

16、x¢ = + - £ 在區間 ( ) 0, ¥ + 恒成立， 可得21 12ax x£ - ，則221 1 1 1 1 12 4 4 x x xæ ö- = - - ³ -ç ÷è ø，可得18a £ - ， 故函數存在增區間時實數 a 的取值范圍為1,8æ ö- +¥ç ÷è ø 例 【例 2】 】已知函數3 2( ) 3 ( ) f x ax x x x = + - Îr 恰有三個單調區間，則實數 a 的取值范圍為（ ） a ( ) 3, - +¥ b ( ) ( ) 3,0 0, -+¥ c ( ) ( ) ,0 0,3 -¥ d ) 3, - +¥ 【解析】（1）2"( ) 3 6 1 f x ax x = + - ，( ) f x 有三個單調區間，036 12 0aa¹ ìí d =+ >î，解得 3 a>- 且0 a ¹ 故選 b 2. 鞏固提升綜合練習 習 【練習 1】 】函數3 21( )3f x ax x a = - + 在 1,2 上