1、.導數的涵義及其應用的幾點說明導數，既能深刻地表示函數變化的規律自然就成為研究函數的重要工具。下面就導數的概念及其在解題中的應用做一下詳細的闡述，其中重點探討一下函數的單調性、極值、凸凹性以它們的應用。一、 數的引入 導數是由速度問題和切線問題抽象出來的數學概念。又稱變化率。如一輛汽車在10小時內走了 600千米，它的平均速度是60千米小時，但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置x與時間t的關系為f（xt），那么汽車在由時刻很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車

2、在t0 到 t1這段時間內的運動變化情況 ，自然就把極限變到這段時間內的平均速度是，當與很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在 到這段時間內的運動變化情況 ，自然就把極限  作為汽車在時刻的瞬時速度，這就是通常所說的速度。一般地，假設一元函數 在 點的附近內有定義，當自變量的增量時函數增量 與自變量增量之比的極限 存在且有限，就說函數f在點可導，記作，稱之為f在點的導數（或變化率）。若函數f在區間I 的每一點都可導，便得到一個以I為定義域的新函數，記作，稱

3、之為f的導函數，簡稱為導數，導數的概念就是函數變化率這一概念的精確描述。函數在點的導數的幾何意義：，表示曲線l 在 點的切線斜率。導數的符號有，等，通常用得較多的是和。二、下面舉幾個求求導數的例子求導數的幾種方法：1. 用定義：2. 有理運算： （）3. 反函數：設函數在點可導，且，又在點附近嚴格單調且連續，則其反函數在點可導，且4. 隱函數：5. 參數方程6. 對數方法： 7. 高階導數：8. 不可導性               f(x)在x

4、=x0處不連續 在x0處左右導數至少有一個不存在 左右導數存在但不相等9. 可導必可微 求導例解： 例一設求解：令令例二.設解：易求出用歸納法可證明：三、導數的應用1. 函數的單調性我們可以用初等代數的方法討論函數的單調性，但是，由于方法的限制，這些討論既不全面又不深入，并且計算煩瑣不易掌握規律。這里導數為我們更廣泛更深入地研究函數的單調性提供了有利的工具。單調性的充要條件：定理1：若函數在內可導，則函數在內單調增加（或單調減少）的充要條件是：在內，（或）。定理2：（嚴格單調的充分條件）若在區間內（或），則函數在內嚴格單調增加（嚴格單調減少）。定理3：設函數在內可導，則函數在內嚴格單調增加（或

5、嚴格單調減少）的充要條件是：若（非退化）區間則至少有一點，使。單調性判定定理的應用與單調區間的求法：前三個定理用導數刻畫了函數的單調性要討論函數的嚴格單調性，只需要求出該函數的導數，確定它的函數取正的區間和負的區間。實際上，只要求出這些函數的分界點。對于可導函數有定理：定理4：若函數在內可導，為內的一點，在的符號與在內的相反，則推論：若函數在內可導，其導數在內恒不為零，則在內保持相同的符號。可導函數的嚴格單調區間的分界點應是方程的根，對于一般的函數嚴格單調區間的分界點，不是方程的根，就是導函數的根。根據以上定理可得，討論函數的嚴格單調性的步驟是：（1） 確定函數的定義域；（2） 求導數，并求出

6、的根及的根，并按從小到大的順序排列.作為分界點；（3） 用分界點將定義域分成若干個開區間，并確定在每個區間內的符號；（4） 若在某區間內，那么在此區間內嚴格增加，否則嚴格減少。例1. 討論函數的單調性，并求出單調區間。解：函數的定義域為，對此函數求導，得：令，得。因為在內，故函數在是單調減少的。又因為在區間內，所以函數在內是單調增加的。例2. 討論函數的單調性。解：該函數的定義是的實數， 令得，它們將定義域分成四個開區間 ， 因為，于是 由定理2知，函數在區間與內嚴格增加；在區間與內嚴格減小。作表如下：+-+2. 函數的極值及判別法函數的極大與極小：一個連續函數，如果在以前是增大的，而以后是減

7、小的，則在這一點有一個極大值；反之一個連續函數，如果在以前是減小的，而以后是增大的，則在這一點有一個極小值。函數的這種極大極小值，不論對研究函數的性質，還是解決某些實際問題，都是很有價值的。下面我們就來具體研究一下函數的極值問題。定理1：設函數在點可導，則在取得極值的必要條件是。定理2：（第一判別法）設函數在點連續，在內可導，則如果在時，而在時，那么在點取得極大值；如果在時，而在時，那么在點取得極小值；如果在與時，有相同的符號，那么在點沒有極值；定理3：（第二判別法）設為的穩定點且存在且不等于零，則如果，那么在點取得極大值；如果，那么在點取得極小值。定理4：（第三判別法）如果在點的一階，二階，直到階的導數都等于零，但，則 當n為奇數時，在點沒有極值； 當n為偶數時，若 ，則在點取得極小值；而當時，在點取得極大值。我們可以把求一個函數極值的方法歸結為： 確定函數的定義域，求其導數； 令，求出函數的所有穩定點和導數不存