1、數列綜合復習一、數列的概念 知識清單1. 數列的定義（一般定義，數列與函數）、數列的表示法.2. 數列的通項公式.3. 求數列通項公式的一個重要方法：對于任一數列,其通項和它的前n項和之間的關系是 例.（1）已知數列的前n項和公式，求的通項公式 ；例2.（1）已知數列的前n項和公式，求的通項公式 ； 例3.（1）已知數列，()，寫出這個數列的前4項，并根據規律，寫出這個數列的一個通項公式，并加以證明. （2）數列中，前n項和滿足，求數列的通項公式. 二、等差數列知識清單1、等差數列定義：一般地，如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等

2、差數列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。2、等差數列的通項公式：；說明：等差數列（通常可稱為數列）的單調性：為遞增數列，為常數列， 為遞減數列。3、等差中項的概念：定義：如果，成等差數列，那么叫做與的等差中項。其中 ，成等差數列。4、等差數列的前和的求和公式：。5、等差數列的性質：（1）在等差數列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數列中，相隔等距離的項組成的數列是， 如：，；，；（3）在等差數列中，對任意，；（4）在等差數列中，若，且，則；（5）在等差數列中，若m+n=2p,則（6）連續n項的和仍成等差數列.特殊說明：設數列是等差數列，且公差為，（）若項數

3、為偶數，設共有項，則奇偶； ；（）若項數為奇數，設共有項，則偶奇；。6、數列最值（1），時，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函數最值的求法（）；若已知，則最值時的值（）可如下確定或。練習1設Sn是數列an的前n項和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數列，但不是等差數列B.等差數列，但不是等比數列C.等差數列，而且也是等比數列D.既非等比數列又非等差數列2設是公差為正數的等差數列，若，則（ ）A B C D3若一個等差數列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列有（ ）A.13項B.12項C.11項D.10項4設數列an是遞增等差數

4、列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ）A.1 B.2 C.4 D.65設Sn是等差數列an的前n項和，若，則A B C D6設an為等差數列，Sn為數列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數列的前n項和，求Tn。等比數列知識清單1等比數列定義一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母表示，即：數列對于數列（1）（2）（3）都是等比數列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項起”、“常數”、等比數列的公比和項都不為零）2等比數列通項公式為：。說明：（1）由等比數列

5、的通項公式可以知道：當公比時該數列既是等比數列也是等差數列；（2）等比數列的通項公式知：若為等比數列，則。3等比中項如果在中間插入一個數，使成等比數列，那么叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實數，都有兩個等比中項）。4等比數列前n項和公式一般地，設等比數列的前n項和是，當時， 或；當q=1時，（錯位相減法）。說明：（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（3）應用求和公式時，必要時應討論的情況。5等比數列的性質等比數列任意兩項間的關系：如果是等比數列的第項，是等差數列的第項，且，公比為，則有； 于等比數列，若，則.若數列是等比數列，是其前n項的和，那么，成等

6、比數列。如下圖所示：練習1在等比數列中,則 2和的等比中項為( ) . 3 在等比數列中，求，4在等比數列中,和是方程的兩個根,則( ) 5. 在等比數列，已知，求.6（2006年遼寧卷）在等比數列中,前項和為,若數列也是等比數列，則等于（ ）A B C D7（2006年北京卷）設，則等于（ ）AB C D8（2009全國文，21）設等比數列an的前n項和為Sn，若S3S62S9，求數列的公比q；9（2005江蘇3）在各項都為正數的等比數列an中，首項a13，前三項和為21，則a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189四、數列通項與求和知識清單1數列求通項（1）數列前n

7、項和Sn與通項an的關系式：an= 。（2）求通項常用方法練習1、 已知數列滿足，求數列的通項公式.2、已知數列，()，（1）求出這個數列的前4項；（2）求這個數列的通項公式。3、(1) 已知數列滿足，求數列的通項；(2) 已知數列滿足，求數列的通項。解：（1）由已知得，則 ，即是首項為3，公比為3 的等比數列，（2）由已知得，則 ， 即是首項為,公差為 的等差數列， 2、數列前n項和重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差數列中， 比數列中， 裂項相消求和 倒序相加求和分組求和把數列的某些項放在

8、一起先求和，然后再求Sn。數列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。 練習1：數列的前項和（1）試寫出數列的前5項；（2）數列是等差數列嗎？（3）你能寫出數列的通項公式嗎？2.設函數,計算和_.答案：1004解析：由于.設,又,.S=1004.3、設數列的前n項和為Sn=2n2，求數列的通項公式；4、數列an的前n項和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數列an的通項公式 5、已知數列的首項前項和為，且，證明數列是等比數列6、已知等差數列滿足，（I）求數列的通項公式；（II）求數列的前n項和解：（I）設等差數列的公差為d，由已知條件可得解得故數列的通項公式

9、為 5分 （II）設數列的前n項和為，即，故，所以，當時， ，所以 綜上，數列的前n項和為 12分數列練習一：1：一個等比數列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為（ ）A83 B108 C75 D632、一個等差數列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為 。3、等比數列的各項為正數，且（ ） A12 B10 C8 D2+4：設數列是單調遞增的等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ）A1 B.2 C.4 D.85、在各項都為正數的等比數列中，首項，前三項和為21，則A 33 B 72 C 84 D 1896：已知是等差數列，其中，公差。（1）求數列的

10、通項公式，并作出它的圖像；（2）數列從哪一項開始小于0？（3）求數列前項和的最大值，并求出對應的值7、已知是各項不為零的等差數列，其中，公差，若,求數列前項和的最大值8、在等差數列中，求的最大值9、已知數列和，設，求數列的前項和10、（2011全國1文21）設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，（）求，的通項公式；（）求數列的前n項和11設等比數列的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數列，則q的值為 .12、已知數列的通項公式為，求前項的和；13、已知數列的通項公式為，求前項的和14、已知數列的通項公式為，設，求數列練習二：1（11重慶文）在等比數列an中，a28

11、，a164，則公比q為（A）2（B）3（C）4（D）82（10重慶理）若等差數列的前三項和且，則等于（ ）A3 B.4 C. 5 D. 63設為公比q>1的等比數列，若和是方程的兩根，則_.4（09北京理）設等差數列的公差不為0，若是與的等比中項，則（）24685等差數列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和Sn=100,則n=(A)9(B)10(C)11(D)126.等差數列an的前n項和為Sn，若（A）12（B）18（C）24（D）427（全國2文）已知數列的通項，則其前項和 8（07全國1理）等比數列的前項和為，已知，成等差數列，則的公比為 9已知是等差數列，其前10項和，

12、則其公差（）0已知成等比數列，且曲線的頂點是，則等于（）32111已知是等差數列，其前5項和，則其公差12設等差數列的前項和為，若，則（ ）A63B45C36D27數列練習三：1已知等差數列的前項和為，若，則2在等比數列（）中，若，則該數列的前10項和為（ ）ABCD3（09北京理）已知兩個等差數列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數的正整數的個數是（ ）A2B3C4D54（07廣東理）已知數列的前項和，第項滿足，則 A B C. D5已知數列的前項和，則其通項 ；若它的第項滿足v，則 6數列的前項和為，若，則等于（ ）A1BCD7等比數列中，則等于（）8若數列的前項和，則此數列的通項公式為

13、；數列中數值最小的項是第項9若數列的前項和，則此數列的通項公式為10等差數列的前項和為若（A）12（B）10（C）8（D）611設等差數列的前項和為，若，則（ ）A63B45C36D2712數列中，（是常數，），且成公比不為的等比數列（I）求的值；（II）求的通項公式13. 等比數列的前n 項和為，已知,成等差數列（1）求的公比q；（2）求3，求 解：（）依題意有 由于 ，故 又，從而 （）由已知可得 故 從而 14. 設數列an的前n項和為Sn，且滿足Sn=2-an，n=1，2，3，.()求數列an的通項公式；()若數列bn滿足b1=1，且bn+1=bn+an，求數列bn的通項公式；()設c

14、n=n(3-bn)，求數列cn的前n項和Tn.解：()n=1時，a1+S1=a1+a1=2a1=1 Sn=2-an即an+Sn=2 an+1+Sn+1=2兩式相減：an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=anan0 (nN*)所以，數列an為首項a1=1，公比為的等比數列.an=(nN*)()bn+1=bn+an(n=1，2，3，)bn+1-bn=()n-1 得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2bn-bn-1=()n-2(n=2，3，) 將這n-1個等式相加，得bn-b1=1+又b1=1，bn=3-2()n-1(n=1，2，3，)()cn=n(

15、3-bn)=2n()n-1 Tn=2()0+2()+3()2+(n-1)()n-2+n()n-1 而 Tn=2()+2()2+3()3+(n-1) -得：Tn=8-(8+4n)(n=1，2，3，) 15. 已知數列中，且對時有（）設數列滿足，證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；（）記，求數列的前n項和（） 證明：由條件，得，則即，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數列 ，所以兩邊同除以，可得于是為以首項，為公差的等差數列所以（），令，則而 ，令Tn，則2Tn ，得Tn，Tn16. 已知點滿足：，且已知 （1）求過點的直線的方程； （2）判斷點與直線的位置關系，并證明你的結論；解：（1）由，得： 顯然直線的方程為 （2）由，得： 點，猜想點在直線上，以下用數學歸納法證明： 當n2時，點 假設當時，點，即 當時， 點 綜上，點17、=, =,（1）求證：為等差數列； (2) 若,問是否存在, 對于任意（），不等式成立.解（1） 為等差數列 （2） 18.設數列的前項和為，。（1）求證：數列為等差