1、1 課后限時(shí)集訓(xùn)(四十五) (建議用時(shí)：60 分鐘) A 組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1. (2019州模擬)若一個(gè)圓的圓心為(0,1),且該圓與直線 y= x+ 3 相切， 則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是() A. x2 + (y- 1)2= 2 B . (x- 1)2+ y2= 2 C. x2 + (y- 1)2= 4 D . (x- 1)2+ y2= 4 A 由于圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x2+ (y-1)2 = r2(r0),因?yàn)樵?圓與直線y= x+ 3 相切，故 r = 122 = . 2,故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x2+ (y- 1)2= 2.故 選 A. 2. (2019 昆明摸底調(diào)研)

2、直線 I: x-y= 0 與圓 C: (x- 2)2 + y2= 6相交于 A, B 兩點(diǎn)，貝U |AB|=( ) A. 2 B. 4 C. .2 D. 6 B 由題意知，圓 C 的圓心為 C(2,0)，半徑為.6,圓心 C 到直線 I 的距離 為.2,所以 |AB|= 2“6 2 - ,2 2 = 4,故選 B. 3. 已知圓 01的方程為 x2 + y2= 4,圓 02的方程為(x-a)2+ y2= 1,如果這兩 個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么 a 的所有取值構(gòu)成的集合是() A. 1 , - 1 B . 3 , - 3 C. 1 , - 1,3,- 3 D . 5 , - 5,3,- 3

3、C 因?yàn)閮蓤A有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩個(gè)圓內(nèi)切或外切，內(nèi)切時(shí)， |a| =1;外切時(shí)，|a 匸 3,所以實(shí)數(shù) a 的取值集合是1 , - 1,3,- 3. 4. 已知直線 l: kx-y-3 = 0 與圓 O: x2 + y2= 4 交于 A, B 兩點(diǎn)，且 OA OB= 2,則 k=( ) A. 2 B . . 2 c. . 2 2 D. .2 2 B 圓 O: x + y = 4 的圓心為（0,0），半徑為 2, 設(shè) OA 與 OB 的夾角為 9,貝 u 2X 2X cos 9= 2, 1 n 解得 cos 9= 2， 9= 3， 圓心到直線 I 的距離為 2cosn= 3， | 3| 廠

4、 可得 2= 3，解得 k= , 2. _1 + k 5. 已知過(guò)原點(diǎn)的直線 I 與圓 C: x2+ y2 6x+ 5= 0 相交于不同的兩點(diǎn) A，B， 且線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 D（2， 2），則弦長(zhǎng)為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 A 將圓 C: x2 + y2 6x+ 5 = 0,整理得其標(biāo)準(zhǔn)方程為（x 3）2 + y2 = 4，圓 C 的圓心坐標(biāo)為（3,0），半徑為 2.V線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 D（2， 2）， |CD|= -_ 1 + 2= 3， |AB|= 2 4 3 = 2.故選 A. 二、填空題 6. （2019 南京模擬）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若

5、直線 ax+ y 2 = 0 與圓C: （x 1）2+ （y a）2= 16 相交于 A，B 兩點(diǎn)，且厶 ABC 為直角三角形，則實(shí)數(shù) a的值 是 _ . 1 由題意知，圓 C 的半徑是 4, ABC 為直角三角形，則圓心 C（1，a） 廠 |a+ a 2| 廠 到直線 ax+ y2 = 0 的距離為 2 2，所以一2=2 2,解得 a= 1. W2 + 1 7. （2019 蘭州月考）點(diǎn) P 在圓 C1: x2 + y2 8x 4y+ 11 = 0 上，點(diǎn) Q 在圓C2： x2+ y2 + 4x+ 2y+ 1 = 0 上，則 |PQ|的最小值是 _. 3 3 5 5 把圓 C1、圓 C2的方

6、程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得4 2 2 2 2 (X 4)2 + (y 2) = 9, (x+ 2)2 + (y + 1)2= 4. 圓 Ci的圓心坐標(biāo)是(4,2),半徑長(zhǎng)是 3; 圓 C2的圓心坐標(biāo)是(一 2, 1),半徑是 2. 圓心距 d=“ : 4 + 2 2+ 2+ 1 2 = 3 55. 故圓 Ci與圓 C2相離，所以|PQ|的最小值是 3 5 5. 8若O O: x2 + y2 = 5 與O Oi: (x m)2 + y2= 20(m R)相交于 A, B 兩點(diǎn)且 兩圓在點(diǎn) A 處切線互相垂直，則線段 AB 的長(zhǎng)度是_ 4 由題意O O1與O O 在 A 處切線互相垂直，則兩切線分別過(guò)另

7、一圓圓心， OA 丄 OA. 又 OA|= .5, |O1A|= 2.5, |O1O|= 5. 又 A, B 關(guān)于 010 所在直線對(duì)稱， AB 是 Rt OAO1斜邊上高的 2 倍. V5x 2/5 AB 匸 2X 5 = 4. 三、解答題 9已知圓 C 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2, 1),和直線 x+ y= 1 相切，且圓心在直線 y= 2x 上. (1) 求圓 C 的方程； (2) 已知直線 I 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且被圓 C 截得的弦長(zhǎng)為 2,求直線 I 的方程. 解(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為 C(a, 2a), 化簡(jiǎn)，得 a2 2a+ 1 = 0,解得 a= 1. C(1, 2),半徑 r = |AC= 1

8、2 2+ 2+ 1 2= 2. 貝曠a 22+ 2a + 1 2 = |a 2a1| 廠 5 圓 C 的方程為(x 1)2+ (y+ 2)2= 2. (2)當(dāng)直線 I 的斜率不存在時(shí)，直線 I 的方程為 x= 0, 此時(shí)直線 I 被圓 C 截得的弦長(zhǎng)為 2,滿足條件. |k+ 2| 當(dāng)直線 I 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 I 的方程為 y= kx,由題意得 - =1, 寸 1 + k2 3 解得 k= 4, 3 直線 I 的方程為 y= 3X. 3 綜上所述，直線 I 的方程為 x= 0 或 y= 4X. 10. (2018 河北邢臺(tái)月考)已知圓 C 的方程為 x2+ (y4)2= 1,直線 I 的

9、方程 為 2x y= 0,點(diǎn) P 在直線 I 上，過(guò)點(diǎn) P 作圓 C 的切線 FA, PB,切點(diǎn)為 A, B. (1) 若/ APB= 60求點(diǎn) F 的坐標(biāo)； (2) 求證：經(jīng)過(guò) A, P, C(其中點(diǎn) C 為圓 C 的圓心)三點(diǎn)的圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并 求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo). 解(1)由條件可得圓 C 的圓心坐標(biāo)為(0,4), |PC|= 2, 設(shè) P(a,2a),貝 U- ；a2 + 2a 4 2= 2,解得 a= 2 或 a=|, 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2,4)或 5，12 . (2)設(shè) P(b,2b),過(guò)點(diǎn) A, P, C 的圓即是以 PC 為直徑的圓，其方程為 x(x b) + (y 4)(y

10、2b)= 0,整理得 x2 + y2 bx 4y 2by+ 8b= 0,即(x2 + y2 4y) b(x + 2y 8)= 0.6 該圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,4)和 5 16 . B 組能力提升 1.已知兩點(diǎn) A( m,0)和 B(2+ m,0)(m0),若在直線 I: x+ , 3y 9= 0 上存 在點(diǎn) P,使得 FAXPB,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( ) A. (0,3) B . (0,4) C. 3,+x) D . 4 ,+x) C 因?yàn)?A( m,0),B(2 + m,0)(m0),所以以 AB 為直徑的圓的圓心為(1,0), 半徑為 1 + m,即方程為(x 1)2 + y2= (1

11、+ m)2. 若直線 I: x+ 3y 9 = 0 上存在點(diǎn) P,使得 PAX PB, 則直線 I 與圓有公共點(diǎn). |1 9| 2 三 1+ m,解得 m3. 2. (2019 達(dá)州聯(lián)考)若圓(x 3)2 + (y+ 5)2 = r2有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線 4x 3y =2的距離等于 1,則半徑 r 的取值范圍是( ) A. (4,6) B . (4,6 C. 4,6) D. 4,6 A 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)(3, 5), 則圓心(3, 5)到直線 4x 3y=2 的距離 d= 3 25 = 5. 若圓(x 3)2 + (y+ 5)2= r2有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線 4x 3y= 2 的距離等于

12、 1, -2 2 x + y 4y= 0, 由彳 x+ 2y 8 = 0, 得 x=0, y=4 或 8 x= 5, y=字， 7 則滿足 d 1vrvd+ 1,即卩 4vrv6,故選 A. 2 2 2 15 3 .若直線 xsin + ycos 0= 1 與圓 x + y 2x 2ycos 0+ cos 0+ 池=0 相切,2 4, 8 且B為銳角，則這條直線的斜率是 _ 一 圓 x1 2 + y2 2x 2ycos 0+ cos2 0+ 曙二 0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x 1)2+ (y 2 1 1 cos 0= 16，圓心為(1, cos 0,半徑為 4,由題意得，圓心到直線的距離 d= 1

13、2 1 2 4,所以|sin 0- sin 0 = 4.因?yàn)?為銳角， 所以0 sin 0 sin 0 1，sin2 0 sin 0+ 4= 0，解得 sin 0= ，故 cos A，所以直線 xsin 1 - sin 0 2 V3 cos 0= 3= 3 . 2 xOy 中，已知圓 C: x2+ 1 若直線 I 平行于 AB，與圓 C 相交于 M，N 兩點(diǎn)，|MN|= |AB|，求直線 I 的方程； 2 在圓 C 上是否存在點(diǎn) P,使得|FA|2 + |PBf= 12?若存在，求點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)； 若不存在，說(shuō)明理由. 解(1)圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 2)2+ y2 = 4,所以圓心 C(2

14、,0),半徑為 2.因?yàn)?0+ ycos 0 =1 的斜率 k= I / AB, A( 1,0), B(1,2),所以直線 I 的斜率為 2 0 1 1.設(shè)直線 I 的方程為 x 2 |1 x sin 0+ cos 01| 4. (2018 江蘇南通模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 2 y 9 =22+ 22= 2 2,而|CMf = d2 + 哆， 所以 4 = 2+ m2 + 2，解得 m= 0 或 m |2 0 + m| |2+ m| y+ m= 0,則圓心 C 到直線 I 的距離為 d=一乙=2一.因?yàn)閨MN|= |AB| 故直線 I 的方程為 x y= 0 或 x y 4= 0. (2)假設(shè)圓 C 上存在點(diǎn) P,設(shè) P(x, y)，則