1、第十一章 微分方程例1 求通解為的微分方程，其中、是任意常數分析 所給通解表達式中含兩個任意常數，故所求的方程應該是二階的解 由，解得，將代入整理得，此即為所求微分方程例2 試證是方程的解，但不是它的通解，其中是任意常數分析 這類題驗證所給函數是相應微分方程的通解或解，只需求出函數的各階導數，代入微分方程，看是否使微分方程成為恒等式證 可以寫成，記，則有，將其代入方程得左端 右端，所以是方程的解，由于解中只含有一個獨立的任意常數，故它不是該方程的通解注 需要弄清楚解、通解的定義，通解中獨立常數的個數應與方程的階數相同例3 求下列微分方程的通解：（1）； （2）分析 在求解微分方程時，首先要判斷

2、方程的類型，然后根據不同類型，確定解題方法解 （1）方程兩端同時除以，則有，積分得，故通解為，令，則，而是方程的解，如果在上述通解中允許，則也包含在該通解中，因而，原方程的通解是，其中是任意常數（2）令則有，代入原方程得，即，所以，分離變量得，于是，即有，得通解（這里）注1 如果題目要求是求方程的所有解，本題（1）中，當用去除方程時，可能導致方程失去滿足的解，即，所以要對此解進行分析注2 當方程中出現等形式的項時，相應地，通常要做如下一些變量替換，等例4 解方程 ，并求滿足初始條件時的特解解 分離變量得 ，兩邊積分則有，從而可得通解為（其中是任意常數）另外，方程還有解，不包含在該通解中，故需補

3、上為了求特解，將代入通解得，故所求的特解為例（01研） 設函數在內連續(xù)，且對任意有，求分析條件給出了一個積分方程且含有變上限積分，通常是對積分方程兩邊求導，將積分方程轉化為解微分方程解此微分方程，并利用已知條件即可求出函數解在等式兩端關于求導，得，令可得，由于，從而有，對上式兩端關于求導，得，即，所以，將代入上式，得，故例6（98研） 已知函數在任意點處的增量，且當時，是的高階無窮小，則等于（ ）A BC D分析由微分定義及原題設可知， 解此方程可求得， 進而可求得解法1 由于，且當時，是的高階無窮小，由微分的定義可知，即，兩邊積分得即，其中由，則有于是 故選D解法2 等式兩邊除以并令，得，即

4、 以下過程同解法1例7求方程的通解分析原方程可化為齊次方程；也可寫成；還可換元令解法1 將方程化為齊次方程，令，則有，代入原方程得，即，于是，積分得，將代入該式，故通解為（這里）解法2原方程可寫成， 為時對應的伯努利方程， 令，得線性方程， 由一階非齊次線性方程的通解公式可得，其中積分求出并代入得通解，其中取任意常數解法3 令，則可得即，積分得，即有，其中為任意常數例8 求微分方程的解分析 這是一階非齊次線性方程，可用常數變易法，也可直接利用公式解法1 套用公式直接求其通解這里，將其代入公式，得原方程的通解為解法2用常數變易法求其通解，其對應的齊次線性方程為，分離變量后求得其通解為，假設是原方

5、程的解，代入原方程得，積分則有，故原方程的通解為例9求微分方程的解解法1原方程化為，此為齊次方程，令，得，分離變量有， 積分得，將代入上式得該方程通解為解法2原方程可變形為，此為一階線性非齊次方程，其中，由一階線性非齊次方程的通解公式，可求得通解為例10設曲線積分與路徑無關，其中具有一階連續(xù)導數且，且不恒等于零，則等于（ ）A B C D分析由曲線積分與路徑無關的充分必要條件可知，從而可得關于的微分方程，解此微分方程即可解 由題設可得于是結合不恒等于零，即得，解得由得 故有，故選B例11（00研） 設對于半空間內任意光滑有向封閉曲面都有，其中函數在內具有連續(xù)的一階導數，且，求解 不失一般性，假

6、設曲面取外側，設所圍成的立體為，根據高斯公式，有 ，由的任意性，知，即，此為一階線性非齊次方程，解得其通解為又，故，即有，得，于是例12求方程的通解分析原方程可寫成，這是時的伯努利方程解令，得 ，代入原方程則有，即，此為一階線性非齊次方程，利用一階線性非齊次方程的通解公式求得其通解為，于是得，即為原方程的通解例13判斷下列方程是否為全微分方程，并求出其解（1）； （2）分析方程為全微分方程的充要條件是如果不是全微分方程，此時若存在一個積分因子，使得是全微分方程，則方程可轉化為全微分方程來求解解 （1）這里由于，該方程是全微分方程設則即為所求的通解，以下用三種方法來求解法1選擇積分路徑為折線路徑

7、：則 解法2方程左端，所以解法3由于，則，其中為待定的可微函數，上式兩端分別對求導，得由得，所以故可取，故由上面的任意一種方法都可以解得此方程的通解為（其中C為任意的常數）（2），原方程不是全微分方程可考慮尋求原方程的積分因子 解法1 原方程可化為，此時，方程的左端有積分因子、等由于右端只有，故取為積分因子，即有，從而可得其通解為此外，亦為原方程的解解法2原方程可寫為即，此為齊次方程，令，則有，即，得其通解為，于是原方程通解為另外，也是原方程的解解法3將看成是以為自變量的函數，原方程可化為線性方程，求得其通解為此外，易見也是原方程的解例14求滿足初始條件的解分析 該方程為型可降階的高階微分方程

8、，方程的右端僅含有自變量， 將作為新的未知函數，原方程則為新未知函數的一階微分方程，兩邊積分得關于的階微分方程依此法連續(xù)積分次可得原方程的含有個任意常數的通解解兩端積分得，又，則得，故，對其積分得，將代入上式，得，于是，對該式再次積分得，由于，可得，故所求的特解為注 在此類題目中，一般若出現任意常數，可依據初始條件逐步確定，使后面的運算簡化若先求出通解，再由初值條件定特解也可以，只是計算將會麻煩一點例15（00研）微分方程的通解是 分析 該方程中不顯含，可以看成是型的可降階微分方程；另外原方程可化為歐拉方程解法1 方程屬于型的可降階微分方程令， 則，原方程化為一階線性方程，即，其通解為，再對其

9、積分得通解為 解法2 原方程可化為歐拉方程令，則原方程可化為求得其通解為例16（02研） 微分方程滿足初始條件，的特解是 分析 該方程中不顯含，可以看成是型的可降階微分方程；另外原方程可化為解法1 此微分方程屬于型令，則，于是原方程為，得或前者不滿足初始條件，故由后者得， 即由初始條件當時，于是，則有，即積分得由初始條件得 故所求特解為解法2 由得從而余下解法同解法1例17 設線性無關的函數、都是二階非齊次線性方程的解，其中是任意常數，則該非齊次方程的通解是（ ）A BC D解 非齊次線性方程通解的結構是對應齊次線性方程的通解加上非齊次線性方程自身的一個特解A項當時，不是方程的解，當然就不會是

10、通解，顯然不對；B項寫成，與是齊次方程的解，因而不是非齊次方程的通解，也不對；C項將代入方程左邊得，因而當時，不是該方程的解，故也不是通解；D項寫成，與是齊次方程的兩個線性無關的特解，是非齊次方程的特解，故是非齊次方程的通解，從而選D例18求下列常系數齊次線性方程的通解（1）； （2）； （3）解（1）所給微分方程的特征方程為，解得兩特征根為，屬于兩個不相等特征根的情形，故其通解為，其中與為任意常數（2）所給微分方程的特征方程為，其根為一對共軛復根，則所求通解為，其中與為任意常數（3）所給方程的特征方程為，解得（二重根），故通解為，其中與為任意常數例19（97研） 設函數具有二階連續(xù)導數，而滿

11、足方程，求分析 先求出與，然后將其代入到方程中即可得到一個以為未知函數的微分方程解令，則有 ，將與代入方程可得，其特征方程，特征根為，于是，其中與為任意常數例20（01研）設（為任意常數）為某二階常系數線性齊次微分方程的通解，則該方程為 分析已知常系數齊次線性微分方程來求其通解與已知通解來確定其方程互為逆運算已知通解來確定其方程，可以直接求導求出任意常數代入通解中得到其方程，也可以借助于特征方程及特征根與方程的關系來確定方程由此題所給通解形式可知，特征方程有一對共軛復根解法1 類似例1，可通過求出與消去的方法得到所求微分方程，請讀者自行完成解法2 由通解的形式可知特征方程的兩個根是，從而得知特

12、征方程為故所求微分方程為例 21求下列常系數齊次線性方程的通解：（1）； （2） 解（1）原方程對應的特征方程為即，得，為三重根，因此方程的通解為，其中、為任意常數（2）原方程對應的特征方程為即，特征根是二重共軛復根，故原方程的通解為：，其中為任意常數例22設，其中為連續(xù)函數，求分析條件給出了一個積分方程且含有變上限積分，通常是對積分方程兩邊求導，將積分方程轉化為解微分方程，但是的被積函數中含有，不能直接求導，先要將其提到積分號外然后才能求導 解 因為為連續(xù)函數，故為可導函數，對題設等式兩邊關于求導得， 再對上式兩邊關于求導得，該方程對應的齊次方程的特征方程為，得，則齊次方程的通解為，其中、為

13、任意常數下面求非齊次方程的一個特解由于是特征方程的單根，故所求非齊次方程的特解形如，于是將代入該非齊次方程中比較系數可得，則該非齊次方程的通解為，其中、為任意常數由題設等式可知存在隱含初始條件，又由可知，將與代入上述非齊次方程的通解中解得，故例 23求微分方程的通解解 原方程對應的齊次方程的特征方程為，其兩個根為；而對于非齊次項， 為特征方程的單根，故非齊次方程有形如的特解，代入原方程可得 故所求通解為，其中、為任意常數例24求下列各非齊次線性微分方程的通解（1）； （2）；（3）； （4）解（1）先求原方程對應的齊次方程的通解，對應齊次方程的特征方程為，解得則對應的齊次方程的通解為，其中為任

14、意常數下面再求非齊次線性方程的一個特解屬于型，其中，又不是特征根，故原方程有形如的特解，可設，其中為待定常數，將代入原方程，得到，比較系數得，從而，則原方程的通解為，其中為任意常數（2）所給方程對應的齊次方程的特征方程為，即，有二重根，而屬于型，對于非齊次項，為二重根故可設非齊次方程的特解為，代入原方程可得，故所求通解為，其中、為任意常數（3）解法1由于，屬于非齊次項為型的非齊次線性微分方程，其中，其相應的齊次線性微分方程為，特征方程為，求得特征根，故該齊次方程的通解為，由于是特征根，故原方程有形如的特解，這里，即原方程的一個特解可設為：，代入原方程得，比較方程兩邊的系數，得，故原方程的特解為

15、：從而原方程的通解為 ，其中、為任意常數解法2求其對應的齊次方程的通解同解法1，在求非齊次線性微分方程的一個特解時， 可利用復數法求考慮方程，即，屬于非齊次項為型的非齊次線性微分方程， 由于是對應齊次方程的特征根，故可設其一個特解為，將其代入方程可得， 得于是特解，取的虛部便可得到原方程的一個特解為于是得原方程的通解為，其中、為任意常數（4）該方程的非齊次項由構成，根據非齊次線性微分方程解的疊加原理求其特解；原方程對應的齊次方程的特征方程為，其特征根為，故對應的齊次方程的通解為，其中、為任意常數；a對于非齊次線性微分方程，不是特征方程的根，故可設其特解為，代入該非齊次方程，得，從而其特解為；b

16、對于非齊次方程，是特征方程的單根，故可設其特解為，代入該非齊次方程得，從而其特解為；c對于非齊次線性微分方程，不是特征方程的根，故可設其特解為，代入該非齊次線方程得，從而其特解為；根據解的疊加原理與通解結構定理可得原方程的通解為，即所求通解為 ，其中、為任意常數注對于類型的特殊情形：與均可用（3）中的解法2來求特解，其中為實系數多項式例 25（03研）設函數在內具有二階導數，且，是的反函數（1）試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程（2）求變換后的微分方程滿足初始條件，的解分析由反函數導數公式， 把， 用含有及的各階導數的函數表示， 代入題設等式驗證即可解 （1）由反函數導數公式知，即，再對

17、該式兩端關于求導，得，所以，代入原微分方程可得（2）方程所對應的齊次方程的通解為 設該非齊次方程的特解為，代入可得，故，從而的通解是，其中、為任意常數由，得，故所求初值問題的解為例26求方程的通解分析此方程為歐拉方程，作變量代換求解解當時，作變換，或，則有，原方程化為對應的齊次方程為，其通解為，非齊次方程的特解可設為，代入該方程得，故其通解為，其中、為任意常數即原方程在時的通解為當時，令，類似地，可求出原方程在時的通解為綜上所述， 原方程的通解為，其中、為任意常數例27設有連接點與的一條上凸的曲線弧，對于其上任一點，曲線弧與直線段圍成的圖形的面積為，求曲線弧的方程分析如圖111所示，利用定積分

18、的幾何意義即可求出曲線弧與直線段圍成的圖形的面積，利用已知條件，可得一個含有未知函數的積分方程，對其求導得一微分方程，解之即可解設曲線弧的方程為，由題設其上任一點的坐標滿足，曲線弧與直線段圍成的圖形的面積圖111408，依題意有，即，兩端對求導，整理得，于是所求問題轉化為初值問題，解此微分方程，得通解 ，將初始條件代入得，所以綜上所述，曲線弧的方程為：例28在上半平面求一條向上凹的曲線，其上任一點處的曲率等于此曲線在該點的法線段長度的倒數（是法線與軸的交點），且曲線在點處的切線與軸平行解 設所求曲線為，由題意，有，則上的點處法線方程為（），它與軸的交點為， 于是，得方程，由題意可知即要求解如下

19、初值問題：，方程不顯含，令，則有，于是可化為 即，解之得 ，從而有，又，可得，有于是，由得， 所以，即，于是上面兩式相加即得所求曲線方程為注 對于幾何問題，一般是求曲線方程，依據題意，由幾何中的定理、公式建立微分方程并給出可能的初始條件求解下面這些結果經常會用：1表示曲線在點處切線的斜率；2表示曲線在點處的法線斜率；3表示由曲線（）、直線、及軸所圍成的圖形的面積；4曲線上橫坐標為的點的曲率為；5弧長的微分例29已知某車間的容積為，其中的空氣含的（以容積計算），現以含為的新鮮空氣輸入，問每分鐘應輸入多少，才能在30分鐘后使車間空氣中的含量不超過？（假定輸入的新鮮空氣與原有空氣很快混合均勻后，以相

20、同的流量排出）解 設每分鐘應輸入新鮮空氣，同時設在時刻，車間內含的量為，考慮在到的時段內的變化，根據題意則有的輸入的排出 =，故 令則可得如下初值問題： 分離變量求得其通解為再由初始條件得，故，由問題的實際意義可知是減函數，故當時 ，于是可得注 用微元法或稱區(qū)間法建立微分方程，要從變量在一個微小區(qū)間上的變化量入手，建立起變量在區(qū)間上的變化量與區(qū)間的長度之間的關系，即：，令，通過取極限并利用導數的定義即可得微分方程例30（97研）在某一個人群中推廣新技術是通過其中已掌握技術的人進行的設該人群的總人數為，在時刻已掌握新技術的人數為，在任意時刻已掌握新技術的人數為（將視為連續(xù)可微變量），其變化率與已

21、掌握新技術人數和未掌握新技術人數之積成正比，比例常數，求分析 導數的實質即為函數的變化率，因此，的變化率為，據此問題不難求解解 由題意可知原問題等價于求解如下微分方程的初值問題：，分離變量得，即，可得，其中，由可得，所以，即 例31（01研） 設有一高度為（為時間）的雪堆在融化過程中，其側面滿足方程（設長度單位為厘米，時間單位為小時），已知體積減少的速率與側面積成正比（比例系數），問高度為（厘米）的雪堆全部融化需多少小時？分析 這是一道數學綜合應用題，需正確理解題意要求能用三重積分求出體積，用二重積分求出側面積，并根據題意建立數學模型，解出，最后求出時的值。解 記為雪堆體積，為雪堆側面積，則，,其中.由題意知，所以，因此，由得令得（小時）.因此高度為厘米的雪堆全部融化所需時間為小時。例32（04研） 某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間飛機尾部張開減速傘