1、平面向量一、平面向量的基本概念：1. 向量：既有大小又有方向的量叫做_. 我們這里的向量是自由向量，即不改變大小和方向可以平行移動(dòng)。向量可以用 _來表示 . 向量的符號(hào)表示_.2. 向量的長度：向量的大小也是向量的長度（或_） ，記作 _.3. 零向量：長度為0 的向量叫做零向量，記作_.4. 單位向量： _.5. 平行向量和共線向量：如果向量的基線平行或重合，則向量平行或共線；兩個(gè)非零向量方向相同或相反.記作 _規(guī)定： _.注意：理解好共線（平行）向量。6. 相等向量： _.例：下列說法正確的是_有向線段就是向量，向量就是有向線段；,cbba則ca；,/,/cbbaca/若cdab，則 a，

2、b，c， d四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；所有的單位向量都相等；二、向量的線性運(yùn)算：（一）向量的加法：1. 向量的加法的運(yùn)算法則：_、_和_.（1）向量求和的三角形法則：適用于任何兩個(gè)向量的加法，不共線向量或共線向量；模長之間的不等式關(guān)系_ ； “首是首，尾是尾，首尾相連”例 1. 已知 ab=8 ，ac=5 ，則 bc的取值范圍 _例 2. 化簡下列向量（1）pmqpmnnq（2）)()()(mbpmabcqbcbp（2）平行四邊形法則：適用不共線的兩個(gè)向量，當(dāng)兩個(gè)向量是同一始點(diǎn)時(shí)，用平行四邊形法則；ba是以a，b為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，如圖：例 1. （09 山東）設(shè)p是三角形 ab

3、c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，bpbabc2，則a.0pbpa b.0pcpa c.0pbpc d.0pcpbpa例 2.（13 四川） 在平行四邊形abcd 中，對(duì)角線 ac與 bd交于點(diǎn) o，aoadab，則._（3）多邊形法則2. 向量的加法運(yùn)算律：交換律與結(jié)合律（二）向量的減法：減法是加法的逆運(yùn)算，a.pbpaoboaba（終點(diǎn)向量減始點(diǎn)向量）在平行四邊形中，已知以a、b為鄰邊的平行四邊形中，baba,分別為平行四邊形的兩條對(duì)角線，當(dāng)baba時(shí)，此時(shí)平行四邊形是矩形。例 1. 已知8,6 ba，且baba，則baba=_例 2. 設(shè)點(diǎn) m是 bc的中點(diǎn)，點(diǎn)a在線段 bc外， bc=16 ，acab

4、acab，則_am向量的加減運(yùn)算：例 1. （08 遼寧）已知、oa、b是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，直線ab上有一點(diǎn)c，滿足 cb+2ac=0，則 oc=_oaob b.oa+2ob c. 32oa31ob d. 31oa+32ob例 2.(15課標(biāo)全國i）設(shè) d是三角形abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，cdbc3，則 _a.acabad3431 b.acabad3431c.acabad3134 d.acabad3134例 3. （12 全國）在abc中，ab邊上的高為cd, cb=a,ca=b,a?b=0,2, 1 ba, 則ad=_例 4. （10 全國）在abc中，點(diǎn)d在邊ab上，cd平分acb，若 cb=a

5、,ca=b,2, 1 ba，則 cd=_例 5. 在abc中，設(shè)d為邊bc的中點(diǎn) , e為邊ad的中點(diǎn) , 若be=mab+nac，則m+n=_例6. （ 15 北京理）在abc中，點(diǎn)nm ,滿足ncbnmcam,2，若acyabxmn，則_ yx例 7. （13 江蘇）設(shè)d、e分別是abc的邊ab、bc上的點(diǎn)，若bcbeabad32,21，若 de=1ab+2ac(1,2為實(shí)數(shù) ) ，則1+2=_例 8.（12 東北四市一摸）在abc中，設(shè)p為邊bc的中點(diǎn)，內(nèi)角cba,的對(duì)邊cba,，若cac+apa+bpb=0，則abc的形狀為 _( 三）實(shí)數(shù)與向量的積：1. 定 義 ： 實(shí) 數(shù)與 非 零

6、 向 量a的 乘 積a是 一 個(gè) 向 量 ， 它 的 長 度 是 _. 它 的 方 向 是_. 當(dāng)0時(shí)， _2. 數(shù)乘向量的幾何意義是把向量同方向或反方向擴(kuò)大或縮小。3. 運(yùn)算律：設(shè)a、b是任意向量，,是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)與向量的積適合以下運(yùn)算：4. 向量共線的判斷： （平行向量的基本定理）如果ba，則ba /；若ba /，0b，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得ba.若a、b是兩個(gè)不共線的非零向量，則它們共線的充要條件是存在兩個(gè)均不是零的實(shí)數(shù),， 使_.若22122111,eebeea，21,ee不共線，ba /，則在有意義的前提下，2121例 1. （15 課標(biāo)全國ii ）設(shè)向量若a、b是兩個(gè)不平行的向量，

7、向量ba與ba2平行，則_例 2. （09 湖南）對(duì)于非零向量, ,a b“0ab”是“/ /ab”的 _a充分不必要條件 b. 必要不充分條件c充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件例 3. （12 四川）設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使|abab成立的充分條件是aab bab ca 2b dab且|a| |b|5. 單位向量給定一個(gè)向量a，與a同方向且長度為1 的向量叫做a的單位向量，即_重要結(jié)論：已知abc，o為定點(diǎn)，p為平面內(nèi)任意一點(diǎn).pa+pb+pc=0_.若 op=31oa+ob+oc，則p為abc_若 op=oa+（ab+ac） ，), 0(，則p點(diǎn)的軌跡 _.若 op

8、=oa+_,),0(, 則p點(diǎn)的軌跡通過abc的內(nèi)心若 _, 則p點(diǎn)的軌跡是abc的外心若 _, 則p點(diǎn)的軌跡是abc的垂心例 1. （10 湖北）在abc中，點(diǎn)m滿足 ma+mb+mc=0，若存在實(shí)數(shù)m，使得 ab+ac=mam，則m=_.例 2. 在abc中，重心為g ，若0sin3sin3sin2gccgbbgaa，則_cosb例 3. 在abc中，重心為g ，若033gcgbbgaa，則_a三、平面向量的基本定理( 一）平面向量基本定理內(nèi)容：如果1e、2e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a， 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)21,，使_, 其中1e、2e是一組基底， 記作叫做

9、向量a關(guān)于基底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依據(jù)，是向量坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)。注意：只要是不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底，因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量都平行，所以零向量一定不能作為基底；基底不唯一；任一向量可以由一組基底來表示，但表示方法是唯一的。例 1. （14 福建）在下列向量組中，可以把向量)2, 3(a表示出來的是_a.)2, 1 (),0, 0(21ee b.)2, 5(),2, 1(21eec.)10,6(),5 , 3(21ee d.)3 ,2(),3, 2(21ee例 2. （09 安徽）在平行四邊形abcd 中， e， f分別是 cd ， bc的中點(diǎn)，若afaeac， 則_（二

10、）平面向量基本定理與向量共線條件的綜合應(yīng)用設(shè)ba,是 直 線l上 兩 點(diǎn) ，o是 直 線 外 一 點(diǎn) ， 對(duì) 于 直 線 上 任 意 一 點(diǎn)p， 存 在rt， 使_成立 . 反之，滿足上式的點(diǎn)p在直線l上.特別地，當(dāng)p為ba,的中點(diǎn)時(shí)，則_.例 1. 已知、oa、b是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，線段ba的延長線上有一點(diǎn)c，滿足 3ac+cb=0則oc=_oaob b.2oa+3ob c. 23oa21ob d. 21oa+23ob例 2. 數(shù)列na是等差數(shù)列， 其前n項(xiàng)和為ns，若平面上的三個(gè)不共線的向量oa、ob、 oc滿足 ob=1aoa+2006aoc，且cba,三點(diǎn)共線，則_2006s例 3. 已

11、知向量ji ,不共線，且 ab=jmi， adjin，若dba,三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)nm,應(yīng)滿足的條件_a. 1nm b. 1nm c. 1mn d. 1mn例 4. （ 07 江西）如圖，在abc中， 設(shè)o為邊bc的中點(diǎn)，過點(diǎn)o的直線交直線ab、ac于不同兩點(diǎn)nm ,.若ab=mam，ac=nan，則m+n=_mn的最大值為 _例 5. 在abc中，設(shè)m為邊bc的任意點(diǎn)，n為am中點(diǎn)， an=ab+ac，則+=_.例 6. 在abc中，設(shè)m為邊bc的中點(diǎn)，n為am中點(diǎn)， an=ab+ac，則+=_.例 7. 如圖， 在abc中，設(shè)d為邊bc的中點(diǎn)，g為ad中點(diǎn)，過g任作一條直線mn分別交ab、a

12、cnocbamgnca于nm ,兩點(diǎn)，若 am=xab， an=yac，試問yx11是否為定值四、平面向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：（一）向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)1. 向量的垂直：如果兩個(gè)向量的基線互相垂直，那么這兩個(gè)向量互相垂直；2. 向量的正交分解：如果基底的兩個(gè)基向量互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。3. 在平面直角坐標(biāo)系下，分別取與x 軸， y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y ，使得21eyexa. 有序數(shù)對(duì)),(yx叫做a的坐標(biāo)，記作),(yxa注意： （1）每一個(gè)向量都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)

13、對(duì)來表示，向量有代數(shù)法和幾何法兩種表示。（2）符號(hào)),(yx有了雙重的意義，既可以表示固定的點(diǎn)，又可以表示向量；平面向量的坐標(biāo)只與始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有點(diǎn)始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)的坐標(biāo)相等。（二）向量的坐標(biāo)運(yùn)算1. 若),(),(2211yxbyxa，則_ba.2. 若),(),(2211yxbyxa，則 ab=_| ab|=_3. 若ryxa),(，則_a4. 若),(),(2211yxbyxa，ba /, 則有 _.5. 三角形 abc的重心坐標(biāo)公式為_五、平面向量的數(shù)量積：1. 平面向量數(shù)量積的定義向量ba,的夾角已知兩個(gè)非零向量ba,，過點(diǎn)o作bobaoa,，則(aob_),

14、 叫作向量ba,的夾角 .當(dāng)_時(shí)，a與b垂直，記作 _.當(dāng)_時(shí)，a與b平行或共線 . 注意：理解什么是兩向量的夾角以及兩向量夾角的范圍。向量ba,的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則把 _叫做向量ba,的數(shù)量積（內(nèi)積） ，記作_.規(guī)定a?0=0向量數(shù)量積的幾何意義_.2. 向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)ba,是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角，則cos?aeaaeba_當(dāng)ba,同向時(shí)，_?ba.當(dāng)ba,反向時(shí)，_?ba特別地，_? aa_cosbaba?3. 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：注意：向量的數(shù)量積無_律，無 _律.4. 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若),(),(2211yxbyxa，

15、則_?ba若),(yxa，則_22?aaaa_a若),(),(2211yxbyxa，則ba/的充要條件為_),(),(2211yxbyxa，則ba的充要條件為_求角問題：若非零向量),(),(2211yxbyxa，是ba,的夾角，則_cos注意：向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示，它的運(yùn)算也有兩種方式即基于幾何表示的幾何法和基于坐標(biāo)表示的代數(shù)法 .典型例題（一）向量數(shù)量積的幾何運(yùn)算，注意兩個(gè)向量的夾角，利用平面向量的基本定理選好基底例 1. 對(duì)任意向量ba,，下列關(guān)系式中不恒成立的是_a.baba b.baba c.22baba d.22bababa例 2. 已知向量cba,，滿足2, 1 ba，a

16、cbac，且，則向量ba與的夾角為 _例 3. （11 江西）已知2)()2(,2?bababa，則ba,的夾角為 _例 4. （13 全國）已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，btatc)1(，若0?cb則_t例 5. （13 江西）設(shè)1e、2e為單位向量，1e與2e的夾角為3，若1212,3ebeea，則向量a在b方向的射影為 _例 6. 已知向量cba,，滿足0cba，bacba,)(，, 1a若則_222cba例 7.(14課標(biāo)全國）已知a，b ， c為圓 o上的三點(diǎn)，若)(21acabao，則ab與ac的夾角為 _例 8. （10 湖南）在直角三角形abc中，,4,90acc則ab?

17、ac=_例 9. （15 湖北）已知向量3, oaaboa，則_oboa例 10. 如圖，在平行四邊形abcd 中，ap bd ，垂足為p，且 ap 3，則ap ac例 11. 在三角形abc中，1,2,60acaba，fe,為邊bc的三等分點(diǎn)，則ae?af=_例 12. （12 天津）已知三角形abc為等邊三角形，2ab，點(diǎn)qp,滿足 ap=ab，aq=（1-）ac，r，若 bq?cp=23，則_例 13. （13 山東）已知向量ab與ac夾角120，2,3 acab，ap=ab+ac，且 ap?bc=0則實(shí)數(shù)的值 _例 14.（13 天津）在平行四邊形abcd中，60, 1badad，e為

18、邊cd的中點(diǎn)， 若ac?be=1， 則ab的長為 _例 15. 已知ba,夾角為6，2,3 ba，在三角形abc中， abnm22，acnm62，d為邊bc的中點(diǎn)，則_ad例 16. ad 與 be分別是abc的中線，若ad=be=1 ，be與ad的夾角為120，則 ab?ac=_例 17.(15四川）設(shè)四邊形abcd為平行四邊形，ab=6 ，ad=4 ，若 m ，n 滿足ncdnmcbm2,3，則_nmam例 18. （12 浙江）在三角形abc中，點(diǎn)m為bc的中點(diǎn)，,10,3 bcam則ab?ac=_例 19. （09 陜西）設(shè)m為abc邊bc的中點(diǎn)，1am， 點(diǎn)p在am上， 滿足 ap=

19、2pm, 則pa（ pb+pc） =_例 20. 設(shè)o是三角形abc的外心，1,3,acabbcod，則 ad?（ab- ac）=_例 21. 在三角形oab中，已知2,4 oboa，點(diǎn)p是ab的垂直平分線l上任一點(diǎn)，則ab?op=_例 22. 已知o是三角形abc的外心，若5, 3 acab，則 ao?bc=_例 23. 若三角形abc內(nèi)接于o以為圓心， 1 為半徑的圓， 3oa+4ob+5oc=0,則oc?ab=_例 24. 已知非零向量ba,，1231)(,323? xbaxaxxfba在r上有極值， 則ba,的取值范圍為 _例 25. （10 全國）已知圓o的半徑為1，pbpa,為該圓

20、的兩條切線，ba,為切點(diǎn)，則pa?pb的最小值為 _典型例題（二） ：對(duì)于有明顯的直角關(guān)系的向量問題-建立平面直角坐標(biāo)系( 與線性規(guī)劃問題聯(lián)系), 向量的幾何法與代數(shù)法的轉(zhuǎn)化例 1.（13 湖北） 已知點(diǎn) a （ 1，1） ，b （ 1,2 ）c （ 2，1） ，d （ 3,4 ） ，則向量 ab在cd方向上的投影為_例 2. （12 重慶）設(shè)ryx,，向量cbbacybxa/,),4,2(), 1(),1 ,(，則_ba例 3. 已知點(diǎn)3, 3a，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)),(yxp的坐標(biāo)滿足002303yyxyx，設(shè)z為oa在op上的投影，則z的取值范圍 _例 4. （13 福建）在四邊形abcd

21、中， ac=（1,2 ） ， bd=（-4,2 ） ，則四邊形的面積為_例 5. （09 湖南）如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板在一起，若ad=xab+yac，則x=_,y=_內(nèi)， oc?例 6. 已知1oa，32,aobkob， 點(diǎn)c在aoboa=0, 若oc=m2oa+mob，32oc，則_k例 7. （09 天津）若等邊三角形的邊長為32，平面上一點(diǎn)m，滿足 cm=61cb+32ca,則ma?mb=_.例 8. （11 天津）已知直角梯形abcd中，1,2,90,/bcadadcbcad，p是腰dc上的動(dòng)點(diǎn)，則 | pa+3pb| 的最小值為 _例 9.(12江蘇 ) 如圖， 在矩形ab

22、cd中，2,2 bcab，點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)， 點(diǎn)f在邊cd上，若ab?af,2，則 ae?bf=_例10. 在 直 角 三 角 形abc中 ， 點(diǎn)d是 斜 邊ab的 中 點(diǎn) ， 點(diǎn)p是 線 段cd的 中 點(diǎn) ， 則_222pcpbpa例 11. （13 全國）已知正方形abcd的邊長為2，e為cd的中點(diǎn)，則 ae?bd=_例 12. （ 13 重慶）在平面上，212121, 1,ababapobobabab，若21op，則oa的取值范圍是 _例 13. （12 北京）已知正方形abcd的邊長為1，點(diǎn)e為ab邊上的動(dòng)點(diǎn)，則de?cb=_de?dc的最大值為 _例 14. 平面上三個(gè)向量oa、ob

23、、oc，滿足, 1,3, 1ocoboaoa?ob=0則 ca?cb的最大值為 _例 15. 已知三角形abc中，1,2,60bcacc， 點(diǎn)m是abc內(nèi)部或邊界上一動(dòng)點(diǎn)，n是邊bc的中點(diǎn)，則 an?am的最大值為 _例16. （ 15 福建）已知tactabacab1,，若點(diǎn)p 是三角形abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且acacababap4，則pcpb的最大值為 _例 17. （09 全國）設(shè)是a,b,c單位向量，a?b=0,則(a-c) ?(b-c)的最小值為 _例 18. （13 湖南）已知a,b是單位向量，a?b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍 _例 19. （11 遼寧）若a,b,c單位向量，a?b=0, (a-c) ?(b-c)0，則|a+b-c|的最大值為 _例 20. （11 全國） 設(shè)向量a,b,c ，滿足|a|=|b|=1,a?b=21,60,cbca, 則|c|的最大值為 _例 21.（ 14 安徽） 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，已知a,b是單位向量，a?b=0，若 q點(diǎn)滿足)(2ba