1、精選課件11.1 數系的擴充數系的擴充精選課件2“數系數系”的歷史擴展與邏輯擴展過程不同的歷史擴展與邏輯擴展過程不同 “數學史上這一系列事件的發生順序是耐數學史上這一系列事件的發生順序是耐人尋味的，數學家們并不是按照先整數、人尋味的，數學家們并不是按照先整數、分數，然后無理數、復數、代數學和微積分數，然后無理數、復數、代數學和微積分的順序，而是按照相反的順序與它們打分的順序，而是按照相反的順序與它們打交道的看來，他們進行邏輯化的工作是交道的看來，他們進行邏輯化的工作是極不情愿的極不情愿的” M.Kline 數學數學確定性的喪失確定性的喪失精選課件3數學教育研究表明，人們認識負數比起認識無理數要

2、容易些但是，歷史有獨特的自身發展邏輯 事實上，當人們還普遍懷疑負整數也是一種數時，人們就已經在研究正的有理數與無理數，甚至已經開始使用復數了 精選課件4“數系”的歷史擴展途徑 “數系”的邏輯擴展途徑精選課件5新數產生的原因新數產生的原因數是抽象思維的產物真正與實體直接相關的、用日常生活經驗可以獲得的數，只有自然數其他的數，都需要進行理性思考才能獲得數的概念產生于對實物的計量在漫長的史前時代，人類已經認識了抽象的自然數隨著人類文明的進步，數的概念從實體的測量發展為抽象的存在，如從正方形對角線的測量得到脫離經驗的“無理數”接著是代數運算的需要，因減法、開方運算的需要產生了負數、無理數和復數到了近代

3、，“數”不再只是單個的量的表示，人們為了追求運算的無矛盾性，接受了理想的“數”，包括復數、四元數、八元數等等精選課件6“新數新數”為何最初不被承認？為何最初不被承認？不能夠測量并非非有不可不能夠理解邏輯基礎不清楚精選課件7“新數新數”為何最終獲得承認？為何最終獲得承認？ “因為在數學中和在其他場合一樣，成功因為在數學中和在其他場合一樣，成功是最高法庭，任何人都得服從它的裁決是最高法庭，任何人都得服從它的裁決. .” D.Hilbert論無限論無限精選課件8算法合理性是“新數”獲得承認的主要原因算術到代數的演進加速了數系的形成廣泛的應用促進廣泛的承認“理想數” 的思想精選課件91.2 數系的構造

4、理論數系的構造理論 精選課件101.2.1自然數的定義自然數的定義自然數嚴格的抽象定義是由peano公理給出的，它刻畫了自然數的本質屬性，并導出了有關自然數的所有運算和性質。Peano公理陳述如下：（1）0是自然數；（2）每個自然數都有一個后繼，a的后繼記為a+ ；（3）沒有自然數的后繼為0；（4）不同的自然數有不同的后繼，即若a+= b+，則a= b；（5）（歸納公理）如果0有某個屬性，而且若自然數a有該屬性則a+也有該屬性，那么所有自然數都有該屬性。精選課件11例 設m N, m0, 那么，必有n N使得 n+=m 證明 設集合A由所有這樣的自然數組成：它是某個自然數的后繼. 設S=0A.

5、 顯然, 0 S. 若x S, 由A的定義有x+ A, 因而x+ S . 由歸納公理知, S=N. 因此，若m N, m0, 就必有m A, 即存在n N, 使得 n+=m.該例題表明：每個不為0的自然數必為某個自然數的后繼。精選課件12加法加法定義1 自然數集N上的二元運算“+”稱為加法，滿足條件：(1)對任何aN ， a+0=a(2)對任何a, bN a+b+=(a+b)+ 精選課件13例 證明 2+3=5證明： 2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=5精選課件14例 對任何aN ，證明0+a=a+0

6、.證明：利用數學歸納法證明當a=0時，結論顯然成立。假使a=n時，結論成立，即0+n=n+0 ，則當a=n+時 0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+= n+0 結論亦成立。精選課件15乘法乘法定義2 自然數集N上的二元運算“”稱為乘法，滿足條件：(1)對任何aN ， a0=0(2)對任何a, bN ab+=(ab)+a 精選課件16例 證明 a3=a+a+a證明:a0=0a1=a0+=(a0)+a=0+a=a+0=aa2=a1+=(a1)+a=a+aa3=a2+=(a2)+a=a+a+a精選課件17運算律運算律定理2 對任何a, b, cN 有加法交換律 a+b=b+a加法結合律 (a+

7、b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 則 b=c. 若 b+a=c+a, 則 b=c.乘法交換律 ab=ba乘法結合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a0, ab=ac, 則 b=c. 若 a0, ba=ca, 則 b=c.乘法對加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc精選課件18代數結構代數結構定理3 自然數集關于加法和乘法都是一個可交換的半群，0是其零元，1是其單位元。 0的負元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然數都沒有負元和逆元。精選課件19減法減法加法的相消律保證我們可以定義加法的逆運算減法。定義3 設a，bN，若存在xN，使x+b=

8、a，則稱x=a-b.根據定義，有 (a-b)+b=a; 除零元之外其他自然數都沒有負元，這說明在整數集上減法不具有封閉性。0abab精選課件20例 證明不存在xN，使得x+2=1成立.證明：反證法 假使存在xN, 滿足x+2=1, 則 (x+1)+=0+ x+1=0 (x+0)+=0 x+=0 這與0不是任何自然數的后繼相矛盾。精選課件21除法除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運算除法。定義4 設a，bN, b0, 若存在xN，使xb=a，則稱x= .根據定義，有 除單位元之外其他自然數都沒有逆元，這說明在自然數集上除法不具有封閉性。( )ababab1aabb精選課件22例 證明不存在

9、xN，使得x2=1成立.證明：反證法 假使存在xN, 滿足x2=1, 則 x+x=1 顯然x0, 可設x=y+, 所以 y+y+=1 (y+y)+)+=0+ (y+y)+=0 這與0不是任何自然數的后繼相矛盾。精選課件23自然數的序關系自然數的序關系定義5 對給定的a, bN, 若存在xN，使得b=a+x, 則稱ab, 或 ba. 定理5 關系“”()是自然數集上的全序關系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強連接性。定理6 （最小自然數原理） (N, )是良序集，即N的每一個非空子集都有最小數。精選課件24定理7 對任何aN, a0 定理8 若a, b, cN, 則 當ab時，a+cb+c 當

10、ab時，acbc所以，“”() 是自然數集上的大小關系。精選課件25定義6 若ab, 且ab, 則稱aa.定理9 “) 也是自然數集上的大小關系。定理10（阿基米德性質） 對于任意a，bN，a0，總存在nN，使nab.精選課件261.2.2從自然數到整數從自然數到整數定義1 NN上的關系“”規定如下：對于任意(a, b), (c, d) NN, 如果a+db+c, 則稱(a, b)(c, d). 定理1：關系“” 是NN上的一個等價關系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。定義2： NN按等價關系“”劃分的等價類（以(a,b)表示(a,b)所屬的等價類）叫做整數，一切整數組成的集合叫做整數集，記為Z

11、.精選課件27定理2 設Z+=(a,0)|aN-0 Z- =(0,a)|aN-0 則Z= Z+(0,0)Z-, 且Z+, (0,0), Z-兩兩不相交.定義3 稱Z+為正整數集，稱Z-為負整數集。精選課件28整數集上的運算整數集上的運算定義4（整數加法） 整數集Z上的二元運算加法“+”規定如下：對于任意(a,b),(c,d) Z, (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)上述定義是合理的，可以證明Z中的加法運算與等價類代表的選取無關。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 則(a1+c1, b1+d1)(a2+c2, b2+d2).精選課件29定義

12、5 （整數乘法） 整數集Z上的二元運算加法“”規定如下：對于任意(a,b),(c,d) Z, (a, b)(c, d)=(ac+bd, ad+bc)上述定義是合理的，可以證明Z中的乘法運算與等價類代表的選取無關。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 則(a1c1+b1d1, a1d1+b1c1)(a2c2+b2d2, a2d2+b2c2).精選課件30定理3 對任何a, b, cZ 有加法交換律 a+b=b+a加法結合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 則 b=c. 若 b+a=c+a, 則 b=c.乘法交換律 ab=ba

13、乘法結合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a0,0, ab=ac, 則 b=c. 若 a0,0, ba=ca, 則 b=c.乘法對加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc精選課件31定理4 整數集是一個交換環， (a,a)是其零元， (a+1,a)是其單位元。 (a,b)的負元是(b,a),單位元的逆元是自身，除此之外其他整數都沒有逆元。精選課件32減法減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運算減法。定義6 設a，bZ，若存在xZ，使x+b=a，則稱x=a-b.整數都有負元保證了整數集上減法的封閉性。精選課件33除法除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運算除

14、法。定義7 設a，bZ, b(0,0), 若存在xZ，使xb=a，則稱x= .除單位元之外其他整數都沒有逆元，這說明在整數集上除法不具有封閉性。ab精選課件34整數集上的序關系整數集上的序關系定義8 對于任意(a, b), (c, d) Z, 如果a+db+c, 則稱(a, b)(c, d)定理5 關系“” 是整數集上的全序關系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強連接性。精選課件35定理6 若a, b, cZ, 則 當ab時，a+cb+c 當ab, (0,0)c時，acbc所以，“” 是整數集上的大小關系。精選課件36整數集是自然數集的擴張整數集是自然數集的擴張定理7 整數集Z是自然數集N的一

15、個擴張，即存在一個N到Z上的一個一一映射f，使得（1）對于任意a, b N, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab)=f(a)f(b)（2）對于任意a, b N, 若ab, 則f(a)f(b).證明：構造f: NZ如下 f(a)=(a,0) 即可滿足定理要求。精選課件37因此，以后我們可以對a與(a,0)不加區別地使用，從而有Z+=N-0. 因為(0,a)是(a,0)的負元，所以我們也用-a表示(0,a).精選課件381.2.3從整數到有理數從整數到有理數 記Z0= Z+Z-.定義1 ZZ0上的關系“”規定如下：對于任意(a, b), (c, d) ZZ0, 如果adbc, 則稱(

16、a, b)(c, d). 定理1：關系“” 是ZZ上的一個等價關系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。定義2： ZZ按等價關系“”劃分的等價類（以(a,b)表示(a,b)所屬的等價類）叫做有理數，一切有理數組成的集合叫做有理數集，記為Q.精選課件39有理數集上的運算有理數集上的運算定義3（有理數加法）有理數集Q上的二元運算加法“+”規定如下：對于任意(a,b),(c,d) Q, (a, b)+(c, d)=(ad+bc, bd)上述定義是合理的，可以證明Q中的加法運算與等價類代表的選取無關。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 則(a1d1+b1c1, b1

17、d1)(a2d2+b2c2, b2d2).精選課件40定義4 （有理數乘法）有理數集Q上的二元運算加法“”規定如下：對于任意(a,b),(c,d) Q, (a, b)(c, d)=(ac, bd)上述定義是合理的，可以證明Q中的乘法運算與等價類代表的選取無關。即 若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 則(a1c1, b1d1)(a2c2, b2d2).精選課件41定理2 對任何a, b, c Q 有加法交換律 a+b=b+a加法結合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 則 b=c. 若 b+a=c+a, 則 b=c.乘法交換律

18、ab=ba乘法結合律 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a(0,1), ab=ac, 則 b=c. 若 a(0,1), ba=ca, 則 b=c.乘法對加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc精選課件42定理3 有理數集是一個域， (0,a)是其零元， (a,a)是其單位元。(a,b)的負元是(-a, b), (a,b)的逆元是(b,a).精選課件43減法減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運算減法。定義5 設a，bQ ，若存在xQ ，使x+b=a，則稱x=a-b.有理數都有負元保證了有理數集上減法的封閉性。精選課件44除法除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆

19、運算除法。定義6 設a，bQ, b(0,1), 若存在xQ，使xb=a，則稱x= .有理數都有逆元保證了有理數集上除法的封閉性。 ab精選課件45有理數集上的序關系有理數集上的序關系定義7 對于任意(a, b), (c, d)Q, 如果abd2cdb2, 則稱(a, b)(c, d).定理4 關系“” 是有理數集上的全序關系，即滿足自反性、反對稱性、傳遞性和強連接性。精選課件46定理5 若a, b, cQ, 則 當ab時，a+cb+c 當ab, (0,1)c時，acbc所以，“” 是有理數集上的大小關系。精選課件47有理數集是整數集的擴張有理數集是整數集的擴張定理6 有理數Q是整數集Z的一個擴

20、張，即存在一個Z到Q上的一個一一映射f，使得（1）對于任意a, b Z, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b) f(ab)=f(a)f(b)（2）對于任意a, b Z, 若ab, 則f(a)f(b).證明：構造f: ZQ如下 f(a)=(a,1) 即可滿足定理要求。精選課件48因此，以后我們可以對a與(a,1)不加區別地使用. 因為(a,b)= , 所以我們也用 表示(a,b).( ,1)( ,1)abab精選課件491.2.4實數的構造實數的構造有理數集的缺陷有理數域缺乏連續性有理數域缺乏連續性 有理數域雖是稠密的，但它未鋪滿數軸，中間還有空隙。它不能與直線等量齊觀，因為直線是連續的。有理

21、數域缺乏完備性有理數域缺乏完備性 盡管有理數集是一個域，在加減乘除運算下都封閉，但它在極限運算下并不是一個封閉的數域。因為盡管某些有理序列本身收斂（cauchy序列意義下），但在有理數范圍內找不到一個極限值。正是對有理數域的缺陷兩方面的思考，康托爾從完備性要求出發，戴德金從連續性要求（完備性的幾何性質）出發，同時洞悉了無理數的本質，并得到了表示它們的兩種形式，奠定了實數的構造理論。精選課件50Cantor構造構造定義1 記所有有理數Cauchy序列的集合為. 實際上， 2NQ定義2 上的關系“”規定如下：對于任意 (rn), (Sn) , 如果 , 則稱(rn)(Sn). 定理1：關系“” 是

22、上的一個等價關系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。lim()0nnnrs精選課件51定義3： 按等價關系“”劃分的等價類（以(rn)表示(rn)所屬的等價類）叫做實數，一切實數組成的集合叫做實數集，記為R.精選課件52實數集上的運算實數集上的運算定義4（實數加法）實數集R上的二元運算加法“+”規定如下：對于任意(rn),(sn) R, (rn)+(sn)=(rn+sn)上述定義是合理的，這需要證明若(rn), (sn)是有理數Cauchy序列, 則(rn+sn)也是有理數Cauchy序列.R中的加法運算與等價類代表的選取無關。即 若(rn)(xn), (sn)(yn), 則(rn+sn)(xn+

23、yn).精選課件53定義5（實數乘法）實數集R上的二元運算乘法“”規定如下：對于任意(rn),(sn) R, (rn)(sn)=(rnsn)上述定義是合理的，這需要證明若(rn), (sn)是有理數Cauchy序列, 則(rnsn)也是有理數Cauchy序列.R中的乘法運算與等價類代表的選取無關。即 若(rn)(xn), (sn)(yn), 則(rnsn)(xnyn).精選課件54定理2 對任何a, b, cR 有加法交換律 a+b=b+a加法結合律 (a+b)+c=a+(b+c)加法相消律 若 a+b=a+c, 則 b=c. 若 b+a=c+a, 則 b=c.乘法交換律 ab=ba乘法結合律

24、 (ab)c=a(bc)乘法相消律 若 a(0), ab=ac, 則 b=c. 若 a(0), ba=ca, 則 b=c.乘法對加法分配律 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc精選課件55定理3 實數集是一個域， (0)是其零元， (1)是其單位元。(rn)的負元是(-rn), (rn)(rn0)的逆元是(1/rn).精選課件56實數集上的序關系實數集上的序關系定義6 對于任意(rn),(sn) R, 如果存在有理數0和自然數N，使得當nN時，恒有rn+0, 都存在自然數N，當nN時，恒有|rn- r|0, 都存在自然數N，使得當n,mN時，恒有|rn- rm|成立， 那么就稱(

25、rn)為一個實數Cauchy序列。定理7 實數序列極限存在的充要條件是它是實數Cauchy序列。精選課件62Dedekind構造構造定義1 設A, B Q, 二元組(A,B)稱為Dedekind分割, 當且僅當滿足：1) AB=Q2) AB=3) 對于任意aA, bB, 有a0，b0，c0，都有 ， 當 時等號成立。 222222aab bbbc caac c111bac60obac60o精選課件87精選課件88解不等式解不等式解不等式基本思路是，將超越不等式轉化為代數不等式；將無理不等式轉化為有理不等式，將高次不等式轉化為低次不等式等解不等式需要注意同解變形。若要解決的問題不能統一處理（如含

26、有參數）時，要按各種情況進行分類討論，然后解相應的不等式組。如果不等式的結構可以通過某種方式與圖形建立起聯系，則可設法構造圖形，將不等式所表達的抽象的數量關系轉化為圖形加以解決精選課件89精選課件90精選課件91精選課件92精選課件933 方程方程精選課件94方程的價值方程的價值數學有“好”數學和“不太好”數學之分。方程，是“好”的數學的代表。（陳省身）方程的思想無所不在，方程的概念不斷發展。從經典的代數方程到微分方程、積分方程，方程無疑是數學中最重要的內容之一。許多數學的進步是隨著方程研究發展而發展的。科學的基本任務是由已知的數量計算未知的數量，由已知的前提推證未知的結論這種計算或推理的問題

27、，也是方程的基本內容精選課件95一個方程的例子一個方程的例子化學方程式配平，相當于是解方程的過程。精選課件96方程的定義方程的定義含有未知數的等式叫做方程(目前中學數學教科書中通用的方程定義)這個定義用的是“種屬差”的邏輯定義方式，即“它首先是等式”，再指出它是“含有未知數的”等式由于它比較直觀、形象、簡潔明了，便于初學者理解和掌握，能為大家所認同和接受外延很大，可包括一切形式的方程(組)甚至微分(積分)方程(只要把未知數、已知數擴展為未知函數、已知函數)缺憾：無法從中獲得方程的思想實質通過已知與未知的關系，認識和研究未知。精選課件97方程定義教學中的問題分歧的焦點是：究竟是看重方程的邏輯定義

28、，還是看重方程的思想方法沒有哪一個學生是因為“記不住這一定義”而不會解方程的。方程的邏輯定義，簡單交代，不需深究方程的思想需要特別關注精選課件98一個真實的例子一個真實的例子20 世紀 70 年代，上海 51 中學的一位畢業生到和平飯店擔任電工工作中，他發現 12 樓客房的室溫，和地下室設定的溫度有差異他懷疑是地下室到12樓空調器的三根導線不一樣長，造成電阻不同所致。但距離如此遠，如何測知它們的電阻？精選課件99于是這位電工想到了數學，想到了方程盡管單根電線的電阻很難測知，但是 12 樓上兩根電線連接起來，在地下室測量兩根電線的電阻卻是輕而易舉的xyz精選課件100于是，他列出了以下的方程：可

29、貴之處：測量電阻時能想到運用方程思想求未知數精選課件101形式化定義形式化定義定義 l 形如 f(xl, x2, , xn)=g(xl, x2, , xn)的等式叫做方程，變元xl, x2, , xn稱為未知數，解析式f與g的定義域的交集叫做方程的定義域多個n元方程的集合，叫做n元方程組方程組中所有方程的定義域的交集叫做該方程組的定義域定義 2 如果用定義域中有序數組(al, a2, , an) 取代n元方程(組)中相應的未知數能使方程(組)中(每一個)等式都成立，則該有序數組稱為方程(組)的一個解.方程(組)的所有解的集合叫做方程(組)的解集上述定義的一個好處是確定了未知數的取值范圍一次方程

30、可以有整數解和有理數解的區別高次方程的解有實數解和復數解的區別精選課件102精選課件103方程的同解變形方程的同解變形定義 如果方程(1)的任何一個解都是方程(2)的解，并且方程(2)的任何一個解也是方程(1)的解，則方程(1)與(2)稱為同解方程如果方程(1) 的每一個解都是方程(2)的解，那么方程(2)稱為方程(1)的結果約定: 對于整式方程，僅當它們相同的根還具有相同的次數時，才認為它們是同解方程如方程 x-1=0與方程(x-1)2=0不被認為是同解方程為了求出方程或方程組的解，需要將方程不斷地變形，在保持它的解不變前提下的變形，稱為同解變形精選課件104判斷：是否為同解變形？增根還是失

31、根？判斷：是否為同解變形？增根還是失根？精選課件105精選課件106精選課件107精選課件108精選課件109精選課件110精選課件111精選課件112總結：總結：一般來說，當在方程兩端施行某一運算，而這種運算的逆運算的運算結果不是唯一確定的時候，便將得到與原方程不同解的方程。由于方程變形后，改變了（擴大或縮小）原方程的定義域，變形后的方程往往是不同解的。一個變形有可能既產生增根又產生失根（如：合分比變形雖可互逆，但對定義域既可能擴大又可能縮小）。應根據變形對方程不同的影響判斷是否有增根和失根精選課件113剔除增根剔除增根在方程變形過程中，把由原方程的結果得到的解代入原方程檢驗滿足與否，以判斷

32、是不是增解在方程變形過程中，把原方程的定義域的擴大部分中的數代入原方程檢驗滿足與否，以判斷是不是增解精選課件114找回失根找回失根在方程變形過程中，把原方程的定義域的縮小部分中的數代入原方程檢驗滿足與否，以判斷是不是原方程的解注：合分比變形雖可互逆，但對定義域既可能擴大又可能縮小。精選課件115解決思路是化為缺項的三次方程，再作變換轉換為二次方程來求解。三次方程的解法三次方程的解法精選課件116精選課件117精選課件118三次方程的判別式三次方程的判別式 23427qpD 精選課件119精選課件120四次方程的解法四次方程的解法方法一：用待定系數的方法設法將其化為二個二次因式的形式，再解二次方

33、程方法二：轉換為缺項的四次方程，再將缺項的四次方程轉換為三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根精選課件121精選課件122精選課件1234.1 函數函數精選課件124函數的價值函數的價值18 世紀以來，分析學一直占據著數學的核心地位，是數學的核心學科，從而把函數概念和方法置于整個數學的中心地位許多現實問題都可以歸因于研究數量的變化過程，幾乎所有領域都有函數應用的實例。日常生活的語言也引入了函數的許多詞匯。20 世紀以來，世界各國的中學數學內容從以解方程為中心轉到以研究函數為中心函數的觀念已經成為對公民素質的基本要求，成為人們在現代社會交往中必備的能力精選課件125初等函數的重要性初等函數

34、的重要性初等函數的研究是與微積學的研究結合在一起的。初等函數的使用面相當廣泛，在建立描摹大自然的數學模型時，初等函數能夠基本上滿足需要精選課件126舊函數，新意義舊函數，新意義對數的發明在于簡化計算20世紀中葉以后，計算機和計算器的普遍使用使得對數的這種計算功能幾乎完全廢棄對數函數的現代意義是：作為一種數學模型，對數函數提供了緩增的類型精選課件127最初引入三角函數是幾何學的需要，是為了處理三角形，其基本思想是使用比例手段定量地表示三角形邊角之間的關系三角函數的重要，在于它的周期性三角函數提供了周期現象的一種數學模型。三角函數的重要，還在于傅里葉發現：相當廣闊的一類函數(許多實用的周期函數)都

35、可以展開為三角級數。精選課件128函數的定義函數的定義變量說：如果某些變量以如下方式依賴于另一些變量，即當后者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一個變量是后一些變量的函數。 (歐拉， 1755)對應(或映射)說：我們假定 Z 是一個變量如果對它的每一個值，都有未知量 W 的一個值與之對應，則稱 W 是 Z 的函數。 (黎曼，1851 )關系說：若X,Y是兩個集合，XY的任何子集 S 稱為 它們之間的一種關系如果關系 F 滿足：對于每一個xX，都存在唯一的一個 y ，使得(x,y)F ，則稱關系 F 是一個函數 (布爾巴基學派，1939 )精選課件129誰更重要？誰更重要？“變量說”建立在變量的

36、基礎上，描述和強調了函數最重要的特性變化，其優點是形象、直觀、自然，通俗易懂。任何人理解函數，建立函數關系，都是從觀察兩個變量之間的依賴關系入手的因此“變量說”是最樸素、最根本的，對于初學者也最容易接受。這種描述性的定義沒有突出函數的本質對應關系。精選課件130“對應說”突出地反映了變量之間的對應關系，它能夠微觀地、明確地指出因變量是如何隨著自變量的變化而變化的。“對應說”抓住了函數的本質。函數的本質是變量之間的關系，而描述這種關系的正是“對應”。“對應說”建立在集合論的基礎上，更接近現代數學的語言，普適性強。但它沒能對“對應”進行嚴格刻畫，對對應關系的界定也不夠清楚。精選課件131“關系說”

37、沒有使用其他未經定義的日常語言，完全用集合論的語言敘述。它通過外延定義徹底解決了對應關系的界定問題，是完全數學形式化的表述，便于更深入地理解函數本質，也便于計算機接受，廣泛用于計算機科學中。但正是由于它過于形式化，抽去了函數關系的生動直觀變量變化及相互依賴關系的特征，看不見對應關系的形式和規律（解析式），對初學者來說不易理解和掌握。“關系說”雖不適合放在中學教材中，但中學教師應該掌握。精選課件132函數的發展函數的發展古埃及、古巴比倫、古希臘、古印度、古代中國的數學中都研究過方程，但是都沒有形成函數的思想。函數概念的產生是1617世紀由于人們對物體運動的研究，特別是對天體運動的研究而開始的。G

38、alileo（15641642）自由落體運動S=0.5gt2、斜拋運動軌跡是拋物線Descartes（15961650）最先提出了“變量”的概念Newton認識到曲線是記錄了點的連續運動Leibniz最早使用“函數”這個詞，他用它表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量 李善蘭在代微積拾級中譯為“函數”精選課件133函數的三種表示形式函數的三種表示形式函數的表達方法很多，列表法，圖像法和解析式法，都可以表示函數數學所要研究的函數，一般是需要解析式的建立函數模型，主要是找到解析式表示，才能通過論證和計算解決問題離散的數字表格，可以插值形成連續函數，圖像則可以用解析式逼近或數字近似但并非所有的函

39、數都能夠用算式表示也存在一些變量之間的變化關系我們可能能夠感覺得到，卻無法用簡單的數學方法描摹出來如統計報表，股票走勢圖等要尋求算式，但又不限于算式，是掌握函數概念的一部分精選課件134精選課件135函數與曲線、方程函數與曲線、方程函數的圖象是曲線，曲線又可以看作是坐標適合二元方程的點的軌跡，在上述意義下函數、曲線、方程沒有區別。這種統一性是中學數學的核心思想，這樣幾何中的形與代數中的數就統一起來了，初中數學知識與高中數學知識也統一起來了。中學階段不必過分強調函數的圖象與方程的曲線之間的差異，而更應該強調統一性。精選課件136復合函數中的定義域問題復合函數中的定義域問題門德榮. 關于復合函數的

40、教學. 數學通報,1995 , (9) :12.本題目的實質是“已知fg(x)的定義域求f(x)的定義域.精選課件137問題1誰對誰錯？精選課件138類似的病題精選課件139函數單調性與單調區間函數單調性與單調區間單調區間要求極大嗎？排他？例 已知函數f(x)=x2-2ax+1的增區間為1,+)，求a的取值范圍解 f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2 +1-a2 其增區間為a,+) 所以，a=1對嗎？為什么要引入單調區間的概念？不過是為了比較函數值的方便而已。與極大無關，當然單調區間越大越有利。精選課件140函數單調性的幾個結論函數單調性的幾個結論約定：兩個函數在所討論的區間里都是遞增的（

41、或遞減的），就稱這兩個函數依同向變化；若其中一增一減，就稱這兩個函數依反向變化則 單調函數f(x)與函數f(x)c(c是常數)依同向變化 單調函數 f(x)與函數cf(x)(c是常數)，當 c 0時，依同向變化；當c1，解關于x的不等式：2.解關于x的不等式222axxa232log4log12log( 2) log1 ( 2)log ()3nnaaaanaxxxnxxa 精選課件203 精選課件204精選課件205解下列方程解下列方程1.求方程 的實數解，其中a是實參數2.求方程 的實數解，其中a, b是實參數2(1252)23aaxa1lg()lg2lg()2xaxb精選課件2061.解：解：原方程等價于 或即 或2125202300aaax2212520231252aaaxaa320ax 34214aaxa 且精選課件207即 或即 或2342401()4aaaxa 且320ax 23421(4)aaxa 且