1、2021/8/221等比數列等比數列2021/8/222復習：復習：(1)什么叫等差數列什么叫等差數列?(2) 等差數列的通項公式是什么等差數列的通項公式是什么?如果一個數列從第如果一個數列從第2項起項起,每一項與它前一項的差等于同一個常每一項與它前一項的差等于同一個常數數,那么這個數列就叫做等差數列那么這個數列就叫做等差數列.其表示為其表示為:an=a1+(n-1)d)2,(1nddaann為常數(3)在等差數列在等差數列 a an n 中，若中，若m+n=p+qm+n=p+q（m，n，p，q是正整數是正整數），則則am+an= ap+ aq(4)(4)如果如果a, A, b 成等差數列成等

2、差數列,那么那么A叫做叫做a與與b的等差中項的等差中項.2baA ()(,)nmaan m dn m N其中2021/8/223觀察數列觀察數列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.(2) 1，3，9，27，81 (6) (4) 5，5，5，5，5，5，(5) 1，-1，1，-1，1，)0(, 1432xxxxx11113,2481 6觀察這些數列有哪些特點觀察這些數列有哪些特點?這就是說，這些數列具有這樣的共同特點：這就是說，這些數列具有這樣的共同特點： 從第從第2 2項起，每一項與前一項的比都等于同一常數項起，每一項與前一項的比都等于同一常數。2021/8/224復習等差數列的有關概念

3、 定義：如果一個數列從第定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數（指與項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數（指與n無關的數），這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用無關的數），這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母字母d表示。表示。無關的數或式子）是與 ndaann(1dnaan) 1(1等差數列等差數列 的通項公式為的通項公式為 na當d0時，這是關于n的一個一次函數。 如果在如果在a與與b中間插入一個數中間插入一個數A，使，使a，A，b成等差數列，成等差數列，那么那么A叫做叫做a與與b的等差中項。的等差中項

4、。2baA等差數列等差數列的前的前n項和項和 na2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（dnnnaSnn2)1（當公差d=0時， ，當d0時， , 是關于n的二次函數且常數項為0. 1naSnndandSn)2(2122021/8/225變形蟲分裂問題變形蟲分裂問題 假設每經過一個單位時間每個變形蟲假設每經過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設開始有一個變都分裂為兩個變形蟲，再假設開始有一個變形蟲，經過一個單位時間它分裂為兩個變形形蟲，經過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經過兩個單位時間就有了四個變形蟲，經過兩個單位時間就有了四個變形蟲，蟲，一直進行下去，記錄下每個單位時，一

5、直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數得到了一列數這個數列也具間的變形蟲個數得到了一列數這個數列也具有前面的幾個數列的共同特性，這是我們將有前面的幾個數列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數列要研究的另一類數列等比數列等比數列. . 2021/8/226 一般的，如果一個數列從一般的，如果一個數列從第第2項起項起，每一項與它前一項的，每一項與它前一項的比等比等于同一個常數于同一個常數，這個數列就叫做，這個數列就叫做等比數列等比數列。 這個這個常數常數叫做等比數列的叫做等比數列的 公比公比，公比通常用，公比通常用字母字母q表示。表示。(q0）) 2(1nqaann或)(*1Nnqaannn

6、naaaaaaaaq1342312. 2021/8/227特點：特點：1、 “從第二項起從第二項起”與與“前一項前一項”之比之比為常數為常數q2、 隱含：任一項隱含：任一項0na且且0q3、 1q時，時，na 為常數列為常數列2021/8/228觀察數列觀察數列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.(2) 1，3，9，27，81，243，(3) (6) (4) 5，5，5，5，5，5，(5) 1，-1，1，-1，1，公比公比 q=2 遞增數列遞增數列公比公比 q=3 遞增數列遞增數列公比公比 d= x 公比公比 q=1 非零非零常數列常數列公公 比比q= -1 擺動擺動數列數列因為x的正負

7、性不確定，所以該數列的增減性等尚不能確定。)0(, 1432xxxxx,161,81,41,21公比公比 q= 遞減數列遞減數列212021/8/229考考你考考你由常數由常數aaa,所組成的數列所組成的數列一定為等比數列嗎一定為等比數列嗎? 不一定是等比數列。不一定是等比數列。若此常數列為若此常數列為00，則此數列從第二項起，則此數列從第二項起，第二項與它前一項的比將沒有意義，故非第二項與它前一項的比將沒有意義，故非零常數列才是等比數列。零常數列才是等比數列。因此，常數列一定是等差數列因此，常數列一定是等差數列, ,但但不一定但但不一定是等比數列是等比數列. .2021/8/2210數列：數

8、列：1，2，4，8，16，123456789102468101214161820012nna2021/8/2211 數列：數列： 12345678910123456789100,81,41,21,1,2,4,81182nna 2021/8/2212數列：數列：4，4，4，4，4，4，4，123456789101234567891004na2021/8/2213數列：數列：1，-1，1，-1，1，-1，1，1234567891012345678910011nna 2021/8/2214qaa12qaa23qaann112312nnaaaaaa1nq11nnqaaqaa12 2123qaqaa 3

9、134qaqaa 111 nnnqaqaa不完全歸納法不完全歸納法連乘法連乘法等比數列的通項公式2021/8/221511 nnqaa等比數列通項公式為：等比數列通項公式為：mnmqa 1 1、q=1q=1為常數列，為常數列，q0q1q1或或0q10q0,0,數列為遞增；數列為遞增； a a1 10,0,數列為遞減；數列為遞減；0q1, a0q0,0,數列為遞減；數列為遞減； a a1 10,1,q1,2021/8/2217數數 列列等等 差差 數數 列列等等 比比 數數 列列定定 義義公差（比）公差（比）定義變形定義變形 通項公式通項公式 一般形式一般形式 an+1-an=dqaann1d

10、叫叫公差公差q叫叫公比公比 an+1=an+d an+1=an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-mmnaadmn mnmnaaq 2021/8/2218例例:求下列等比數列的第求下列等比數列的第4，5項：項：（2）1.2，2.4，4.8， ,135)3(5144a.405)3(5155a, 6 . 922 . 1144a. 2 .1922 . 1155a（1） 5，-15，45，,83,21,32)3(,3294332144a,128274332155a,22,1 ,2)4(,21222144a,42222155a2021/8/22

11、19 例例:一個等比數列的第一個等比數列的第3項與第項與第4項分項分別是別是12與與18，求它的第，求它的第1項與第項與第2項項. 用用 表示題中公比為表示題中公比為q的等比數列，由已知條件，有的等比數列，由已知條件，有na,18,1243aa18123121qaqa即解得解得 因此因此，答：這個數列的第答：這個數列的第1項與第項與第2項分別是項分別是. 8316與11nnqaa1163,32aq21163832aaq解解:2021/8/2220世界雜交水稻之父袁隆平從從1976年至年至1999年在我國累計推廣種植雜交水稻年在我國累計推廣種植雜交水稻35億多畝，增產稻谷億多畝，增產稻谷3500

12、億公斤。年增稻谷可養億公斤。年增稻谷可養活活6000萬人口。萬人口。 西方世界稱他的雜交稻是西方世界稱他的雜交稻是“東東方魔稻方魔稻” ，并認為是解決下個世紀世界性饑餓，并認為是解決下個世紀世界性饑餓問題的法寶。問題的法寶。2021/8/2221 例例:培育水稻新品種，如果第培育水稻新品種，如果第1代得到代得到120粒種子，并且粒種子，并且從第從第1代起，以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的代起，以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子，到第粒種子，到第5代大約可以得到這種新品種的種子多少代大約可以得到這種新品種的種子多少粒（保留兩個有效數字）？粒（保留兩個有效數字）？解：解：由于

13、每代的種子數是它的由于每代的種子數是它的前一代種子數的前一代種子數的120倍，倍，因此，逐代的種子數組成因此，逐代的種子數組成等比數列，記為等比數列，記為 na5,120,1201nqa其中155120120a因此10105 . 2答：到第答：到第5代大約可以得到代大約可以得到這種新品種的種子這種新品種的種子 粒粒. 10105 . 211nnqaa2021/8/2222 例例 :某種電訊產品自投放市場以來，經過三次降某種電訊產品自投放市場以來，經過三次降價，單價由原來的價，單價由原來的174元降到元降到58元元. 這種電訊產品平這種電訊產品平均每次降價的百分率大約是多少（精確到均每次降價的百

14、分率大約是多少（精確到1%）？）？ 解：解：將原單價與三次降價后的單價依次排列，就組成一個依將原單價與三次降價后的單價依次排列，就組成一個依(1-x)為的公比等比數列為的公比等比數列 ，naxqnaa1,4,58,17441由已知條件，有由已知條件，有因此因此，答：上述電訊產品平均每次降價的百分率大約是答：上述電訊產品平均每次降價的百分率大約是31%.693.03113 x11nnqaa設平均每次降價的百分率是設平均每次降價的百分率是x，那么每次降價后的單價應是降價前的那么每次降價后的單價應是降價前的(1-x)倍倍.%31693.01x若原價格為a，則降價x后的價格應為a-ax=a(1-x)4

15、158174(1).x3113x整理后，得（），2021/8/2223 練習練習: :求下列數列的公比和通項：求下列數列的公比和通項： 1.21.2，2.42.4，4.84.8 -27-27，9 9，-3-3，1 1 5 5，2525，125,625125,625 2/32/3，1/21/2，3/83/81)31(27 nna31 q2 q5 qnna5 43 q1)43(32 nna122 . 1nna2021/8/2224 觀察如下的兩個數之間，插入觀察如下的兩個數之間，插入一個什么數后者三個數就會成為一一個什么數后者三個數就會成為一個等比數列：個等比數列：（1）1， ， 9 （2）-1，

16、 ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，132612021/8/2225等比中項等比中項如果在如果在a與與b中間插入一個數中間插入一個數G，使，使 a、G、b成等比數列，那么成等比數列，那么G叫做叫做a與與b的等比中項。的等比中項。abG 2因此，因此，abG如果如果G是是a與與b的等比中項，那么的等比中項，那么GbaG，即，即, a b同號時才有等比中項，且有兩個。2Gab是等比數列的必要條件。2021/8/2226 0n236例：公差不為 的等差數列 a中,a ,a ,a依次成等比數列，則公比是多少？2326解： a =aa 設公差為d22224adaad222da d0d 22da

17、32223aadqaa2021/8/2227)(*Npnmpnm、成等差數列時，成等差數列時，pnmaaa,成等比數列成等比數列,且且1、 公比為的公比為的q等比數列中，等比數列中，等比數列的性質：等比數列的性質：2nmpnmpaaaaaa是，的等比中項，即nmnpqmnpqaaaaa2、等比數列中，若則2021/8/2228 6102,162,aan2例：在等比數列 a中，a求2 6解法一： ， ，10成等差數列，2610,a a a成等比數列262102610213122aaaaaa2021/8/2229262102610213122aaaaaa2210666aaaaa解法二2021/8/

18、22302446aaaaaa2325解：2446aaaaaa22353524463522aaa aaaaaa a22352244635()236aaaaaaa a356aa35例例:在等比數列在等比數列an中中若若an0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,求求a3+a5.2021/8/2231數數 列列等等 差差 數數 列列等等 比比 數數 列列關關 系系 式式性性 質質中中 項項 構造三數構造三數 構造四數構造四數 2b=a+cb2=aca，a+d，a+2da, aq, aq2a-d，a，a+d或或aqaqa，或或a-3d，a-d，a+d， a+3d33aqaqqaqa，an=am +(

19、n-m) dan=amqn-mm+n=s+t an+am=as+atm+n=s+t anam=asat2021/8/2232例例: 有四個數，其中前三個數成等有四個數，其中前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，并比數列，后三個數成等差數列，并且第一個數與第四個數的和是且第一個數與第四個數的和是21，第二個數與第三個數的和是第二個數與第三個數的和是18，求，求這四個數。這四個數。2021/8/2233, ,2a aqaqaa解：方法一設前三個數分別為q 則第四個數為22118aqaaqaaq325qq或當q=2時,a=6,四個數為3，6，12，1834575 45 27 9當q= 時,a=,四

20、個數為， ， ，5444442021/8/22342, , a adada方法二設后三個數分別為a-d 則第一個數為2()2118adadaaad27124692aadd 或這四個數為3，6，12，1875 45 27 9或， ， ，44442021/8/2235,a方法三設前一個數為則第四個為21-a第二個數為b 則第三個為18-b 218212(18)abbbab75346454aabb或這四個數為3，6，12，1875 45 27 9或， ， ，44442021/8/2236判斷或證明數列判斷或證明數列 是否為等比是否為等比數列數列,一般是先求出通項公式一般是先求出通項公式,再判再判斷或證明斷或證明,判斷證明的方法主要有判斷證明的方法主要有以下四種以下四種:2112,0nnnnaaana2、13,0nnaac qcqq、 na*111,0,0nnaqnNqaa、2021/8/2237 nnnnabab已知,是項數相同的等比數列，求證是等比數列 nnab11證明：設數列的首項a，公比為p；數列的首項b，公比為q；111 111 1()()nnnnnnabab pqpqpqa bab pq（其中 ， 為常數）nnab則是等比數列2021/8/2238 nnac a如果是等比數列，c是不等于0的常數,那么數列是等比數列 n