1、第二十六講含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題學(xué)習(xí)幫手對于一元二次方程 ax2 + bx + c=O(a丸)的實根情況，可以用判別式 A=b 2-4ac來判 別，但是對于一個含參數(shù)的一元二次方程來說，要判斷它是否有整數(shù)根或有理根，那么就沒有統(tǒng)一的方法了 ，只能具體問題具體分析求解，當(dāng)然，經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì)本講結(jié)合例題來講解一些主要的方法例1 m是什么整數(shù)時，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0有兩個不相等的正整數(shù)根.解法1首先，m2-1丸,m工± . A=36(m-3) 2> 0,所以m工3.用求根公式可得6 12學(xué)習(xí)幫手由于xi, X2是正整數(shù)，所以m

2、-仁1 , 2 , 3, 6, m+1=1 , 2, 3, 4, 6, 12,解得 m=2 .這時 X1=6 , x2=4 .解法2首先，m2-1丸,m工± .設(shè)兩個不相等的正整數(shù)根為X1, X2,則由根與系數(shù)的關(guān)系知所以 m2-1=2 , 3, 4, 6, 8, 9, 12,18,24, 36 ,72 ,即m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,10 ,13, 19,25 , 37 , 73 ,只有m2=4 , 9, 25才有可能，即m= ±2, ±3, ±5.經(jīng)檢驗，只有m=2時方程才有兩個不同的正整數(shù)根說明一般來說，可以先把方程的根求出來(如

3、果比較容易求的話)，然后利用整數(shù)的性 質(zhì)以及整除性理論，就比較容易求解問題，解法1就是這樣做的.有時候也可以利用韋達 定理，得到兩個整數(shù)，再利用整除性質(zhì)求解，解法2就是如此，這些都是最自然的做法.例2已知關(guān)于x的方程a2x2-(3a 2-8a)x + 2a2-13a + 15=0(其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個整數(shù)根，求a的值.分析至少有一個整數(shù)根”應(yīng)分兩種情況：一是兩個都是整數(shù)根，另一種是一個是整數(shù) 根，一個不是整數(shù)根.我們也可以像上題一樣，把它的兩個根解出來.解因為aO,所以(3a2 - Sa) ±- 8a)2 - 4a2(2ar-13a + 15)B =2?(3a2 -8a) &

4、#177; (a2 + 2a)= 2? ，所以3a2 -Sa 4-(? 4-2a)3”W弘'-亦+5Sj=否=l_；所以只要a是3或5的約數(shù)即可，即a=1 , 3, 5 .例3設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二次方程mx2-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m的值.解一個整系數(shù)的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù).令=(m-1) 2-4m = n2.其中n是非負(fù)整數(shù)，于是m2-6m+1= n 2,所以(m-3)2-n2=8,(m-3 + n )(m-3-n) = 8.由于m-3 + n >m-3-n ,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶數(shù)

5、，所以m-3 + n與m-3-n同奇偶，所以"m -3+ n = 4,m = 6, n = Isin= 1所以m = E遠時方程的兩個根為說明一個整系數(shù)的一元二次方程如果有整數(shù)根或有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)，然后利用平方數(shù)的性質(zhì)、解不定方程等手段可以將問題解決例4關(guān)于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一個整數(shù)解，且a是整數(shù)，求a的值.解當(dāng)a=0時，原方程變成-6x-2=0 ,無整數(shù)解.當(dāng)a丸 時，方程是一元二次方程，它至少有一個整數(shù)根，說明判別式A=4(a-3) 2-4a(a-2) = 4(9-4a)為完全平方數(shù)，從而9-4a是完全平方數(shù).令9-4a=n

6、 2，則n是正奇數(shù)，且詳3(否則0)所以"弓由求根公式痔- 3) ±2n3 ±n吩=H=-"一所嘆要使xi為整數(shù)，而n為正奇數(shù)，只能n=1 ,從而a=2 .要使X2為整數(shù)，即n-3 | 4, n可取 1 , 5, 7,從而 a=2 , -4 , -10 .綜上所述,a的值為2, -4 , -10 .說明 本題是前面兩種方法的綜合”既要用判別式是平方數(shù)，又要用直接求根有時 候，往往是幾種方法一同使用例5已知關(guān)于x的方程2x2 + (a-6)x + a=0的兩根都是整數(shù)，求a的值.解 設(shè)兩個根為X1濃2,由韋達定理得衍 +x2 - 6 - a,= a.從上面

7、兩式中消去a得X1X2+X 1+X 2= 6 ,所以（X1+ 1）（X2+1）=7 ,昕以所以 a=X 1X2=0 或 16 說明利用韋達定理，然后把參數(shù)消去，得到的是關(guān)于X1 , X2的不定方程 對稱的不定方程往往是容易入手的而求解這個例6求所有有理數(shù)r,使得方程rx2+(r+1)x + (r-1)=0的所有根是整數(shù)關(guān)于X，均分析首先對r=0和r丸進行討論.r=0時，是關(guān)于x的一次方程；r丸時， 的二次方程，由于r是有理數(shù)，處理起來有些困難，這時用直接求根或用判別式來做 不能奏效.可用韋達定理，先把這個有理數(shù)r消去.解當(dāng)r=0時，原方程為x-仁0 ,所以x=1 .X1 >X2 ,當(dāng)r丸

8、 時，原方程是關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)它的兩個整數(shù)根為 xi, X2,且則消去r得X1X2-X1-X2 = 2 ,所以(Xi-1)(X 2-1)=3 .所以所以綜上所述.當(dāng)2身，X 1時，方程的所有根都是整瓠例7已知a是正整數(shù)，且使得關(guān)于x的一元二次方程ax2 + 2(2a-1)x + 4(a-3)=0至少有一個整數(shù)根，求a的值.解將原方程變形為(x + 2)2a= 2(x + 6).顯然x+ 2工0,于是2(x + £)由于a是正整數(shù)，所以a >1,即(盟+ 2滬，所以x2+2x-8切,(x+ 4)(x-2) <0,所以-4 <x<2(x 左2).當(dāng) x=-

9、4 , -3 , -1 , 0, 1 , 2 時，得 a 的值為 1, 6, 10, 3,14L 1.所的値為1, X 6. 10.說明從解題過程中知，當(dāng)a=1時，有兩個整數(shù)根-4 , 2;當(dāng)a=3 , 6,10時，方程只次的，可以先對這個有一個整數(shù)根.有時候，在關(guān)于x的一元二次方程中，如果參數(shù): 參數(shù)來求解.例8已知方程x2+bx+c=0 與x2+cx + b=0各有兩個整數(shù)根求證：b-1 <c命+ 1 ;求b, c的所有可能的值.解由XiX2> 0知，xi與X2同號.若xi > 0 ,則X2> 0 , 這3T-b =心+知山斯以bUD-與君盾.所以.KjCOr益由(

10、1)知，xi v 0, X2V 0,所以xiW-1 , X2W-1 .由韋達定理c-(b-1)=x 1X2 + Xi+ X2+ 1=(x1 + 1)(x2+1) >0,所以c >b-1 .同理有b *(_v -1J 弓洗詳)+孟+ Xjj + 1=(xi+r)(虬 +1丿所以c Wb+1 ,所以b-1 wc命+1 .由(2)可知，b與c的關(guān)系有如下三種情況(i)c=b + 1.由韋達定理知X1X2=-(X 1 + X2)+ 1 ,所以(X1+ 1)(X2+ 1)=2 ,叫kj + =-2iXj + 1 = -2(z2+ 1 -1.解得 X1 + X2=-5 , X1X2=6 ,所以 b=5 , c=6 .(ii)c=b .由韋達定理知X1X2=-(X 1+ X2),所以(X1 + 1)(X2 + 1)=1 ,所以 X