1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載導(dǎo)數(shù)檢測題1已知函數(shù) f ( x)ln xax 1( x0)（ 1）若對任意的 x1,), f ( x)0 恒成立，求實數(shù)a 的最小值 .a5f ( x)1 x2b1,4 上恰有兩個不相等的實數(shù)根，（ 2）若2 且關(guān)于 x 的方程2在求實數(shù) b 的取值范圍；（ 3 ） 設(shè) 各 項 為 正 的 數(shù) 列 an 滿 足 ： a11,an1ln an an 2, n N * . 求 證 ：an 2 n1【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)的思想求解函數(shù)的最值得到。amin1a5f ( x)1x2b1,4 上第二問中，若2 且關(guān)于 x 的方程2在恰有兩個不相等的實數(shù)根，利用構(gòu)造新函數(shù)，借助于圖像

2、與圖像的交點問題。第三問中，設(shè) h( x) ln xx1, x1,，由 1 ） ln xx1.a1 1.假設(shè)ak1(kN* ),則ak1 ln akak2 1，故an1(nN* ).從而an 1ln anan22an1.1an1 2(1an )2n (1a1 ).即 1 an2n ， an2n1解：（ 1）因為對任意的x1,),f ( x)0 恒成立，只需求解函數(shù)的最大值小于等于零即可。即得到amin1a5f ( x)1 x2b1,4 上解：若2 且關(guān)于 x 的方程2在恰有兩個不相等的實數(shù)根，利用構(gòu)造新函數(shù)，借助于圖像與圖像的交點問題來解決得到ln 2 2b1（ 3）設(shè) h( x)ln x x

3、1, x1,，由 1） ln xx1.a1 1.假設(shè)ak1(kN* ),則ak 1ln akak 21，故an 1(nN* ).從而 an 1ln anan22an1.1 an 12(1an )2n (1a1 ).即 1 an2n ， an2n1優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2已知 a 為正實數(shù)， n 為自然數(shù)，拋物線 yx2an與 x 軸正半軸相交于點A ，設(shè)2f ( n) 為該拋物線在點A 處的切線在 y 軸上的截距。（）用 a 和 n 表示 f (n) ；（）求對所有n 都有 f ( n)1n3成立的 a 的最小值；f ( n)1 n31（）當(dāng)0a1時，比較n1與 27f (1)f ( n) 的大

4、小， 并說明理由。f (k )k 1f (2 k)4f (0)f (1)n1【解析】（ 1）由已知得，交點 A 的坐標(biāo)為a,0 ，對 y2n求導(dǎo)得'2xx2 ay2則拋物線在點A處的切線方程為nnannny2 a (x2),即 y2 a x a .則 f (n) an , 則 f (n)1n3n2n3由（ 1）知 f(n)=a成立的充要條件是a1即知， af (n)1n312n31對于所有的 n 成立，特別地，取n=2 時，得到 a17n當(dāng) a17 , n3時 ,nnn12233a4(1 3) 1 Cn 3 Cn 3 Cn 3122331C n3Cn3Cn331n 5 (n2312 n

5、22)(2n5)>2n +1時，顯然 (17)n3當(dāng) n=0,1,22 n117時， f ( n)13故當(dāng) a=3對所有自然數(shù)都成立nf ( n)1 n 1所以滿足條件的a 的最小值是17 。ann1n1（ 3）由（ 1）知 f (k)，則f ( k)f (2k)k2 kk 1k 1 aanf (1)f ( n)aaf (0)f (1)1a優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載n127f (1)f ( n) .下面證明：k 1 f (k)f (2k)4f (0)f (1)首先證明：當(dāng)0<x<1 時，1327 x4xx272812設(shè)函數(shù) g (x)4 x( xx)1,0x1則 g'( x

6、)4x(x3)當(dāng)0x2時， （）0;當(dāng)2x1時，g'() 03g'x3x故 g(x) 在區(qū)間（ 0,1 ）上的最小值g(x)=g (20min)3所以，當(dāng) 0<x<1 時， g(x) 0, 即得1227 x4xx由 0<a<1 知 0<ak<1( k* ),因此k12k27k，從而Naa4 an1n1f (k) f (2k )1 ak2 kk 1ka27 nk4k 1an127aa41an27aa41a27f (1)f (n)4f (0)f (1)3已知函數(shù) f(x)=1x 2 ax + (a 1)ln x ， a12（ I ）討論函數(shù)f (

7、x) 的單調(diào)性；（ II ）若 a2，數(shù)列 an 滿足 an 1f (an ) 若首項 a1 10 ，證明數(shù)列 an 為遞增數(shù)列；若首項為正整數(shù)，數(shù)列 an 遞增，求首項的最小值【答案】解（ I）可知 f (x)的定義域為 (0,) ，且/( x)xaa 1 x2ax a 1 ( x 1)(x 1 a)fxxx優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載當(dāng) a11即 af / ( x)(x 1)20,得 f ( x) 在 (0,) 單調(diào)增加2 ,則x當(dāng) a11 , 而 a1 , 即1 a2 時 , 若 x(a1,1) ，則 f / ( x )0 ; 若 x (0, a1) 或x(1,) ，則 f /(x)0 此時 f

8、 ( x)在 (a1,1) 單調(diào)減少，在 (0, a1),(1,) 單調(diào)增加；當(dāng) a11,即 a2,可得 f ( x) 在 (1,a1) 單調(diào)減少，在 (0,1),( a1, ) 單調(diào)增加 .綜上，當(dāng) 1a2 時，函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 (a1,1)上單調(diào)遞減， 在區(qū)間 (0, a 1) 和 (1,)上單調(diào)遞增；當(dāng)a2 時，函數(shù) f ( x) 在 (0,) 上單調(diào)遞增；當(dāng) a2 時，函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 (1,a1) 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 (0,1) 和 (a1, ) 上單調(diào)遞增（ II）若 a2 ，1則 f (x) = 2 x2 2x + ln x ，由（ I）知函數(shù) f ( x)在

9、區(qū)間 (0,) 上單調(diào)遞增（ 1）因為 a110 ，所以 a2f (a1 )f (10)30 ln10 ，可知 a2a1 假設(shè) 0akak1 ，因為函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 (0,) 上單調(diào)遞增， 所以 f ( ak 1)f ( ak ) ，即得 ak2ak10 所以，由數(shù)學(xué)歸納法可得anan1 因此數(shù)列 an 為遞增數(shù)列（ 2）由（ 1）知：當(dāng)且僅當(dāng) 0a1a2 ，數(shù)列 an 為遞增數(shù)列12> a1，且 a1所以，題設(shè)即2 a1 2 a1 + ln a1為正整數(shù)121 a 23a ln a0由 2 a1> a1，得 2111 2 a1 + ln a1g ( x)1 x 23x

10、ln x( x 1)g/ x() x 31) 遞令2，則x ，可知函數(shù) g ( x) 在區(qū)間 3,g(1)10g(5)5ln 50326 ln 2ln 242增由于2， g (2)0 ，g(6)ln 60 所以，首項 a1 的最小值為 64已知 mR ，函數(shù) f (x)mxm1 ln x, g( x)1ln x .xx（ 1）求 g( x) 的極值；優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（ 2）若 yf ( x) g (x) 在 1,) 上為單調(diào)遞增函數(shù)，求m 的取值范圍；（ 3）設(shè) h( x)2e（ e 是自然對數(shù)的底數(shù)）上至少存在一個x0 ，使得，若在 1,exf (x0 )g (x0 )h(x0 ) 成立

11、，求 m 的取值范圍。【解析】試題分析： （ 1）由題意，x0 ， g ( x)11x12x2，xx當(dāng) 0x 1時， g ( x) 0 ；當(dāng) x1時， g ( x)0 ，所以，g (x) 在 (0,1) 上是減函數(shù)，在(1,) 上是增函數(shù)，故 g( x)極小值 g(1) 1, 無極大值 .（ 2） f ( x)g( x)mxm2ln x ， f ( x)g ( x)mx22xm，x2x由于 f (x)g (x) 在 1,) 內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，所以mx22 xm0在1,) 上恒成立，即 m2 x在 1, ) 上恒成立，故m(2 x1 ，所以 m 的取值范圍是 1,) 1 x22 )max1x（ 3

12、）構(gòu)造函數(shù) F (x)f ( x)g( x)h( x)mxm2ln x2e ，xx當(dāng)m 0時由x1,e得，mxm02e1,e， 2lnx0 ，所以在上不存在一個x0 ，xx使得 f (x0 )g ( x0 )h(x0 ) 當(dāng) m 0 時，F(xiàn) ( x)mm22emx22x m2ex2xx2x2，因為 x1,e，所以 2e2x0 ， mx2m0 ，所以 F( x)0 在1,) 上恒成立，故 F (x) 在 1,e上單調(diào)遞增， F (x)maxF ( e)mem4 ，e所以要在 1,e上存在一個 x0 ，使得F (x)0 ，必須且只需mem40 ，e解得 m4e，故 m 的取值范圍是4e,) 21(

13、 2ee1另法 : （）當(dāng) x 1時， f (1)g (1)h(1) 當(dāng) x(1,e 時，由 f (x)g (x)h( x) ，得m2e2 xln x ，x21令 G(x)2e2xln x，則 G ( x)(2x 22)ln x(2 x24ex2)0 ，x21(x 21)2所以 G (x) 在(1,e上遞減， G ( x)minG(e)4ee2 1優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載綜上，要在1,e 上存在一個x0 ，使得 f ( x0 )g( x0 ) h( x0 ) ，必須且只需 m4e2e15已知函數(shù) fx12a ln 1x22,1 上是增函數(shù)，在,2 上是減x在函數(shù)（ 1）求函數(shù) fx的解析式；（ 2）若 x 11, e1時， fxm恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍；e（ 3）是否存在實數(shù)b ，使得方程fxx2xb 在區(qū)間 0 , 2 上恰有兩個相異實數(shù)根，若存在，求出b 的范圍，若不存在說明理由【答案】（ 1） f xx1212ln x（ 2） mf e1e22（ 3） 2 2 ln 2 b 3 2 ln 3【解析】試題分析 :fx2x2 1x a2a2x1 22 x1x 1依題意得 f 222a0 ，所以 a1 ，從而 f xx 1 2ln x 1 2 2 x222x x2 fx1令 fx0，得 x0 或 x2 （舍去），x1x1，因為 f (x) 在 11,0遞減，在 0,e1