1、2.2.1 微分的概念2.2.3 微分的運算2.2.4 微分在近似計算中的應用2.2 微分2021-11-101北京師范大學2.2 微分(34)2實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xa 0 x0 x,00 xxx 變到變到設邊長由設邊長由,20 xa 正方形面積正方形面積2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數的線性函數ax .,很小時可忽略很小時可忽略當當的高階無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 02.2.1 2.2.1 微分的概念微分的概念2

2、.2 微分(34)3又如：又如：.,03yxxxy 求函數的改變量求函數的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設函數設函數3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時時當當 x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題: :這個線性函數這個線性函數(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數的改變量都有所有函數的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2.2 微分(34)41. 微分的定義00d |d ()x xyf xax 微分微分 稱為函數增量稱為

3、函數增量 的的線性主部線性主部（微分實質）（微分實質）.dyy ),()()(00 xoxaxfxxfy 2.2 微分(34)5定義表明定義表明: :()1dyoxyax).0(1 x2.2 微分(34)62.可微的條件).(,)()(000 xfaxxfxxf 且且處可導處可導在點在點數數可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點在點函數函數定理定理1證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxay ,)(xxoaxy xxoaxyxx )(limlim00則則.a ).(,)(00 xfaxxf 且且可導可導在點在點即函數即函數2.2 微分(34)7(2) 充分性充分

4、性, xxay 從而從而, axy即即,)(0可可導導在在點點函函數數xxf,)(lim00axfxyx ),0(0 x0(),fxa 解解例例1 1.02. 0, 23時的微分時的微分當當求函數求函數 xxxy3d()yxx .32xx 220.020.022d |3|xxxxyxx .24. 0 ),( xoxay 于是于是2.2 微分(34)8d( ).yfxx d( )d .yfxx d( ).dyfxx 0().afx 可導可導 可微可微，2.2 微分(34)93.微分的幾何意義)(xfy 0 xmntdyy)( xo ）xyo x 如圖所示：如圖所示：xx0 p .,mnmpmx可

5、近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當當 .d,對應的增量對應的增量就是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時為曲線的縱為曲線的縱當當yy 2.2 微分(34)10d( )dyfxx 求法求法: : 計算函數的導數計算函數的導數, 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.（1）基本初等函數的微分公式）基本初等函數的微分公式122d( )0d()dd(sin )cos dd(cos )sin dd(tan )secdd(cot)cscdd(sec )sectan dd(csc )csccot dcxxxxx xxx xxx xxx xxxx xxxx x 1

6、.1.微分公式：微分公式：2.2.2 2.2.2 微分的運算微分的運算2.2 微分(34)112222d()ln dd(e )e dddd(log)d(ln )lnddd(arcsin )d(arccos )11ddd(arctan )d(arccot)11xxxxaaaa xxxxxxxaxxxxxxxxxxxxx （2） 函數和、差、積、商的微分法則函數和、差、積、商的微分法則2d()ddd()dddd()ddd( )uvuvcuc uuv uu vuvv uu vvv 2.2 微分(34)12例例2 2解解.d),eln(2yxyx求求設設 ,ee2122xxxxy .dee21d22x

7、xxyxx 例例3 3解解.d,cose31yxyx求求設設 )(cosde)e (dcosd3131xxyxx .sin)(cos,e3)e (3131xxxx xxxxyxxd)sin(ed)e3(cosd3131 .d)sincos3(e31xxxx 2.2 微分(34)132. 一階微分形式的不變性;d)(d,)1(xxfyxx 是自變量時是自變量時若若則則微函數微函數的可的可即另一變量即另一變量是中間變量時是中間變量時若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有導導數數設設函函數數xxfyd)(d ,d)()(tttftx .d)(d ttfyt 即即結論結論：的微分形式總

8、是的微分形式總是函數函數是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,ufyu 微分形式的不變性微分形式的不變性uufyd)(d 2.2 微分(34)14例例4 4 設設解解esin,d .axybxy 求求decosd()sined()axaxybxbxbxaxecosdsine()daxaxbx b xbxax e( cossin)d .axbbxabxx 例例3 3 設設解解sin(21),d .yxy求求. 12,sin xuuydcos dyu u cos(21)d(21)xxcos(21) 2dxx 2cos(21)d .xx )d(esin)d(sinedaxaxbxbx

9、y 2.2 微分(34)15例例5 5解解 在下列等式左端的括號中填入適當的在下列等式左端的括號中填入適當的函數函數,使等式成立使等式成立.2(1)d()cosd ;(2)d(sin)()d().t txx (1)d(sin)cosd ,tt t 1cosdd(sin)t tt 1d(sin)cosd .tct t 1d(sin);t 22d(sin)2 cosd(2)1d()d2xxxxxxx ,cos42xxx 22d(sin)(4cos)d().xxxxx 2.2 微分(34)16微分學所要解決的兩類問題微分學所要解決的兩類問題:函數的變化率問題函數的變化率問題函數的增量問題函數的增量問

10、題微分的概念微分的概念導數的概念導數的概念求導數與微分的方法求導數與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導數理論及其應用的科學研究微分法與導數理論及其應用的科學,叫做叫做微分學微分學.導數與微分的聯系導數與微分的聯系:.可微可微可導可導 2.2.4 2.2.4 小結與思考題小結與思考題2.2 微分(34)17導數與微分的區別導數與微分的區別1 1、函數、函數 在點在點 處的導數處的導數 為一個常為一個常數，而微分數，而微分 為為 的線性函數，的線性函數，其定義域為全體實數，它是當其定義域為全體實數，它是當 時的無時的無窮小，即窮小，即d0000limlim()()xxxxyfxxx(

11、 )f x0 x0()fxd00()()yfxxxx0 xx2 2、從幾何意義上來看，、從幾何意義上來看， 為曲線為曲線 在在點點 處的切線斜率，而微分處的切線斜率，而微分 為為曲線曲線 在點在點 處的切線上對應于處的切線上對應于 的縱坐標的增量的縱坐標的增量. .0()fx( )yf xxd00()()yfxxx( )yf x00(,()xf x0 xx2.2 微分(34)18思考題思考題2.2 微分(34)19思考題解答思考題解答說法不對說法不對. 從概念上講，微分是從求函數增量引從概念上講，微分是從求函數增量引出線性主部而得到的，導數是從函數變化出線性主部而得到的，導數是從函數變化率問題

12、歸納出函數增量與自變量增量之比率問題歸納出函數增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念的極限，它們是完全不同的概念. 2.2 微分(34)20課堂練習題課堂練習題2.2 微分(34)212.2 微分(34)22課堂練習題答案課堂練習題答案2.2 微分(34)23,0)()(00很很小小時時且且處處的的導導數數在在點點若若xxfxxfy 例例6 6?,05. 0,10問問面面積積增增大大了了多多少少厘厘米米半半徑徑伸伸長長了了厘厘米米的的金金屬屬圓圓片片加加熱熱后后半半徑徑解解,2ra 設設.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdaa 205. 0102 ).(2厘米厘米 2.2.

13、3 2.2.3 微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用000|d |()x xx xyyfxx 2.2 微分(34)24;)(. 10附近的近似值附近的近似值在點在點求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x 例例7 7.0360coso的近似值的近似值計算計算 解解,cos)(xxf 設設)( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff2.2 微分(34)25)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 ;0)(. 2附近

14、的近似值附近的近似值在點在點求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令2.2 微分(34)26常用近似公式常用近似公式)(很小時很小時x證證,1)()1(nxxf 設設,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx ；為弧度為弧度)(sin)2(;11)1()1(1xxxxnxn );(tan)4(1e)3(為弧度為弧度；xxxxx .)1ln()5(xx 2.2 微分(34)27例例8 8.計計算算下下列列各各數數的的近近似似值值解解.e)2(;5 .998)1(03. 03 3

15、35 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01e)2(03. 0 .97. 0 2.2 微分(34)283. 誤差估計 由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數據往往帶有誤方法等各種因素的影響，測得的數據往往帶有誤差，而根據帶有誤差的數據計算所得的結果也會差，而根據帶有誤差的數據計算所得的結果也會有誤差，我們把它叫做有誤差，我們把它叫做間接測量誤差間接測量誤差./.,的相對誤差的相對誤差叫做叫做值值的比的比而絕對誤差與

16、近似值而絕對誤差與近似值的絕對誤差的絕對誤差叫做叫做則則近似值為近似值為若某個量的精確值為若某個量的精確值為aaaaaaaaaa 2.2 微分(34)29辦法辦法: :將誤差確定在某一個范圍內將誤差確定在某一個范圍內. ./,的的相相對對誤誤差差限限叫叫做做測測量量而而的的絕絕對對誤誤差差限限叫叫做做測測量量那那末末即即又又知知道道它它的的誤誤差差不不超超過過是是測測得得它它的的近近似似值值如如果果某某個個量量的的精精度度值值是是aaaaaaaaaaa 通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為絕對誤絕對誤差差與與相對誤差相對誤差.問題問題:實際中實際中,絕對誤差與相對誤差無法求得絕對誤差與相對誤差無法求得?2.2 微分(34)30例例9 9.,005. 041. 2誤差誤差并估計絕對誤差與相對并估計絕對誤差與相對求出它的面積求出它的面積米米正方形邊長為正方形邊長為 解解則則面面積積為為設設正正方方形形邊邊長長為為,yx.2xy ,41. 2時時當當 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 ,005. 0 x 邊長的絕對誤差為邊