1、無窮小與無窮大無窮小與無窮大三三、 無窮大無窮大 四、四、 無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系 一、一、 無窮小的概念和性質(zhì)無窮小的概念和性質(zhì)二、無窮小的比較二、無窮小的比較1. 無窮小的定義無窮小的定義如如,0)1(lim1 xx函數(shù)函數(shù) x 1為當為當 x 1時的無窮小時的無窮小;,01lim xx函數(shù)函數(shù) 為當為當x 時的無窮小時的無窮小;x1 當當 x x0 （或（或 x ）時，）時，如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 0 , 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x) 為當為當 x x0 （或（或 x ）時的無窮小）時的無窮小.注注1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆

2、;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).極限為極限為0的數(shù)列也稱為無窮小數(shù)列的數(shù)列也稱為無窮小數(shù)列. 0時的無窮小時的無窮小為為其中其中xx ,)( Axf證證:，Axfxx )(lim0 ,)( Axf 令令. 0lim0 xx且且Axfxx )(lim0必要性必要性. 0時的無窮小時的無窮小為為即即xx （ x 時類似）時類似）充分性充分性.,)( Axf于是，于是，則則0)(lim0 Axfxx000lim( )limlimxxxxxxf xAA 2. 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系意義意義將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限

3、問題(無窮小無窮小)定理定理 1.13.無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 兩個無窮小的和也是無窮小兩個無窮小的和也是無窮小.也也成成立立上上述述結(jié)結(jié)論論對對 x注：有限個無窮小之和仍為無窮小注：有限個無窮小之和仍為無窮小. 無限個無窮小無限個無窮小之和不一定是無窮小之和不一定是無窮小 ！性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 .結(jié)論結(jié)論: 在同一過程中在同一過程中,兩個無窮小的和、差、積仍兩個無窮小的和、

4、差、積仍是無窮小量是無窮小量. 則稱則稱 y=A 是曲線是曲線 的的水平漸近線水平漸近線.)(xfy .sinlim xxx 求求解解: 1sin x因因01lim xx利用性質(zhì)利用性質(zhì) 2 可知可知.0sin1limsinlim xxxxxx可見，可見，y = 0 是是xxysin 的水平漸近線的水平漸近線 .yxxysin xO( )f x若若函函數(shù)數(shù)滿滿足足例例.lim( )()xf xA 二、無窮小的比較二、無窮小的比較,0時時xxxxsin,32都是無窮小都是無窮小,xxx3lim20,0 20sinlimxxx, xxx3sinlim0,31 但但 可見無窮小趨于可見無窮小趨于 0

5、 的速度是不一樣的的速度是不一樣的 . 在無窮小的極限運算中在無窮小的極限運算中, 若自變量的變化過程若自變量的變化過程相同，相同，兩個無窮小的和、差、積都是無窮小，但兩個無窮小的和、差、積都是無窮小，但是兩個無窮小的商卻未必是無窮小！是兩個無窮小的商卻未必是無窮小！,0lim 若若則稱則稱 是比是比 高階的無窮小高階的無窮小,)( o 若若,1lim 若若 ,0lim C 設設 , 是自變量同一變化過程中的無窮小是自變量同一變化過程中的無窮小,記作記作則稱則稱 與與 是同階無窮小是同階無窮小;則稱則稱 與與 是等價無窮小是等價無窮小, 記作記作 00lim0( )( ( )() .xxfxf

6、 xo g xxxg x00( )lim1 ( ) ( ) ().( )xxf xf xg xxxg x幾個例子幾個例子20cos1limxxx 21 ,故故 x 0 時時,).(3 , 3 , 0 , 03lim 2220 xoxxxxxxx 即即高階的無窮小高階的無窮小是比是比時時故故是同階無窮小是同階無窮小與與時時故故 3 9 3 , 639lim223 xxxxxx，221 cos1xx . sin sin 0 , 1sinlim0 xxxxxxxx即即是等價無窮小是等價無窮小與與時時故故,丆 ; )0(arctan , 1arctanlim 0 xxxxxx所以所以因為因為. 1 1

7、1 , 0 :xnxxn 時時當當證證明明證證: lim0 x11 nxxn10lim x 11 nnxxn1 11121 nnnnxx1 )(121 nnnnnbbaababa另證：另證：. 1 0 , 1 ,1 txtxtxnn，時時且且當當則則xxnnx1011lim 故故)1(1lim11 nnttt12111lim nttttn1 定理定理2. 則則存在存在且且設設 , lim , , . limlim 證證: lim lim lim lim lim lim例例.xxx5sin2tanlim0 xxx52lim0 52 ) 5 5sin ,2 2tan (xxxx等價無窮小替換定理等

8、價無窮小替換定理定理告訴我們定理告訴我們, 在求極限時在求極限時, 乘除運算中的無窮小乘除運算中的無窮小因子可用等價無窮小量代替因子可用等價無窮小量代替, 以便簡化極限計算以便簡化極限計算.例例320arctanlim.(1)sin2xxxx 計計算算2200arctan1limlim.2(1)sin2(1)2xxxxxxxx解解),0(22sin,arctanxxxxx因為因為所以所以.sinsintanlim30 xxxx 例例4 求求30limxxxx 原式原式解解 30sinsintanlimxxxx 30sin(1cos )1limcosxxxxx 21 32210limxxxx 注

9、注1 在利用等價無窮小量代換求極限時在利用等價無窮小量代換求極限時, 應注意應注意：只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替代等價無窮小量來替代, 而對極限式中相加或相減而對極限式中相加或相減的部分則不能隨意替代。的部分則不能隨意替代。,0時時當當x111.nnxx 常用等價無窮小常用等價無窮小 :.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx axaxln1.3sinlim30 xxxx 求求xxxx3lim30 31 例例5.解：原式解：原式31lim20 xx231x221

10、x 例例6. .1cos1)1(lim 3120 xxx求求解解:,0時時當當x1)1(312 x21,3x1cos x221x 0lim x原式原式32 1. 無窮大的定義無窮大的定義 若在上述定義中若在上述定義中f (x) 大大(小小) 于于0而絕對值無限增大而絕對值無限增大,則則稱稱 f (x) 為正為正無窮大無窮大 (或負或負無窮大無窮大) , 則相應地記作則相應地記作 )(lim )(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或三、無窮大三、無窮大或或 ( )(lim0 xfxx)(lim xfx 若自變量若自變量x 的某個變化過程中的某個變化過程中,函數(shù)函數(shù) f (x) 的絕對值的

11、絕對值| f (x) | 無限增大無限增大 , 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x) 為該變化過程中的為該變化過程中的無無窮大窮大(以以 x x0 , x 為為例例)，記為，記為 1. 無窮大不是很大的數(shù)無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài)它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大函數(shù)為無窮大 , 必定無界必定無界 . 但反之不真但反之不真 !例如例如, 考察函數(shù)考察函數(shù).cos)(時時的的狀狀態(tài)態(tài)為為 xxxxf )2( nf2n但但0)(2 nf （當（當n 時）時）注意注意:故故 f (x) 無界。無界。所以所以 f (x) 不是無窮大不是無窮大 !. 11lim 1 xx.11lim1

12、 xx為曲線為曲線)(xfy 的的鉛直漸近線鉛直漸近線 .鉛直漸近線鉛直漸近線若若 ,)(lim0 xfxx則稱直線則稱直線0 xx 說明說明:11 xy111)( xxf例例 由函數(shù)由函數(shù) 的圖象可知的圖象可知:當當x 1時時, 函數(shù)函數(shù) 是無窮大是無窮大, 即即11 x當當x 1+時時, 函數(shù)函數(shù) 是正無窮大是正無窮大, 即即11 x當當x 1- -時時, 函數(shù)函數(shù) 是負無窮大是負無窮大, 即即11 x. 11lim 1 xx若若 f (x)為無窮大為無窮大, )(1xf則則 為無窮小為無窮小 ;定理定理若若 f (x)為無窮小為無窮小, 且且 f (x) 0, 則則 為無窮大為無窮大.)

13、(1xf意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論, 都可歸結(jié)為關(guān)于無窮都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論小的討論.直觀地說直觀地說:無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系.作為函數(shù)極限的一個應用，我們來討論曲線的漸作為函數(shù)極限的一個應用，我們來討論曲線的漸在中學里我們已經(jīng)知道雙曲線的在中學里我們已經(jīng)知道雙曲線的標準方程為標準方程為, 12222byax它的漸近線方程為它的漸近線方程為.xabyxaby xaby 12222 byaxoxy近線問題近線問題.1 漸近線的一般定義漸近線的一般定義.定義定義4 設設 L 是一條直線是一條直線, 若曲線若曲線 C 上的動點上的動點 P

14、沿沿曲線無限遠離原點時曲線無限遠離原點時, 點點 P 與與 L 的距離趨于零的距離趨于零, 則則稱直線稱直線 L 為曲線為曲線 C 的一條漸近線的一條漸近線(如圖如圖).bkxy PNML L)(xfy C CxyO2( )|.1f xkxbPNk 首先首先, 我們來看如何求曲線我們來看如何求曲線 的斜漸近線的斜漸近線.)(xfy 如圖所示如圖所示, 設斜漸近線設斜漸近線 L 的方程為的方程為.bkxy 曲曲線上的動點線上的動點 至直線至直線 L 的距離為的距離為),(yxP2 漸近線的求法漸近線的求法.漸近線分為斜漸近線和垂直漸近線漸近線分為斜漸近線和垂直漸近線.bkxy PNML L)(x

15、fy C CxyO從而從而. )(limkxxfbx 又又( )( )limlim0.xxf xf xkxkxx 所以所以.)(limxxfkx ,01)(lim2 kbkxxfx由漸近線的定義，由漸近線的定義，或或時時 (x xx,即即時）時）,0,PN這樣就確定了斜漸近線的兩個參數(shù)：這樣就確定了斜漸近線的兩個參數(shù)：( )lim,xf xkx lim ( ).xbf xkx這是沿這是沿 x 軸正向的漸近線的方程軸正向的漸近線的方程. 顯然沿顯然沿 x 軸負向軸負向( )lim,xf xkx lim ( ).xbf xkx 同樣也可以求出沿著同樣也可以求出沿著 x 的漸近的漸近線方程線方程.的

16、斜漸近線的斜率和截距分別為的斜漸近線的斜率和截距分別為注注 特別當特別當 k = 0 時，該漸近線稱為時，該漸近線稱為水平漸近線水平漸近線. )()(lim Axfx. )(lim,)(lim(AxfAxfxx 滿足滿足若函數(shù)若函數(shù))(xf )(lim0 xfxx, )(lim)(lim(00 xfxfxxxx或或則稱則稱 x = x0 是曲線是曲線 的的垂直漸近線垂直漸近線.)(xfy 顯然，曲線顯然，曲線 y = f (x) 有水平漸近線的充要條件是有水平漸近線的充要條件是例例9 求曲線求曲線3223 xxxy的漸近線的漸近線.)(lim,)(lim31 xfxfxx并且并且 f (x)

17、在其他點處均有有限極限，所以求得在其他點處均有有限極限，所以求得垂垂. 3,1 xx解解易見易見,)1)(3(3 xxx32)(23 xxxxf設設直漸近線為直漸近線為:,1)1)(3(lim)(lim2 xxxxxfxx又又;1 k得得xxxxxxf 32)(23,323222 xxxx.2)(lim xxfbx得得于是求得斜漸近線方程為于是求得斜漸近線方程為（如如右右圖圖所所示示）.2 xy13 2 xyOxy1 x3 x一、填空題一、填空題: :1 1、 凡凡無無窮窮小小量量皆皆以以_ _ _ _ _ _ _ _ _為為極極限限. .)(,_2的水平漸近線的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)直線直線條件下條件下、在、在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其中其中、._,)(,4是無窮小是無窮小則則是無窮大是無