1、第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 1 掌握掌握剛體的平動、轉動和定軸轉動的概剛體的平動、轉動和定軸轉動的概念。念。掌握掌握力矩、力矩的功和轉動動能的概念。力矩、力矩的功和轉動動能的概念。 2 正確理解正確理解轉動慣量、角動量（動量矩）和轉動慣量、角動量（動量矩）和沖量矩的概念。沖量矩的概念。第三章第三章 3 掌握掌握剛體繞定軸轉動的轉動定律。剛體繞定軸轉動的轉動定律。 4 掌握掌握角動量定理和角動量守恒定律及其適角動量定理和角動量守恒定律及其適用條件，并能應用該定律分析、計算有關問題。用條件，并能應用該定律分析、計算有關問題。 Chap 3 Chap 3

2、剛體轉動剛體轉動（Motion of Rigid Body）概要：實際的物體運動不總是可以看成質點的運動。概要：實際的物體運動不總是可以看成質點的運動。一、何謂剛體一、何謂剛體在任何情況下形狀和大小都不發生變化的物體。在任何情況下形狀和大小都不發生變化的物體。即每個質元之間的距離無論運動或受外力時都即每個質元之間的距離無論運動或受外力時都保持不變。保持不變。 mi mji jrc 第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj二、剛體運動的兩種基本形式二、剛體運動的兩種基本形式1、 平動平動-剛體運動時，剛體內

3、任一直線恒保剛體運動時，剛體內任一直線恒保持平行的運動持平行的運動 mi mj mi mjirjr mi mjOijr 選取參考選取參考點點O，則，則：(1)jiijrrr jivvjiaacrij對（對（1）式求導：）式求導： mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應結論：剛體平動時，其上各點具有相同的速度、加速結論：剛體平動時，其上各點具有相同的速度、加速度、及相同的軌跡。度、及相同的軌跡。只要找到一點的運動規律，剛體只要找到一點的運動規律，剛體的運動規律便全知道了。事實上這一點

4、已經知道的運動規律便全知道了。事實上這一點已經知道-質質心運動已告訴了我們。也就是說質心運動定理是反映心運動已告訴了我們。也就是說質心運動定理是反映物體平動規律。物體平動規律。2、轉動、轉動: 定軸轉動和定點轉動定軸轉動和定點轉動剛體的各質元在運動中都繞一固定軸作圓周運動，稱剛體的各質元在運動中都繞一固定軸作圓周運動，稱為剛體作定軸轉動。為剛體作定軸轉動。OO定點轉動：繞一固定點轉動。如陀螺。定點轉動：繞一固定點轉動。如陀螺。第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應3、剛體的一、剛體的一 般運動般運動一般運動：剛體的任一個位移總可以看成是一個隨質一般運動：剛體的任

5、一個位移總可以看成是一個隨質心的平動加上繞質心的轉動組合。平動轉動心的平動加上繞質心的轉動組合。平動轉動第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應xz參考平面參考平面)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標角坐標約定約定r沿逆時針方向轉動沿逆時針方向轉動 r沿順時針方向轉動沿順時針方向轉動 tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向參考軸參考軸三、剛體定軸轉動的角速度和角加速度三、剛體定軸轉動的角速度和角加速度第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應角加速度角加速度t dd1） 每一質點均作圓周運

6、動，圓面為轉動平面；每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面； 2） 任一質點運動任一質點運動 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 運動描述僅需一個坐標運動描述僅需一個坐標 .,a, v定軸轉動的定軸轉動的特點特點 zztttddlim0角速度矢量角速度矢量第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 角量與線量的關系角量與線量的關系tervrtev2ntraratanan2tererat ddtt22ddddar v第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 勻變速轉動公式勻變速轉動公式 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉動定軸作勻變速轉動質點質

7、點勻變速直線運動勻變速直線運動at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 當剛體繞定軸轉動的角加速度為恒量時，剛體做當剛體繞定軸轉動的角加速度為恒量時，剛體做勻變速轉動勻變速轉動 . 剛體勻變速轉動與質點勻變速直線運動公式對比剛體勻變速轉動與質點勻變速直線運動公式對比第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應OXY剛體的平動動能剛體的平動動能2112niikiEmv平211()2niCimv mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMCCv其平動動能應為

8、各質元動能和。其平動動能應為各質元動能和。vc為質心的速度為質心的速度 miMCCv3-23-2轉動動能轉動動能 轉動慣量轉動慣量212CMv第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應一、轉動動能一、轉動動能M12,inmmmm 剛體的動能應為各質元動能之和，剛體的動能應為各質元動能之和，為此將剛體分割成很多很小的質為此將剛體分割成很多很小的質元元2222111()222iiiii imvm rmr任取一質元任取一質元 距轉軸距轉軸 ，則該質元動能：，則該質元動能：imir故剛體的動能：故剛體的動能：22221111()22nnki ii iiiEm rm r剛體繞

9、定軸以角速度剛體繞定軸以角速度 旋轉旋轉ivimr i第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應質量不連續分布（離散）質量不連續分布（離散）2211()2nki iiEmr22011lim2inki iminEmr221()2r dm 212kEI質量連續分布質量連續分布0imMivimr i221ni iiIr dmm r 令令或或I=I=212I 第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應2i iiIm r 質量不連續分布質量不連續分布質量連續分布質量連續分布212kEmvI轉動慣量轉動慣量dldmdsdV 線分布線分布m/Lm/L面

10、分布面分布m/Sm/S體分布體分布m/Vm/V2Ir dm212kEI第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應hO質質BAX3 3、剛體轉軸的位置。、剛體轉軸的位置。 （如細棒繞中心、繞一端）（如細棒繞中心、繞一端）1 1、剛體的、剛體的總總質量；質量；2 2、剛體的質量分布；、剛體的質量分布；（如圓環與圓盤的不同）；（如圓環與圓盤的不同）；第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 例例1 1 求質量為求質量為m,m,長為長為L L的均勻細棒對下面三種轉軸的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量：的轉動慣量：轉軸通過棒的中心轉軸通過棒的中心

11、o并與棒垂直并與棒垂直轉軸通過棒的一端轉軸通過棒的一端B B并與棒垂直并與棒垂直轉軸通過棒上距質心為轉軸通過棒上距質心為h h的一點的一點A A 并與棒垂直并與棒垂直hO質質BAXdxxdm已知已知：L、m求：求：IO、IB、IA解：解：以棒中心為原點建立坐標以棒中心為原點建立坐標OX、將棒分、將棒分割割 成許多質元成許多質元dm.dmdx/m L第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應hO質質BAXdxxdmdmdx/m L求：求：I IO O3211212LmL求：求：I IB B22()2BLIr dmxdm32133LmL/22/2( /2)LLLxdx2

12、2222LLoIr dmx dmxdx2AIr dm求：求：I IA A3212LhL/22/2()LLhxdx22112mLmh第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應hO質質BAXdxxdmdmdx/m L2mh22211()3122BOLIImLmLm22211()1212AOIImLmhmL注意：注意：或：或：2( )2BcLIIm2AcIImh第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應正交軸定理：正交軸定理：（僅適用于薄板狀剛體）（僅適用于薄板狀剛體） （zxzx、y y，xyxy軸在剛體平面內軸在剛體平面內I Iz z繞垂直

13、其平面的轉軸的轉動慣量，繞垂直其平面的轉軸的轉動慣量，I Ix x，I Iy y在轉動平面內兩個正交軸的轉動慣量。在轉動平面內兩個正交軸的轉動慣量。zxyIII平行軸定理：平行軸定理：剛體對任一軸剛體對任一軸A的轉動慣量的轉動慣量IA和通過質和通過質心并與心并與A軸平行的轉軸平行的轉動慣量動慣量Ic有如下關系：有如下關系：2ACIImdm為剛體的質量、為剛體的質量、d為軸為軸A與軸與軸C之間的垂直距離之間的垂直距離 MCAd第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 例例2 2 半徑為半徑為R R的質量均勻分布的細圓環及薄圓盤，的質量均勻分布的細圓環及薄圓盤，質量均

14、為質量均為m m，試分別求出對通過質心并與環面或盤面垂，試分別求出對通過質心并與環面或盤面垂直的轉軸的轉動慣量。直的轉軸的轉動慣量。RR解：解：（1）細圓環）細圓環Rdldmdl22CLIR dmRdl2222LRdlRRmR 第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應解：解：（2）薄圓盤）薄圓盤2r2dsrdrdrrdr232dIr dmr dr 2dmdsrdr 302RCmIdIr dr 212mR4224mRR第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 例例3 3 求一質量為求一質量為m m的均勻實心球對其一條直徑為軸的均勻實心球

15、對其一條直徑為軸的轉動慣量。的轉動慣量。解：解：一球繞一球繞Z Z軸旋轉，離球心軸旋轉，離球心Z Z高處切一厚為高處切一厚為dzdz的薄圓盤。其的薄圓盤。其半徑為半徑為22rRZ222()dVr dZRZdZ22()dmdVRZdZ222211()22dIr dmRZdZ其體積：其體積：其質量：其質量：其轉動慣量：其轉動慣量：YXZORrd ZZ第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應YXZORrd ZZ212dIr dm5282155RmR343mRIdI 2221()2RRRZdZ2221()2RZdZ第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效

16、應多普勒效應Am, m,R 例例4 4 系統由一個細桿和一個小球組成，求繞過系統由一個細桿和一個小球組成，求繞過A A點點的軸轉動時的轉動慣量。的軸轉動時的轉動慣量。AIII桿球解 ：213Iml桿2()AOIIm Rl球球由 平 行 軸 定 理 ：225OImR球22212()35AImlmRm RlPz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉軸旋轉 , 力力 作用在剛體上點作用在剛體上點 P , 且在轉動且在轉動平面內平面內, 為由點為由點O 到力的到力的作用點作用點 P 的徑矢的徑矢 . FrFrM 對轉軸對轉軸 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0

17、iiMFFFFF 一一 力矩力矩 M3-3 力矩力矩 轉動定律轉動定律第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應zOkFr討論討論FFFzzMrFsin rFMzzFF 1）若力若力 不在轉動平面內，把力分解為平行和垂不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量直于轉軸方向的兩個分量 F 其中其中 對轉軸的力對轉軸的力矩為零，故矩為零，故 對轉軸的對轉軸的力矩力矩zFF第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應 若剛體受若剛體受N個外力作用，個外力作用，12,NF FF 合iiiiMrF力是連續的力是連續的 合MrdF1122

18、 合iiiiNNiMMrFrFrFrF力不連續力不連續2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應3） 剛體內作用力和剛體內作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應 例例1 均勻細桿，在平面內以角速度均勻細桿，在平面內以角速度轉動，求轉動，求M摩擦摩擦力力。rrdrdm解：解：力是連續的力是連續的 MrdF 合其中：其中：mdFgdmgdrl所以所以0112lMrd

19、Fmg rdrmgll合F第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應 例例2 2 現有一圓盤在平面內以角速度現有一圓盤在平面內以角速度轉動，求摩擦轉動，求摩擦力產生的力矩（力產生的力矩（、m m、R R）。）。rdr解：解：22mdmdsrdrR取細圓環為質元取細圓環為質元22dMrdfr gdmmr grdrR220223RmMdMgr drgmRR第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應 要揭示轉動慣量的物理意義，實際上是要找到要揭示轉動慣量的物理意義，實際上是要找到一個類似于牛頓定律的規律一個類似于牛頓定律的規律轉動定律。轉動定律

20、。二、轉動定律二、轉動定律OziriFiF內ii剛體可看成是由許多小質元組成，剛體可看成是由許多小質元組成，在在p p點取一質元，點取一質元，(),iiim dmr受力：外力受力：外力 ，與，與 成成 角角iFiri合內力合內力 ，與，與 成成 角角iF內iri()iiiinitiiFFm amaa 內- 第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應()()()()()iiiiinitiiiinitirFFm raamrara 內用用 左叉乘左叉乘式式ir0iinra()()()iiiiitirFFmra 內0,itiart2iitirar- 2()iiiiiirFr

21、Fm r 內第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應2()iiiiiiiiirFrFm r內對整個剛體，對對整個剛體，對式求和式求和0iiirF內2()iiiIm riiiMrFI 合外力MI轉動定律轉動定律注意：注意：M、I、都是相對于同一轉軸而言。都是相對于同一轉軸而言。MI定軸轉動定律定軸轉動定律：繞某定軸轉動的剛體，所受合外力：繞某定軸轉動的剛體，所受合外力矩在該軸上的分量等于剛體對該軸的轉動慣量與角矩在該軸上的分量等于剛體對該軸的轉動慣量與角加速度的乘積。加速度的乘積。或或MI第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應 1 1

22、）定律是瞬時對應關系；）定律是瞬時對應關系；如圖可將力分解為兩個力，如圖可將力分解為兩個力，只求那個垂直于軸的力的只求那個垂直于軸的力的力矩就可以了。力矩就可以了。ZFF F ZMr2）, ,M I 應是對同一軸而言的應是對同一軸而言的如何求力對軸的矩呢？如何求力對軸的矩呢？說明說明3 3）轉動定律說明了）轉動定律說明了I I是物體轉動慣性大小的量度。因是物體轉動慣性大小的量度。因為：為：MI一定時I即即I I越大的物體，保持原來轉動狀態的性質就越強，越大的物體，保持原來轉動狀態的性質就越強，轉動慣性就越大；反之，轉動慣性就越大；反之，I I越小，越容易改變狀態，越小，越容易改變狀態，保持原有

23、狀態的能力越弱保持原有狀態的能力越弱, ,或者說轉動慣性越小。或者說轉動慣性越小。MI第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應MIMM如一個外徑和質量相同的實心圓柱與空心圓筒，如一個外徑和質量相同的實心圓柱與空心圓筒，若若 受力和力矩一樣，誰轉動得快些呢？受力和力矩一樣，誰轉動得快些呢？紙風車紙風車不敢！不敢！電風扇電風扇沒事！沒事！ 第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應T 例例1 1 一質量一質量為為m m1 1的物體繞在一半徑為的物體繞在一半徑為r r質量為質量為m m2 2的圓的圓盤上盤上, ,開始時靜止開始時靜止, ,求重

24、物的加速度、繩中的張力和求重物的加速度、繩中的張力和t t時刻時刻重物下降多高重物下降多高?(?(繩的質量與軸上的磨擦力不計繩的質量與軸上的磨擦力不計).).rm2m1m1grm2gTTN已知已知: m: m1 1 、m m2 2、r r求：求：a a、T T、h h解：解：建立轉動軸的建立轉動軸的正方向，加速度的正方向，加速度的正方向正方向. .T隔離物體隔離物體分析力：分析力：列方程：列方程：a+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=I (2)2212Im r(3)a = r (4)(5)T=TraT=T=I r由由(2)(2)式式: :代入代入(1)(1)式式: :m1g - = m

25、1aI r第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應m1g - = m1r I r =m1grm1r2+Im1grm1r2+ m2r212=2m1g(2m1+m2)r=a = r =2m1g2m1+m2所以所以:T=T=I r212hatm1gt22m1+m2=T=m1m2g2m1+m2=m1g注意注意: a: a等于常數且初速為零等于常數且初速為零! !第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應 例例2 2 質量分別為質量分別為m m1 1。m m2 2的物體通過輕繩掛在質量為的物體通過輕繩掛在質量為m m3 3半徑為半徑為 的圓盤形滑

26、輪上。求物體的圓盤形滑輪上。求物體m m1 1。m m2 2運動的加速度運動的加速度以及繩子張力以及繩子張力 , ,（繩子質量不計）（繩子質量不計）2T1Tr1T2T2m gN1m g3m gM2a1a123.m m m r求：求：1212. .a a T T解：解：以以123.m m m為研究為研究對象。對象。受力分析：受力分析：111:,mm gT222:,mm g T33:,mm g N12,T T12.T Tr已知：已知：抵消抵消建立軸的正向：建立軸的正向：（力矩投影的正方向）（力矩投影的正方向）m1m2第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應2T1Tr1

27、T2T2m gN1m g3m gM2a1am1m212(3)T rT rI12(5)aar1111(1)m gTm a231(4)2Im r1212123()12mmgaammm列方程：列方程：2222(2)Tm gm a+線量的正方向應滿足線量的正方向應滿足解上面五式得：解上面五式得：ar第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應1213112312212m m gm m gTmmm1223212312212m m gm m gTmmm討論：當討論：當30m 時時121212()mmgaamm1212122m m gTTmm1212123()12mmgaammm和

28、課本里和課本里 例例1-8結果一致！結果一致！第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應 例例3 3 一靜止剛體受到一等于一靜止剛體受到一等于M M0 0（N.mN.m) )的不變力矩的的不變力矩的作用作用, ,同時又引起一阻力矩同時又引起一阻力矩M M1 1， M M1 1與剛體轉動的角速度與剛體轉動的角速度成正比成正比, ,即即| M| M1 1 |= |= a a (Nm),(a(Nm),(a為常數為常數) )。又已知剛體對。又已知剛體對轉軸的轉動慣量為轉軸的轉動慣量為I,I,試求剛體角速度變化的規律。試求剛體角速度變化的規律。M+M0M1已知：已知： M0M

29、1= a I |t=0=0求：求： （t）=？解：解： 1 1）以剛體為研究對象；）以剛體為研究對象；2 2）分析受力矩）分析受力矩3 3）建立軸的正方向；）建立軸的正方向；4 4）列方程：）列方程：01MMII第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應解：解：01MMI01MMI0MaI0MaddtI0ddtMaI000tddtMaI001(ln)MataMI00atIMaeM01(1)atIMea分離變量：分離變量：M+M0M1= a I第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應OzFrdsd3434力矩的功力矩的功 轉動動能定理轉動

30、動能定理一、力矩的功一、力矩的功ddd cosAFsF sdd cosAFsF sd sinsindAF sFrd090sinFrdMd 力矩的功力矩的功AMd是剛體在力矩的作用下轉過的角度是剛體在力矩的作用下轉過的角度dsrddAMd力矩的空間累積效應力矩的空間累積效應 力矩的功力矩的功,轉動動能轉動動能,動能定理動能定理.第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應設一細桿的質量為設一細桿的質量為m，長為，長為L，一端支以樞軸而能自，一端支以樞軸而能自由旋轉，設此桿自水平靜止釋放。求：由旋轉，設此桿自水平靜止釋放。求：重力矩的功重力矩的功當桿到達鉛直位置當桿到達鉛

31、直位置時重力矩所作的功時重力矩所作的功 ZFNmgL以桿為研究對象以桿為研究對象 受力：受力：mg，FNcos2LMmg第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 力矩的時間累積效應力矩的時間累積效應 沖量矩、角動量、沖量矩、角動量、角動量定理角動量定理. 力的時間累積效應力的時間累積效應 沖量、動量、動量定理沖量、動量、動量定理. 3-5 3-5 角動量定理、角動量守恒定律角動量定理、角動量守恒定律復習：復習： 質點的角動量定理和角動量守恒定律質點的角動量定理和角動量守恒定律 1 質點的角動量質點的角動量LrpmovmrprL 質點以角速度質點以角速度 作半徑作半

32、徑為為 的圓運動，相對圓心的的圓運動，相對圓心的角動量角動量r2LmrI第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應tLMdd 作用于質點的合力對作用于質點的合力對參考點參考點 O 的力矩的力矩 ，等于質點對該點，等于質點對該點 O 的的角角動量動量隨時間的隨時間的變化率變化率.2 質點的角動量定理質點的角動量定理 質點所受對參考點質點所受對參考點 O 的合力矩為零時，質點對該的合力矩為零時，質點對該參考點參考點 O 的角動量為一恒矢量的角動量為一恒矢量. LM, 0 恒矢量恒矢量 沖量矩沖量矩tMttd21 質點的角動量定理質點的角動量定理：對同一參考點：對同一參考

33、點 O ，質點所受，質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量的沖量矩等于質點角動量的增量.12d21LLtMtt3 質點的角動量守恒定律質點的角動量守恒定律一、定軸轉動的角動量定理積分形式一、定軸轉動的角動量定理積分形式()dd IMIIdtdt FZMZ角動量定理微分形式角動量定理微分形式2()iiiiiiiLm rm rI v1 1 剛體定軸轉動的角動量剛體定軸轉動的角動量2 2 剛體定軸轉動的角動量定理剛體定軸轉動的角動量定理dLMdt LI 第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應角沖量角沖量角動量的增量角動量的增量注意：注意：1 1）角沖量又叫沖量矩，）角沖

34、量又叫沖量矩，故此定理又叫沖量矩定理故此定理又叫沖量矩定理2 2）該定理也適應于剛體、變剛體和繞某一定點轉動）該定理也適應于剛體、變剛體和繞某一定點轉動的質點的質點22112121tLtLM dtd LII 定軸轉動的角動量定理積分形式定軸轉動的角動量定理積分形式角動量定理微分形式角動量定理微分形式dLMdt 設設 時間內，剛體角速度由時間內，剛體角速度由1212tt第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應二、定軸轉動的角動量守恒二、定軸轉動的角動量守恒若定軸轉動的剛體所受對轉軸的合外力矩恒為零，若定軸轉動的剛體所受對轉軸的合外力矩恒為零，則剛體對該軸的角動量保持

35、不變。則剛體對該軸的角動量保持不變。(0)ZZZICM22112121tLtLM dtd LII 0iM 21,LL L C 則則或或1212II 第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應角動量守恒定角動量守恒定律律不僅對剛體成立而且對非剛體不僅對剛體成立而且對非剛體也成立。也成立。一般有三種情況：一般有三種情況：A A：I I不變，不變， 也不變，保持勻速轉動也不變，保持勻速轉動。B B：I I發生變化，但發生變化，但I I 不變，則不變，則 要發生改變。要發生改變。討論討論C C：開始不旋轉的物體，當其一：開始不旋轉的物體，當其一部分旋轉時，必引起另一部分部分

36、旋轉時，必引起另一部分朝另一反方向旋轉。朝另一反方向旋轉。第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 角動量守恒定律是自然界的一個基本定律角動量守恒定律是自然界的一個基本定律. 內力矩不改變系統的角動量內力矩不改變系統的角動量.inexMMQ Q 在在沖擊沖擊等問題中等問題中L常量常量自然界中存在多種守恒定律自然界中存在多種守恒定律2 動量守恒定律動量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角動量守恒定律角動量守恒定律2電荷守恒定律電荷守恒定律2質量守恒定律質量守恒定律2宇稱守恒定律等宇稱守恒定律等第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應v

37、ovoompTR圓圓錐錐擺擺子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統以子彈和桿為系統機械能機械能不不守恒守恒 .角動量守恒；角動量守恒；動量動量不不守恒；守恒；以子彈和沙袋為系統以子彈和沙袋為系統動量守恒；動量守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能機械能不不守恒守恒 .圓錐擺系統圓錐擺系統動量動量不不守恒；守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能守恒機械能守恒 .討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細細繩繩質質量量不不計計第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 例例1 1 質量為質量為M M、半徑為、半徑為R R的轉臺，可繞通過中心的轉臺，可繞通過中心的豎直軸轉動。質量

38、為的豎直軸轉動。質量為m m的人站在邊沿上，人和轉臺原的人站在邊沿上，人和轉臺原來都靜止。如果人沿臺邊緣奔跑一周，求對地而言，人來都靜止。如果人沿臺邊緣奔跑一周，求對地而言，人和轉臺各轉動了多少角度？和轉臺各轉動了多少角度？已知：已知：, ,0M m R求：求：,人臺解：解：以以M。m為研究對象為研究對象0M外力矩故角動量守恒故角動量守恒以地面為參照，建立軸的正以地面為參照，建立軸的正方向如圖：方向如圖：+MXm第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應0(1)II 人臺22102mRMR人臺(2)2Mm 人臺002ttMdtdtm 人臺因人和臺原來都靜止故角動因人

39、和臺原來都靜止故角動量量,人臺（2）式）式dt積分：積分：+MXm若人和轉臺的角速度分別為若人和轉臺的角速度分別為人臺第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應002ttMdtdtm 人臺(3)2Mm 人臺2(4)人臺4 mMm臺2 MMm人人+MX臺mAAm人臺第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應子彈射入之前子彈射入之前子彈射入之后子彈射入之后MmvMM+mgNOM+NOmg已知：已知：, ,M l m v求：求：?解：解： 例例2 2 一木桿長一木桿長 可繞光滑端軸可繞光滑端軸O O旋轉。設這時有旋轉。設這時有一質量為一質量為m

40、 m的子彈以水平速度的子彈以水平速度 射入桿端并箝入桿內，射入桿端并箝入桿內，求桿偏轉的角度。求桿偏轉的角度。vl射入前后的過程射入前后的過程角動量守恒！角動量守恒！在此過程中在此過程中N N和和mgmg的力矩的角沖量可視為零的力矩的角沖量可視為零m1ZL2ZL第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應系統在子彈射入之前的角動量：系統在子彈射入之前的角動量：以以M M、m m為研究對象，建立軸的正方向。為研究對象，建立軸的正方向。子彈射入之前子彈射入之前mvMM+mgNO1Lmlv系統在子彈射入之后的角動量：系統在子彈射入之后的角動量：子彈射入之后子彈射入之后O2Z

41、L2221()3LIMlml(1)1()3mvMm l221()3mlvMlml依角動量守恒定理：依角動量守恒定理：第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應以以M、m、地球為研究對象，、地球為研究對象，以桿端為勢能零點以桿端為勢能零點初態的機械能初態的機械能子彈射入之后子彈射入之后NOmg2ZL21122lEIMg末態的機械能末態的機械能MM+O20(1 cos )22llEMg(1 cos )mgl依機械能守恒：依機械能守恒：12EE223arccos 1(3 )(2 )m vMm Mm gl第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應

42、 例例3 3 質量為質量為M M20kg20kg，半徑為，半徑為R R2m2m的轉臺（可看作的轉臺（可看作勻質圓盤）繞中心豎直軸以勻速勻質圓盤）繞中心豎直軸以勻速0 0 勻速轉動，今有沙勻速轉動，今有沙粒以每秒粒以每秒2kg2kg的速率（的速率（dm/dtdm/dt=2kg/s=2kg/s）垂直落到轉臺上，）垂直落到轉臺上，在轉臺上粘附成一半徑為在轉臺上粘附成一半徑為r r1m1m的圓環。求的圓環。求試寫出轉試寫出轉臺的轉動慣量臺的轉動慣量I I隨時間隨時間t t的變化關系式；的變化關系式； 求當沙粒落求當沙粒落到轉臺上使轉臺轉速減到到轉臺上使轉臺轉速減到0 0/2 /2 時所需要的時間。時所

43、需要的時間。解解（1 1）沙粒下落使轉臺的轉動慣量發生變化）沙粒下落使轉臺的轉動慣量發生變化20.(1)IImr2 .(2)dmmttdt其中22212402 (.)2IMRtrt kg m所以第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 例例3 3 質量為質量為M M20kg20kg，半徑為，半徑為R R2m2m的轉臺（可看作的轉臺（可看作勻質圓盤）繞中心豎直軸以勻速勻質圓盤）繞中心豎直軸以勻速0 0 勻速轉動，今有沙勻速轉動，今有沙粒以每秒粒以每秒2kg2kg的速率（的速率（dm/dtdm/dt=2kg/s=2kg/s）垂直落到轉臺上，）垂直落到轉臺上，在轉臺上粘

44、附成一半徑為在轉臺上粘附成一半徑為r r1m1m的圓環。求的圓環。求試寫出轉試寫出轉臺的轉動慣量臺的轉動慣量I I隨時間隨時間t t的變化關系式；的變化關系式； 求當沙粒落求當沙粒落到轉臺上使轉臺轉速減到到轉臺上使轉臺轉速減到0 0/2 /2 時所需要的時間。時所需要的時間。解解（2 2）由角動量守恒，有）由角動量守恒，有20000(2)2IIItr0022402022IItsr解之，得220140(.)2IMRkg m其中第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 例例4 一雜技演員一雜技演員 M 由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為 h 處自由下處自由下落到蹺板的一

45、端落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員并把蹺板另一端的演員N 彈了起來彈了起來.設設蹺板是勻質的蹺板是勻質的,長度為長度為l,質量為質量為 ,蹺板可繞中部支撐點蹺板可繞中部支撐點C 在豎直平面內轉動在豎直平面內轉動,演員的質量均為演員的質量均為m.假定演員假定演員M落在蹺落在蹺板上板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問演員問演員N可彈起多可彈起多高高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A點的速度點的速度21M)2( ghv 碰撞后的瞬間碰撞后的瞬間, M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu m第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15

46、 8 多普勒效應多普勒效應 把把M、N和蹺板作為和蹺板作為一個系統一個系統, 角動量守恒角動量守恒21M)(2gh v2lu 22M11222122llmImum lmlvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員 N 以以 u 起起跳跳, 達到的高度達到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh第十五章第十五章 機械波機械波15 8 15 8 多普勒效應多普勒效應 1 掌握掌握剛體的平動、轉動和定軸轉動的概剛體的平動、轉動和定軸轉動的概念。念。掌握掌握力矩、力矩的功和轉動動能的概念。力矩、力矩的功和轉動動能的概念。 2 正確理解正確理解轉動慣量、角動量（動量矩）和轉動慣量、角動量（動量矩）和沖量矩的概念。沖量矩的概念。第三章第三章 3 掌握掌握剛體繞定軸轉動的轉動定律。剛體繞定軸轉動的轉動定律。 4 掌握掌握角動量定理和角動量守恒定律及其適角動量定理和角動量守恒定律及其適用條件，并能應用該定律分析、計算有關問題。用條件，并能應用該定律分析、計算有關問題。第十五章第十五章 機械波機械波15 15 8 8 多普勒效應多普勒效應220