1、錐曲線中的定點、定值、最值與范圍問題高考定位 圓錐曲線中的定點與定值、最值與范圍問題是高考必考的問題之 一，主要以解答題形式考查，往往作為試卷的壓軸題之一,一般以橢圓或拋 物線為背景，試題難度較大,對考生的代數恒等變形能力、計算能力有較高的要求.真題感晤考點整合真題感悟明考向孟罷扣要點(2018北京卷)己知拋物線C：寸=2卩%經過點P(l, 2).過點0(0, 1)的直線/與拋物 線C有兩個不同的交點A, B,且直線交y軸于M,直線交y軸于N.(1) 求直線/的斜率的取值范圍；(2) 設。為原點，QM=QO, QN=/dQO,求證：士+*為定值.解(1)因為拋物線護=22過點(1，2),所以2

2、p=4,即p = 2. 故拋物線C的方程為護=4%.由題意知，直線伯勺斜率存在且不為0.設直線Z的方程為丁=也+ 1伙北0)于=4兀， y=kx+i得 lcx-(2k4)x+1 0.依題意 / =(2k4)24xQxl0，解得 k0,8mk3十4於3 （zn24Z?） 3+4Z?4（/ 3）/. y 12 = （3 + 加）伙兀2 + 加）=疋兀2 + mk（X +%2）+ 加2 =橢圓的右頂點為A2(2, 0), AA2BA2, (jq 2)(吃一2)+刃力=0，力乃+心比一2(% 1 +兀2)+4 = 0，3 茫尸+鏟F +勰+4f 曲+16誡+40,解得嚴2k2k, m2=-y.由 zl

3、0,得 3+42血20,m 2k時，/的方程為y = k（x2）,旦線過定點（2，0），與L_1知矛盾. 當m2=y時，/的方程為y=lx直線過定點弓，0 ,且滿足，（2 ）直線/過定點，定點坐標為片0.探究提高（1）動直線/過定點問題解法：設動直線方程（斜率存在）為y = kx + t, 由題設條件將f用k表示為/二認,得y二k（x +?。?故動直線過定點（-m , 0）.（2）動 曲線C過定點問題解法：引入參變量建立曲線C的方程,再根據其對參變量恒成立,令其系數等于零,得出定點.考法2定值的探究與證明【例1一2】(2018金麗衢聯考)已知O為坐標原點，直線/： x=my + b與拋物線E：

4、 / = 2x(p0)相交于兒B兩點.(1)當 b = 2p 時，求當b = 3時，設點C的坐標為(一3, 0),記直線CA, CB的斜率分別為 k,上2,證明：p+p2/n2為定值.1解設A（xp刃），Bg，2），聯立方程消元得 2mpy_2pb = 0, 所以 yi+y2 = 2p, yy2=2pb./ 2當 b=2p 時，力力=4#2,兀仏2= =4/?2,所以dA-dB=xxx2Jryxy2=p1 4/?=0（2）證明 當 p=q且 b = 3 時，yi+y2=加，yyi = 3.因為k=刃%i + 3刃myi+6?k =乃_ 力2 七+3加y 2+611)f6、2 .6加+m+l刃丿

5、b0)的離心率為冷-，A(ti, 0), B(0, b),0(0, 0), AO AB 的面積為 1.(1) 求橢圓C的方程；(2) 設F是橢圓C上一點，直線與y軸交于點M,直線與兀軸交于點N.求 證:AN-BMJ定值.解 由已知+=，蘇b=l.又 6Z2 = Z?2 + c2,解得 6Z = 2, b=l, C=j32橢圓方程為予+員=1.(2)證明 由知 A(2, 0), B(0, 1).2設橢圓上一點P(x(),為)，則晉+yo = 1 當0黑0時，直線M方程為y=2),令x=0得yMXo 2兀0 乙從而IBMI = I1 弘1= 1 + xq2 .直線方程為x+1.Xn令 y0 得 x

6、n=1.yo1 AN = 2-xn =xo+2y（）2x022+y。1x0+2y02為1呼+4垃+4無0為一4xo8yo+4x0y0x02y0+24xoy o4x08y o+8砂0一兀0一2刃）+2=4.當兀o=O 時,yo= l，IBMI=2，L4NI = 2,所以ANABM=4.故VMBMI為定值.熱點二最值與范圍問題 考法1求線段長度、面積(比值)的最值【例21】(2018-湖州調硏)已知拋物線C： y2=4x的焦點為F,直線 /： y = kx4(lkrL、Erl !8E + 416ix A(x yj，B(%2，2)，則 兀i+a?2=2,兀 1兀2=疋，(5 J2 J所以二弓：:71

7、 )一 123,=7+72=27+1 z 2 -, 6 .k丿由于詐牆瓷由可知泊4亠+亠3+小2乍2、2 A %2 兀 1X1X2k2 +4) 2 1?-2 = +2” 2Wk丿r1716,諾得4因為0fz0,解得詈4或詐土SiS2、4，由暫+欝7得，心2心12-7-10,解得申V詐呼，又詐1,所以屮/?0)的離心率為申，且/過點1,(1)求橢圓C的方程；3設與圓6 %2+/=4相切的直線/交橢圓C與人B兩點，求Q4B面積的最大值，及取得最大值時直線/的方程.解由題意可得_a/6a 3 、/ =戻 +(2,2解得/ = 3,戾=1, 奇+亍二.（2）當R不存在時，直線為x= j，代入奇+天=1

8、,得歹=， SqAB =當比存在時，設直線為y = kx+m, A（xp刃），Bg 旳），聯立方程得J kx +171、消 y 得(1H-3A;2)%2 + 6kmx3m23 0,I 6km3m 3AX1+%2=1 + 3P，%1X2=T+3F，直線/與O相切d=r 4 加 2 = 3(1+/?), AB = a/1+P 6km212 (m21)、1 +3戌1 3k21 + 6k2+9 k44T篩 1 + 1+6以+狄W2.當且僅當右=9心即比=時等號成立, 2， 、你 SzioAB=3SBIx廠Wx2x 2 =r 、療AOAB t積的最大值為冷/3km = = 1,此時直線方程為y=土尋1.

9、考法2求幾何量、某個參數的取值范圍【例2-2已知橢圓E：的焦點在%軸上M是E的左頂點，斜率為k(k0)的直線交E于4, M兩點，點N在E上，M4丄M4.(1)當 AM = AN時，求4MN 的面積； 當2L4MUL4NI時，求k的取值范圍.解 設M(Xl,刃)，則由題意知刃0.2 2當尸4時，E的方程為+十=1，A(-2, 0).JTiAM = AN及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為才因此直線AM的方程為y=x+22 2將x=y2代入才+普=1得7于一12y=0,、 I?I?解得y=0或y=所以刃=_1 12 12144因此 AMN 的面積 SAMN=2x2xyxy=_492 2(2)由題意

10、/3, k0,0),將直線AM的方程y=k(x-t)代入+葺=1得(3+ tx + 2“ 仏2x+以2 一 3f=o亠廠 #比2_3匚冃 t (3_力)由斤(一劭=祁遼侍兀=齊喬, 故AM = lxi+ 701 + 0=E扌；). 由題設，直線AN的方程為=*(%+/),6kyt (1+2)側= 3Z故同理可得即伙 3 2=3k(2k1)，3Qk (?k 1 )當k=/2時上式不成立，因此f= 戸二t3等價于3 2k2-k2疋_2由此得k一20, W 20,(2)(以+1)0,k? 即嚴V0.仏_20,3解得 y2k0)的左焦點為F(c, 0),、斤h2離心率為于，點M在橢圓上且位于第一象限，

11、直線FM被圓/+丁2=才截得的線 段的長為c, FM=.(1) 求直線FM的斜率；(2) 求橢圓的方程；(3) 設動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于邁，求直線OP(O為原點)的斜率的 取值范圍.解（1）由已知，有%=|,又由 a2 = b2-c2,可得 a2 = 3c2f b2 = 2c2.設直線FM的斜率為心0), F(c, 0),則直線的方程為y = g+c).，解得k=警.1,直線FM的方程為y=(x+c),兩個方程聯立,消去 y,整理得 3x2+2cx5c2=0,解得 x=|c,或 x=c.=1得尸卄I即=心+1)0#1)，與橢圓方程聯立因為點M在第一象限，可得M的坐標為c,斗2 2

12、解得C=l,所以橢圓的方程為專+計(3)設點P的坐標為(麗y),直線FF的斜率為匚y=t （兀+1）,消去 y，整理得 2x2 + 3?2（x+ lf = 6,又由己知，得尸、3 (卄1) 2型，3、解得一VxV 1,或一1 VxVO. 設直線OF的斜率為加，得加=三，X79即j = mx(x0),與橢圓方程聯立，整理得m2=23?2當兀丘一1時，有y = t(x-1)0,于是m=壬_卞得 當xe(-l, 0)時，有丁 =心+1)0因此m0,于是得加W綜上，直線OP的斜率的取值范圍是一oo,鑿鑿鑿探規律pIBllJjgiI 納總結丨思維升華I i解答圓錐曲線的定值、定點問題，從三個方面把握:（1）從特殊開始，求出定值，再證明該值與變量無關；（2）直接推理、計算，在整 個過程中消去變量，得定值；（3）在含有參數的曲線方程里面，把參數從含有參數 的項里面分離出來，并令其系數為零，可以解出定點坐標.2.錐曲線的范圍問題的常見求法(1) 幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質 來解決；(2) 代數法：若題目的條件和結論能體