1、會計學1 例已知質點的運動方程例已知質點的運動方程 例例2 2 如圖如圖, ,A A、B B 兩物體由一長為兩物體由一長為 的剛性細桿相連的剛性細桿相連 , ,A A、B B 兩物體可在光滑軌道上滑行兩物體可在光滑軌道上滑行. .如物體如物體A A以恒定速以恒定速 率率 向左滑行向左滑行, ,當當 時時, ,物體物體B B的速率為多少？的速率為多少？ l v60 解解 建立坐標如圖建立坐標如圖 x y o A B l v A 的速度的速度 ii t x i xA vvv d d B 的速度的速度 j t y j yB d d vv ( l 為常量為常量)y 222 x=l 兩邊求導得兩邊求導得

2、0 d d 2 d d 2 t y y t x x即即 t x y x t y d d d d j t x y x B d d vj B tanvv B v 沿沿 軸正向軸正向, 當當 時時 y1.73 B vv 60 第1頁/共15頁 例例3 3 路燈距地面高度為路燈距地面高度為h h，身高為，身高為l l的人以速度的人以速度v v0 0在在 路上勻速行走。求：（路上勻速行走。求：（1 1）人影頭部的移動速度。）人影頭部的移動速度。 （2 2）影長增長的速率。）影長增長的速率。 ox2 x x1 h l h x l xx 212 兩邊求導：兩邊求導： dt dx h dt dx lh 12

3、)( 0 1 v dt dx lh hv dt dx v 02 解：解： （1） （2 2） 212 x h l xxb dt dx h l dt db v 2 lh hv dt dx 02 lh lv v 0 12 )(hxxlh 設人影頭部移動速度為設人影頭部移動速度為v ，影長為，影長為b b設影長增長速率為設影長增長速率為 v 第2頁/共15頁 例例4 4 一具有恒定加速度一具有恒定加速度 的質點，在平面上的質點，在平面上 作曲線運動。設作曲線運動。設t=0t=0時，質點的初速度為時，質點的初速度為 ， 質點的位矢為質點的位矢為 。求質點的速度和運動方程。求質點的速度和運動方程。 ),

4、( yx aaa ),( 00yox vvv ),( 000 yxr 解：解： dt vd a tv v dtavd 0 0 t avv 0 分量式分量式 解得：解得： tavv xxx 0 tavv yyy 0 dt dv a x x t x v v x dtadv x x 0 0 tavv xxx 0 dt dv a y y t y v v y dtadv y y 0 0 tavv yyy 0 第3頁/共15頁 dt rd v ttr r dttavdtvrd 00 0 )( 0 2 00 2 1 tatvrr 2 00 2 1 tatvxx xx 2 00 2 1 tatvyy yy 分

5、量式分量式解得：解得： dt dx vx t xx t x x x dttavdtvdx 0 0 0 )( 0 2 00 2 1 tatvxx xx dt dy vy t yy t y y y dttavdtvdy 0 0 0 )( 0 2 00 2 1 tatvyy yy tavv xxx 0 tavv yyy 0 已求得：已求得： 第4頁/共15頁 例例5 一物體以初速度一物體以初速度 沿與水平面上沿與水平面上oxox軸正向成軸正向成 角角 拋出。忽略空氣阻力，求物體的速度和運動方程。拋出。忽略空氣阻力，求物體的速度和運動方程。 0 v 0 0 y x v0 0 解：解： (x，y） v

6、g 已知已知jga 0 dt dv a x xg dt dv a y y 任任t t時刻物體坐標（時刻物體坐標（x x，y y） gay 0 x a 速度分量速度分量),( yx vv 0 x dv gdtdvy 1 cvx 2 cgtvy t=0t=0時時 00 sinvvy 00 cosvvx 001 cosvc 002 sinvc 00sin vgtvy 00 cosvvx可得：可得： 積分積分 第5頁/共15頁 00sin vgtvy 00 cosvvx jgtvivv )sin()cos( 0000 2 00 2 00 )sin()cos(gtvvv 00 00 cos sin v

7、gtv arctg 00 cosv dt dx vxgtv dt dy vy 00 sin 000yxt tx dtvdx 0 00 0 )cos( ty dtgtvdy 0 00 0 )sin( 00 costvx 2 00 2 1 singttvy 2 0 2 2 0 0 cos2 x v y xtgy 軌道方程：軌道方程： 積分積分 第6頁/共15頁 例例6 6 一球體在某液體中豎直下落，其初速一球體在某液體中豎直下落，其初速 它在液體中的加速度它在液體中的加速度 求求t t秒后小球的秒后小球的 速率？速率？ t t秒后小球經歷的路程？秒后小球經歷的路程？ jsmv 1 0 10 j v

8、sa 1 01 a 0 v 0 y 解：解：變速直線運動變速直線運動 v dt dv a0 . 1 )(10 10 . 1 0 smeevv tt t ev dt dy v 0 dtevdy t t y 0 0 0 )()1 (10) 1( 0 meevy tt t e v v 0 . 1 0 tv v dt v dv 0 0 . 1 0 t v v vv0 . 1lnlnln 0 0 第7頁/共15頁 解解 例例7 7 半徑為半徑為r=0.2mr=0.2m的飛輪，可繞的飛輪，可繞o o軸轉動。已知輪軸轉動。已知輪 緣上一點緣上一點M M的運動方程為的運動方程為 =-t=-t2 2+4t +4

9、t ，求在，求在1 1秒時刻秒時刻M M 點的速度和加速度。點的速度和加速度。 42 t dt d (rads-1)2 dt d (rads-2) 1 4 . 0)412(2 . 0)42( smtrrv 2 4 . 0)2(2 . 0 smrat 222 8 . 0) 412( 2 . 0 smran 222 89. 0 smaaa nt 4 .63 4 . 0 8 . 0 11 tg a a tg t n n a a a o x v M M 第8頁/共15頁 例例8 8 一質點沿半徑為一質點沿半徑為R R的圓周運動，其路程的圓周運動，其路程s s隨時間隨時間 t t的變化規律為的變化規律為

10、 ，式中，式中b b，c c為大為大 于零的常數，且于零的常數，且 。求（。求（1 1）質點的切向加）質點的切向加 速度和法向加速度。（速度和法向加速度。（2 2）經過多長時間，切向加）經過多長時間，切向加 速度等于法向加速度。速度等于法向加速度。 2 21ctbts Rcb 2 解：解：（1） （2） ctb dt ds v c dt dv at R ctb R v an 22 )( nt aa c R c b t 第9頁/共15頁 例例9 9 半徑為半徑為0 0.50m.50m的飛輪在啟動短時間內，角速度與時的飛輪在啟動短時間內，角速度與時 間的平方成正比，間的平方成正比，t=2.0st=

11、2.0s時測得輪緣一點的速度值為時測得輪緣一點的速度值為 4.0m.s4.0m.s-1 -1。該輪在 。該輪在t t =0.5s=0.5s的角速度？輪緣一點的切的角速度？輪緣一點的切 向加速度和總加速度向加速度和總加速度? ?該點在該點在2.0s2.0s內轉過的角度內轉過的角度? ? 解解 r v kt 2 3 2 2 srad rt v k 2 t k st2 st50 1 50 srad 2 2 022 )( sradt k dt t kd dt d 2 01 smrat 22 1250 smran 222 011 smaaa nt rad t dtktdt t ss 335 3 2 2

12、32 0 2 0 2 第10頁/共15頁 0 v 例例1010 一觀察者一觀察者A A坐在平板車上，車以坐在平板車上，車以10m/s10m/s的速率沿的速率沿 水平軌道前進。他以與車前進的反方向呈水平軌道前進。他以與車前進的反方向呈6060角向上角向上 斜拋出一石塊，此時站在地面上的觀察者斜拋出一石塊，此時站在地面上的觀察者B B看到石塊看到石塊 沿鉛垂向上運動。求石塊上升的高度。沿鉛垂向上運動。求石塊上升的高度。 解：解： 按題意作矢量圖按題意作矢量圖 vvv 0 1 0 3 .17601060 smtgtgvv m g v H3 .15 80. 92 3 .17 2 22 y x y x 0 v v 600 第11頁/共15頁 精品課件精品課件！ 第12頁/共15頁 精品課件精品課