1、圓和半平面上的迪利希萊(Dirichlet )問題一泊松積分公式在第一章的 2.5中，我們曾討論過調和函數與解析函數之間的密 切聯系。在這一節中，我們將繼續闡述這種聯系。具有物理應用的一類重要的數學問題是迪利希萊(Dirichlet)問題，即要找一個未知函數，它在某個區域內是調和的，而且在這個區域的 邊界上取得預先指定的值。例如圖2.8所示，一半徑為1的圓柱體充滿導熱的物質。我們知道，圓柱體內的溫度是由調和函數T(rc)來描述的。若圓柱體表面的溫度是已知的，是由sinrcosJ所給定的，由于T(r,旳在02-上是連續的，因此，我們的問題是要求一個單位圓上的調和函數 T(r,二)，使得T(1r)

2、= sinrcosJ。這就是我 們所要解的迪利希萊問題。圖2.8我們剛才所討論的迪利希萊問題，其邊界是簡單的幾何形狀，女口 在大多數關于偏微分方程的教科書中所述的，通常用變量分離法來解，對更復雜的形狀，有時要用共形映照的方法。這種方法將在以后討論。 在這節里，我們只討論區域的邊界是圓周或無限直線的情況。一.圓的迪利希萊問題 對解邊界為圓周的迪利希萊問題，柯西積分公式是有幫助的。考慮z-復平面上半徑為R,中心為原點的圓(見圖2.9)設f(z)是在圓周z=R 上及其內解析的函數。圖2.9對這函數f(z)和這圓周應用柯西積分公式，對圓內的任何一點Z,我們1f (w)f(z)=dw.2ii iw 去

3、w z令z=Rz，它位于過圓點和點z的射線上，且弓=R于圓z R，因此，zi位1f(w),dw w出R2wz(2-26)將式(2-25)與式(2-26)的兩邊分別相減，我們獲得R2z z(w - z)(w - R)Zdw.(2-27)令w=Re宀，z二re匕于是z = re 471。將它們代入(2-27)式，我們有f(z)= 12二i:2二 0 f(Re )R2(ree ) Rer2R i x(Re - re )(Ree )r將分子和分母同時乘以-(rR)e(T，則分子二R2-r2，分母-r) = Rei(4=(Rei( = _r)(Re 4 =我們有f(z)= 12R2 r2-2Rr cos

4、(- v)，于是，最后2 IQ打爲J。現將解析函數f(z)表示成其實部U和V，于是，f(reU 二u (rj) iV(D, f(Rei ) =U(R, ) iv(R, ),上述方程成為2 2R -r122iUZ) iV (V) F 0 R2 . r2 ：2Rr；os() U(即)(R，)爪 由于這個方程兩邊的實部必相等，于是我們得到下列泊松(Poisson)公式cb(2-28)U (R, )(R2 -r2)r22Rrcos(-對對V(r)與V(R,)，我們也有類似的公式泊松積分公式(2-28)是重要的。這個公式告訴我們：當 U在圓 周w=R上的取值U(R/P)已知時，則調和函數 U(r)在這圓

5、內任意一 點的值由公式(2-28)所給出。由于我們要求f(z)在這半徑為R的圓周上及其內部是解析的，因 此讀者必須假定方程(2-28)中的函數U(R,)是連續的。事實上，這條 件可放寬成允許U(R,)有有限個“跳躍的”不連續點，泊松公式仍成.立例2-6如圖2.10所示，設一根半徑為1的導電的管子被無限裂縫 分成兩半。上半管(R=1, 0vv二)保持1伏特的電位，下半管(R=1, 兀)保持-1伏特的電位。求在管內任何一點(r,日)的勢。圖210解由于電位勢是個調和函數，因此泊松公式是可用的。由公式( 2-28)，R=1，我們有1U( V)叮2兀r(1_r2)d 甲1 r(1_r2)d0 1 r2

6、-2r cos(-F) 2二二 1 r2-2r cos(-F)(2-29)在每個積分中，我們作變數變換 x二，二，并利用下述積分公式dxa bcosx.(2-30)21 la2 b2tg(x2),tg - f a2 _ b2a + b取a=1+r2, b=-2r，我們得到U(r,1- 二1+r兀 日01+r日I力 2tg ( tg( )tg ( tg( )tg ( tg() r 221 -r21 - r 2由于反正切函數是多值函數，在應用這個公式時，必須取適當的 單值支，使得U(r, F對一切r0的區域)上是調和的，而在實數軸v=0上(u,v)必須滿足 欲先給定的邊界條件(u,0).設f (w

7、) h皆(u,v) i-： (u,v)在v_0上是解析的.考慮閉圍道Cr,它由半 徑為R的上半圓周r和實數軸上的線段lJR,R 1所組成。圖 2.11令Z是Cr內任何一點，由柯西積分公式，我們有f(z)丄dw2 i Cr w _ z(2-32)由于Z位于上半平面，則Z必位于下半平面，因此，它必在 Cr的外部。于是，據柯西定理，有(2-33)將(2-32)式和(2-33)式的兩邊分別相減，我們獲得1)dwRw z w zf (zzLdw 二丄.(zz)f(wLdwR(w_z)(w_z)2二i r (w _ z)(w _ z) 2二i Ir (w _ z)(w _ z)令z=x+iy，則z = x iy。上式右端的第二個積分12等于_y R f (u)du 二 Tu -x)2 y2(2-35)記(2-34)右端的第一個積分為11，在R上w二Re,我們有Ii1JIf(Re)、；R(W - Z)(W - Z)若在上半平面 V_上f(w)乞M意給定的點Z，我們有IRm n = .R.：:._. it _d Re 0上，溫度保持在00C，而在邊界v=0,u0,上，溫度保持在 T00C。求整個導體的穩定的溫度分布 (x, y)。圖 2.12解 我們知道，溫度(x, y)是一個調和函數，泊松積分公式(2-38)y ： 0du二 0 (u - x)2 y2是直接