1、第13章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明學(xué)習(xí)要求：1理解三角形的角平分線、中線、高線的概念及性質(zhì)。會用刻度尺和量角器畫出任意三角形的角平分線、中線和高。2掌握三角形的分類，理解并掌握三角形的三邊關(guān)系。3掌握三角形內(nèi)角和定理及推論，三角形的外角性質(zhì)與外角和。4了解三角形的穩(wěn)定性。知識要點：一、三角形中的邊角關(guān)系1三角形有三條內(nèi)角平分線，三條中線，三條高線，它們都相交于一點。注意：三角形的中線平分三角形的面積。2. 三角形三邊間的不等關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。注意：判斷三條線段能否構(gòu)成一個三角形時，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第三邊，其簡便方法是看兩條

2、較短線段的和是否大于第三條最長的線段。3三角形各角之間的關(guān)系： 三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角和為180。 三角形的外角和等于360（每個頂點處只取一個外角）； 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和； 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。4三角形的分類三角形按邊的關(guān)系可以如下分類：三角形按角的關(guān)系可以如下分類：5三角形具有穩(wěn)定性。知識結(jié)構(gòu)：二、命題與證明1判斷一件事情的句子是命題，疑問句、感嘆句不是命題，計算不是命題，畫法不是命題。2命題都可以寫成：“如果，那么。”的形式。為了語句通順往往要加“字”，但不改變順序。3命題由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。“如果”后面的是題設(shè)，“那

3、么”后面的是結(jié)論。4命題分為真命題和假命題。真命題需要證明，假命題只要舉出一個反例。5將命題的題設(shè)和結(jié)論交換就得到原命題的逆命題。逆命題可真可假。6公理和定理都是真命題，公理不需要證明，定理必須證明。7定理的逆命題如是真命題就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命題。8命題的證明方法和步驟。證明需要掌握的判定與性質(zhì)：（1）兩直線平行同位角相等。同位角相等兩直線平行。（2）兩直線平行內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補。內(nèi)錯角相等兩直線平行。同旁內(nèi)角互補兩直線平行。（3）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。（4）線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等。（5）三角形內(nèi)角和定理

4、和推論。三角形中位線定理。（6）三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。（7）等腰三角形的判定與性質(zhì)。（8）直角三角形的判定與性質(zhì)。9反證法假設(shè)，推理，矛盾，結(jié)論。第13章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明練習(xí)題一、填空題：1三角形的一邊是8，另一邊是1，第三邊如果是整數(shù)，則第三邊是_ _，這個三角形是_ _三角形。2已知三角形兩邊的長分別為1和2，如果第三邊的長也是整數(shù)，那么第三邊的長為_ _。3三角形的三邊長分別為，則的取值范圍是_ _。4三角形的三邊為，則的取值范圍是_ _。5已知a，b，c為ABC的三條邊，化簡|bac|_ _。6在ABC中，A

5、BAC，AD是中線，ABC的周長為34cm，ABD的周長為30cm， 求AD的長。7如圖，CE平分ACB，且CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD的周長為28 cm，則DB_ _。8. 已知等腰三角形兩邊長分別為4和9，則第三邊的長為_ _。9. 等腰三角形的周長為20cm， （1）若其中一邊長為6cm，則腰長為_ _；（2）若其中一邊長為5cm，則腰長為_ _。10等腰ABC中，ABAC，BC6cm，則ABC的周長的取值范圍是_ _。11等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為15厘米和6厘米兩部分，則此三角形的底邊長為_ _。12等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為15厘

6、米和11厘米兩部分，則此三角形的底邊長為_ _。13寫出“等腰三角形兩底角相等”的逆命題_。14已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為14，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為_ _。15三角形的最小角不大于_ _度，最大角不小于_ _度。16三角形的三個內(nèi)角中至少有_ _個銳角，三個外角中最多有_ _個銳角。17在ABC中，若C2（AB），則C_ _度。18在ABC中，A BC，則B_ _。19如果ABC的一個外角等于150，且BC，則A_ _。20如圖，已知120，225，A50，則BDC的度數(shù)是_ _。21如圖，在ABC中，A80，ABC和ACB的外角平分線相交于點D，那么BDC_ _。22紙片A

7、BC中，A65，B75，將紙片的一角折疊，使點C落在ABC內(nèi)（如圖），若120，則2的度數(shù)為_ _。（第20題圖） （第21題圖） （第22題圖）23紙片ABC中，A65，B75，將紙片的一角折疊，使點C落在ABC外（如圖），若220，則1的度數(shù)為_ _。24認真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問題。探究1：如圖1，在ABC中，O是ABC與ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)BOC90 A，理由如下：BO和CO分別是ABC和ACB的角平分線，1ABC，2ACB12 (ABCACB)又ABCACB180A12 (180A)90ABOC180（12）180（90A

8、）90A。探究2：如圖2中，O是ABC與外角ACD的平分線BO和CO的交點，試分析BOC與A有怎樣的關(guān)系？請說明理由。探究3：如圖3中，O是外角DBC與外角ECB的平分線BO和CO的交點，則BOC與A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）。結(jié)論： 。 25如圖，已知A80，（1）若點O為兩角平分線的交點，則BOC_ _；（2）若點O為兩條高的交點，BOC_ _。26. 如圖，ABC的面積等于，D為AB的中點，E是AC邊上一點，且AE2EC，O為DC與BE交點，若DBO的面積為，CEO的面積為，則_ _。27如圖，ABC的B的外角的平分線與C的外角的平分線交于點P，連接AP。若BPC50，則PAC

9、_ _度。（第25題圖） （第26題圖） （第27題圖）如圖，ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點P，若BPC40，則CAP_ _度。二、選擇題：1在下列長度的四根木棒中，能與3cm，7cm兩根木棒圍成一個三角形的（ ）A7cm B4cm C3cm D10cm2若ABC的三邊長分別為整數(shù)，周長為11，且有一邊為4，則這個三角形的最大邊長為（ ）A.7 B.6 C.5 D.43若ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10，則這樣的三角形共有（ ）A6個 B7個 C8個 D9個4三角形的三邊分別為3，12a，8，則a的取值范圍是（ ）A.6a3 B.5a2 C.2a5 D.a5

10、或a25. 一個三角形的周長為奇數(shù)，其中兩條邊長分別為4和2011，則滿足條件的三角形的個數(shù)是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 66四條線段的長度分別為4、6、8、10，可以組成三角形的組數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.17等腰三角形一腰上的中線分周長為15和12兩部分，則此三角形底邊之長為（ ）A7 B11 C7或11 D不能確定8一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為237，這個三角形一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形9已知一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比是156，則其最大內(nèi)角的度數(shù)（ ）A60 B75 C90 D12010如果三角形的一個內(nèi)角等于其它兩個內(nèi)角

11、的和，這個三角形是（ ）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形11三角形的一個外角大于相鄰的一個內(nèi)角，則它是（ ）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定12在ABC中，如果AB90，那么ABC是（ ）A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.斜三角形13. 三角形中，最大角的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 14在ABC中，ABAC，D在AC上，且BDBCAD，則A的度數(shù)為（ ）A30 B36 C45 D7215直角三角形的兩個銳角的平分線所交成的角的度數(shù)是（ ）A.45 B.135 C.45或135 D.以上答案都不對16如圖，A

12、BC中，A50，點D、E分別在AB、AC上，則12的大小為（ ）A130 B.230 C.180 D.31017已知如圖，A32，B45，C38則DFE等于（ ）A.120 B.115 C.110 D.105ADB1CE2（第16題圖） （第17題圖）18在ABC中，B50，ABAC，則A的取值范圍是（ ） A0A180 B0A800C50A130 D80A13019若、是三角形的三個內(nèi)角，而，那么、中，銳角的個數(shù)的錯誤判斷是（ C ） A可能沒有銳角 B可能有一個銳角C可能有兩個銳角 D最多一個銳角20如果三角形的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的2倍，且等于它不相鄰內(nèi)角的4倍，那么這個三角形一定是（

13、 ） A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D正三角形21在ABC中如圖1，若P點是ABC和ACB的角平分線的交點，則P90A；如圖2，若P點是ABC和外角ACE的角平分線的交點，則PA；如圖3，若P點是外角CBF和BCE的角平分線的交點，則P90A。上述說法正確的個數(shù)是（ ）A0個 B1個 C2個 D3個22. 如圖所示，在ABC中，已知點D、E、F分別為邊BC、AD、CE 的中點，且，則S陰影等于（ ）A.2cm2 B.1cm2 C.cm2 D.cm223如圖，已知ABC為直角三角形，C90，若沿圖中虛線剪去C，則12等于（ ）A315 B270 C180 D1355. 如圖，在ABC

14、中，D是BC上一點，若BC，13，則1與2的關(guān)系為（ ）A. 122 B. 212180C. 132180 D. 31218024. 如圖，在ABC中，D是BC上一點，若BC，13，則1與2的關(guān)系為（ ） A. 122 B. C. D. （第22題圖） （第23題圖） （第24題圖）25如圖，把ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE外部A/的位置，則A、1與2的數(shù)量關(guān)系，結(jié)論正確是（）A12A B1222AC212A D12A226如圖，ABC的兩個外角的平分線相交于D，若B50，則ADC（）A60 B80 C65 D4027如圖，ABC的外角平分線CP和內(nèi)角平分線BP相交于點P，若B

15、PC35，則CAP（）A.45 B.50 C.55 D.65（第25題圖） （第26題圖） （第27題圖）三、解答下列各題： 1ABC的三邊長分別為4、9、x，求x的取值范圍；求ABC周長的取值范圍；當(dāng)x為偶數(shù)時，求x；當(dāng)ABC的周長為偶數(shù)時，求x；當(dāng)ABC周長是5的倍數(shù)時，求x；若ABC為等腰三角形，求x。2已知ABC的三條邊為整數(shù)，且，求的值。3對于同一平面內(nèi)的三條直線a、b、c，給出下列五個論斷：（1）ab；（2）bc；（3）ab；（4）ac；（5）ac。以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結(jié)論，組成一個你認為正確的命題。4證明：兩條平行直線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直。5

16、有5根木條，其長度分別為4，8，8，10，12，用其中三根可以組成幾種不同形狀的三角形？6如圖，在ABC中，A96，延長BC到D，ABC與ACD的平分線相交于，BC與CD的平分線相交于，依此類推，BC與CD的平分線相交于，則的大小是多少？7在ABC中，A50，高BE，CF所在的直線交于點O，求BOC的度數(shù)。 8（1）已知如圖（a），在ABC中，CB，ADBC于D，AE平分BAC，則EAD與B，C有何數(shù)量關(guān)系？ （2）如圖（b），AE平分BAC，F(xiàn)為其上一點，且FDBC于D，這時EFD與B、C又有何數(shù)量關(guān)系？ （3）如圖（c），AE平分BAC，F(xiàn)為AE延長線上一點，F(xiàn)DBC于D，這時AFD與B、

17、C又有何數(shù)量關(guān)系？ 9如圖，P為ABC內(nèi)任意一點，求證：BPC A；BPCABPAACP；ABACPBPC。10. 如圖中的幾個圖形是五角星和它的變形（1）圖（1）中是一個五角星，求ABCDE。 （2）圖（1）中點A向下移到BE上，五個角的和有無變化？（即CADBCDE如圖（2），說明你的結(jié)論的正確性。（3）把圖（2）中點C向上移動到BD上，五個角的和（即CADBACEDE）有無變化？如圖（3），說明你的結(jié)論的正確性。11如圖已知ABC中，B和C外角平分線相交于點P。（1）若ABC30，ACB70，求BPC度數(shù)。（2）若ABC，BPC，求ACB度數(shù)。12ABC是一個三角形的紙片，點D、E分別是

18、ABC邊上的兩點。（1）如果紙片沿直線腳折疊，使點A正好落在線段AC上，如圖1，此時A與BDA的關(guān)系是 ；（2）如果紙片沿直線DE折疊，使點A落在ABC的內(nèi)部，如圖2，試猜想A和BDA、CEA的關(guān)系是 BDA+CEA=2A；（3）如果紙片沿直線DE折疊，使點A落在ABC的外部，如圖3，則此時A和BDA、CEA的關(guān)系是 BDA-CEA=2A，請說明理由。13如圖所示，BE、CD交于A點，C和E的平分線相交于F。（1）試求：F與B，D有何等量關(guān)系？（2）當(dāng)BDF24x時，x為多少？14若ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10，則這樣的三角形共有幾個？15有一位同學(xué)在數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)書上看到這樣一道題：

19、“已知ABC的三邊長分別是a，b，c。且a、b、c的值滿足等式|bc2a|（bc5）20，求b的取值在什么范圍？”。你能解答這道題嗎？16在 ABC中，ABC ，且A4C，求B的范圍。17在ABC中，A是最大角，C是最小角，且A2C，求C的取值范圍。第13章 三角形中的邊角關(guān)系練習(xí)題答案一、填空題：18，等腰。 22。 3。 4 52b2c。 6AD13cm。 78cm； 8. 9。9.（1）6cm或7cm；（2）cm。 10周長12。 111。 1210厘米或厘米。 13有兩個角相等的三角形是等腰三角形； 1420或120； 1560，60； 162，1； 17120； 1860； 1930

20、或120； 2095； 2150； 22解：如圖，CEFCFECABC，CEFCFEAB8555140，又將紙片的一角折疊，使點C落在ABC內(nèi)，CEFCFCEFCFE140，CECCEC140140280，120，21802CECCE答案為：60。23解：如圖，A65，B75，C180AB180657540；又將三角形紙片的一角折疊，使點C落在ABC外，CC40，而325C180，54C440，220，32044040180，3480，118080100。故答案為100。24BOCA，BOC90A； 25. （1）130；（2）100或80； 26. 2； 27解：延

21、長BA，做PNAD，PFBA，PMBC，設(shè)PCDx，CP平分ACD，BCPPCDx，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，APC50，BAPPAC（x50），ABCBCDBAC2x（x50）（x50）100，CBF100，在RtPFB和RtPMB中，PAPA，PMPF，RtPFBRtPMB，F(xiàn)APPAC40。2850。二、選擇題：1.A 2.C 3. D 4.B 5. B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.C 11.D 12.B 13. C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26C

22、27C。考點：三角形內(nèi)角和定理。分析：根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出CAPFAP，即可得出答案。解：延長BA，作PNBD，PFBA，PMAC，設(shè)PCDx，CP平分ACD，ACPPCDx，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，BPC35，ABPPBC（x35），BACACDABC2x（x35）（x35）70，CAF110，在RtPFA和RtPMA中，PAPA，PMPF，RtPFARtPMA，F(xiàn)APPAC55。故選C。三、解答下列各題：15x13；18ABC的周長26；當(dāng)x為偶數(shù)時， x6、8、10、12；當(dāng)ABC的周長

23、為偶數(shù)時， x7、9、11；當(dāng)ABC周長是5的倍數(shù)時，x7、12；若ABC為等腰三角形，x9。2，則整數(shù)。3答案不惟一，如果，那么；如果，那么；如果，那么等。4要畫圖，寫已知、求證、證明。56種（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）63。7BOC50或130；8解：（1）ADBC，ADC90， CAD90C AE平分BAC， EACBAC，BAC180B CEAC（180B C）90B C，EADEAC CAD90B C（90C） (CB)。 （2）如圖（b），過A作AGBC于G，由（1）知EAG(CB)。AGBC，F(xiàn)DBC，AGCFDG90，

24、FDAG，EFDEAG，EFD(CB)。 （3）如圖（c），過點A作AGBC于G，由（1）知EAG(CB)。AGBC，F(xiàn)DBC，AGBFDC90，F(xiàn)DAB，AFDEAG，AFD(CB)。 說明：在處理三角形中角的問題時，有時需要從整體出發(fā)進行思考，有時也可以通過適當(dāng)添加輔助線使未知問題轉(zhuǎn)化成已解決的問題，像本題這種類型的題目，既要看到圖形的變化，又要抓住變化中的內(nèi)在聯(lián)系。9延長BP交AC于D。BPCPDCA；BPCPDCACP；PDCAABP；BPCAABPACP。ABADBD。PDDCPC。ABADPDDCBDPC。ABACPBPC。10.（1）180。 （2）無變化。理由:CADBCECADEADBAC180。（3）無變化。理由:CADBACEDEACBACEECD180。11解：（1）BPC180（EBCBCF）180（EBCBCF）180（180ABC180ACB）180（1803018070）50；（2）BPC180（180ABC180ACB