4 2 1直線與圓的位置關系 直線與圓的位置關系的判定方法 問題思考 大海上初升的紅日 冉冉升起中 展現著迷人的風采 同時也體現了直線與圓的三種位置關系 相交 相切 相離 1 怎樣用幾何法即用圓心到直線的距離d同圓的半徑r的大小關系來判斷直線與圓的位置關系 提示 利用圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關系判斷它們之間的位置關系如下 若d r 則直線與圓相離 若d r 則直線與圓相切 若d r 則直線與圓相交 2 如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系 3 填空 直線ax by c 0 a b不同時為0 與圓 x a 2 y b 2 r2 r 0 的位置關系及判斷 4 做一做 1 直線3x 4y 5與圓x2 y2 16的位置關系是 a 相交b 相切c 相離d 相切或相交解析 圓心到直線的距離為 所以直線與圓相交 答案 a 2 過原點作圓x2 y2 2x 2y 1 0的切線 切線方程為 解析 圓的方程為 x 1 2 y 1 2 1 圓與x軸 y軸都相切 所求切線方程為x 0或y 0 答案 x 0或y 0 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內畫 錯誤的畫 1 直線與圓的位置關系可以用代數法或幾何法判斷 2 過圓外一點作圓的切線有兩條 3 當直線與圓相離時 可求圓上點到直線的最大距離和最小距離 4 若直線與圓有公共點 則直線與圓相交或相切 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 判斷直線與圓的位置關系 例1 已知直線方程mx y m 1 0 圓的方程x2 y2 4x 2y 1 0 當m為何值時 直線與圓 1 有兩個公共點 2 只有一個公共點 3 沒有公共點 思路分析 可聯立方程組 由方程組解的個數判斷 也可求出圓心到直線的距離 通過與半徑比較大小判斷 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟直線與圓的位置關系反映在三個方面 一是點到直線的距離與半徑大小的關系 二是直線與圓的公共點的個數 三是兩方程組成的方程組解的個數 因此 若給出圖形 可根據公共點的個數判斷 若給出直線與圓的方程 可選擇用幾何法或代數法 幾何法計算量小 代數法可一同求出交點 解題時可根據條件作出恰當的選擇 探究一 探究二 探究三 思維辨析 直線與圓相切 例2 過點a 4 3 作圓c x 3 2 y 1 2 1的切線 求此切線的方程 思路分析 利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率 進而求出切線方程 解 因為 4 3 2 3 1 2 17 1 所以點a在圓外 1 若所求切線的斜率存在 設切線斜率為k 則切線方程為y 3 k x 4 因為圓心c 3 1 到切線的距離等于半徑 半徑為1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 若直線斜率不存在 圓心c 3 1 到直線x 4的距離也為1 這時直線與圓也相切 所以另一條切線方程是x 4 綜上 所求切線方程為15x 8y 36 0或x 4 反思感悟切線方程的求法1 求過圓上一點p x0 y0 的圓的切線方程 先求切點與圓心連線的斜率k 則由垂直關系 切線斜率為 由點斜式方程可求得切線方程 若k 0或斜率不存在 則由圖形可直接得切線方程為y b或x a 2 求過圓外一點p x0 y0 的圓的切線時 常用幾何方法求解 設切線方程為y y0 k x x0 即kx y kx0 y0 0 由圓心到直線的距離等于半徑 可求得k 進而切線方程即可求出 但要注意 此時的切線有兩條 若求出的k值只有一個時 則另一條切線的斜率一定不存在 可數形結合求出 探究一 探究二 探究三 思維辨析 過點q 3 0 作圓x2 y2 4的切線 求此切線方程 探究一 探究二 探究三 思維辨析 直線與圓相交 例3 求直線l 3x y 6 0被圓c x2 y2 2y 4 0截得的弦長 思路分析 解法一求出直線與圓的交點坐標 解法二利用弦長公式 解法三利用幾何法作出直角三角形 三種解法都可求得弦長 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 忽略方程中未知量的取值范圍致錯 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 防范措施有關直線與圓的位置關系問題 要看清運動中的不變量 例如本例中直線的平行關系 并注意方程中變量的取值范圍 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1 直線x y 4 0與圓x2 y2 2x 2y 2 0的位置關系是 a 相交b 相切c 相交且過圓心d 相離解析 圓的方程為 x 1 2 y 1 2 4 故直線與圓相離 答案 d 解析 直線x y m 0與圓x2 y2 m相切 圓心o 0 0 到