第2 4 卷第5 期 2 0 0 5 年5 月 大學物理 C o L L E G EP H Y S I C S V 0 1 2 4N o 5 M a y 2 0 0 5 勢壘貫穿中U o E 時的透射系數(shù)研究 也從一道勢壘習題的問題談起 劉明 湖北教育學院物理與電子信息系 湖北武漢4 3 0 0 6 0 摘要 推導出了勢壘貫穿問題中當U E 時的透射系數(shù)表達式 并利用該公式圓滿解釋了 大學物理 刊出的一篇題為 從一道習題看量子力學中的勢壘 文章中提出的問題 關(guān)鍵詞 勢壘貫穿 透射系數(shù) 量子力學 中圖分類號 o4 1 3 1文獻標識碼 A文章編號 1 0 0 0 0 7 1 2 2 0 0 5 0 5 一0 0 3 4 一0 3 1問題的提出 大學物理 刊出過一篇題為 從一道習題看量 子力學中的勢壘 的文章n 該文討論了在目前國內(nèi) 很流行的一本量子力學習題集中的一個問題 計算 質(zhì)量優(yōu) 5g 以速度可 1 0c m s 叫向一剛性障礙物 高H 5c m 寬w lc m 運動的子彈的透射概 率 習題書上是這樣解答的 如果把障礙物的寬度看成勢壘的厚度 子彈透 射看成是越過障礙物所設(shè)置的重力勢壘 則透射概 率為 T e x p 一引2 優(yōu) m 姐一丟m u 2 w 2 e x p 一半厄萬刁 1 其中 掣壓麗 0 9 1 0 s 即 T 2e o 9 1 0 0 文獻 1 的作者對此提出了質(zhì)疑 他選擇了一個 特殊的情況 即令子彈的速度恰好等于v 廠硒 并估計 了一下數(shù)量級 磊再 2 9 8 1 0 2 5 咖 s 1 1 0 0c m s 1 再代人到前面的透射概率表達式中 發(fā)現(xiàn)透射率T 可以接近1 這顯然不合常理 文獻 1 認為問題出在勢壘不應(yīng)是重力勢壘 而應(yīng)是剛體 對它的阻力勢壘上 筆者原先認為這一分析有道理 但經(jīng)過深入分析后發(fā)現(xiàn) 文獻 1 實際上是利用式 1 討論U 0 E 情況下的透射系數(shù)問題 按照這個 思路 如果換成微觀粒子 如電子 在砜 E 的情 況下 利用式 1 同樣也會出現(xiàn)丁接近于1 的不合 常理的結(jié)果 難道微觀粒子 如電子 也不適于用量 子力學方法求解 于是筆者查閱了相關(guān)文獻和教 材 對透射概率公式的由來進行了分析 發(fā)現(xiàn)該公式 出自于勢壘貫穿問題中U E 的情況 沒有等 號 3 此時透射系數(shù)為D D e 一魯廠可町雨口 其 中D 是常數(shù) 接近于1 口是勢壘寬度 U 是粒子在 力場中的勢能 E 是電子的能量 而使子彈的速度恰 好等于 2 9 H 相當于取U 0 E 這顯然是把u E 的情況直接套用到U 0 E 的公式中去了 這是不 合適的 筆者認為文獻 1 之所以推出不合常理的 結(jié)論 問題的真正原因就在于此 一般教材上大多 都討論了U 0 E 和U 0 E 的情況 而沒有就 U E 的情況作專門討論 本文就從勢壘貫穿問 題的定態(tài)薛定諤方程出發(fā) 討論砜 E 時的透射 系數(shù)D 2 u E 時透射系數(shù)公式的導出 一維方勢壘粒子的波函數(shù)毋所滿足的定態(tài)薛 定諤方程為 f 磐 簪妒 o z o 砂州2 I 粵 孕 E 一砜 驢 o o z 口 3 討論U o E 時的情況 為簡便起見 令是 等等 則式 2 3 可改寫為 收稿日期 2 0 0 4 0 3 一1 7 修回日期 2 0 0 4 1 2 一0 9 作者簡介 劉明 1 9 6 2 一 女 湖北武漢人 湖北教育學院物理與電子信息系教授 主要從事量子力學教學研究和高能多重產(chǎn)生唯象學的研究 萬方數(shù)據(jù) 第5 期 劉明 勢壘貫穿中U 0 E 時的透射系數(shù)研究 3 5 護 0 一 D 腎l 去e 哪P 2 南2 舞 擘 o o z 口 5 蓋 在z 0 區(qū)域內(nèi) 方程的解是 3討論 在0 z 口區(qū)域內(nèi) 方程的解是 3 C e 誥 2 C 7 e 叫6 l 8 按照公式 r 驢 r e 一扣 定態(tài)波函數(shù)是 驢 妒 妒 再分別乘上一個含時因子e 一扣 由此很容 易看出式 6 第一項是由左向右傳播的平面波 第二 項是由右向左傳播的平面波 式 8 第一項是入射 波 第二項是反射波 而在z 口區(qū)域內(nèi)沒有由右向 左運動的粒子 因而只應(yīng)有向右傳播的透射波 所以 在式 8 中必須令 C7 0 現(xiàn)在利用波函數(shù)及其微商在z 0 點和z 口 點連續(xù)的條件來確定波函數(shù)中的其他系數(shù) 由妒tI 刪2 驢z 刪有 A A7 B 7 9 由警L 嘗L 有 i 愚1 A i 愚l A7 B 1 0 由驢zI 2 妒 l 有 B 口 B7 C e 詎l 4 1 1 由娑L 娑L 有 B i 愚 C e 譴z 1 2 式 9 乘以忌加式 1 0 得 2 忌1i A i 愚 B7 B 1 3 式 1 1 減去式 1 2 與以之積得 B7 C e 譴14 一i 足 C 口e 譴1 4 1 4 式 9 1 4 代入式 1 3 得 2 i 愚lA i 愚lC e 6 14 1 一i 愚1 口 i 是1C e 強1 4 故有 2 志 A 2 忌 c e 誥 4 1 一專足 口 辜 一一 e k A 1 一扣 透射系數(shù)D 為 1 1 一丟口 等 e 由上面分析可知 當砜 E 時不會出現(xiàn)上文提 到的透射系數(shù)為1 的不合常理的情況 從以上推得的表達式可知 透射系數(shù)隨勢壘寬 度口的增大而迅速減小 而且隨U 0 E 的值的增 大而減小 當U n E 且趨于0 時 粒子的透射系數(shù)趨于1 同樣 口趨于無窮大時 粒子的透射系數(shù)也會趨于0 以上推導說明 文獻 1 中出現(xiàn)的不合理是套公 式時忽略了適用條件造成的 按我們推得的公式 不 管是微觀粒子還是宏觀剛體都不會出現(xiàn)砜 E 時 D 1 即透射系數(shù)為1 的情況 對于文獻 1 中提到的該習題是否適合用量子 力學方法求解的問題可作如下討論 對于題中提到的質(zhì)量優(yōu) 5g 運動速度口 1 0c m s 1 的子彈 利用德布羅意關(guān)系p 孚 則有 矗 6 6 2 6 1 0 一川 2 一 2 C m 2 戶 2 肛 2 5 罷 5 1 0 2 f 厶7 J7 7 J7 上v V二 1 3 1 0 2 9c m 1 3 1 0 2 2n m 1 3 1 0 q 2m 顯然是一個極小的量 與子彈自身尺度 約3 鋤 或勢壘寬度 1c m 相比 其波長A 更是小量 即d 儀器線度 H 1 遠大于A 所以量子效應(yīng)不明顯 也 就是說 當儀器線度或光學特征尺度d 遠大于實物粒 子的德布羅意波長時 經(jīng)典的粒子性描述將是可行的 應(yīng)用經(jīng)典方法討論 而不適于用量子力學的方法討論 實際上 我們可以用式 1 6 來估算一下子彈的透射系數(shù) 這里取子彈的運動速度為1 0 0c I l l s 1 D 1 L 再 j 廣 一 7 1 0 2 l 毒等 5 專 5 1 0 0 2 上1 蠆6T 瓦雙面可 可見其透射系數(shù)趨于0 即使子彈速度接近光速 也 是這個結(jié)果 所以對于子彈來說 其透射現(xiàn)象是可以 忽略不計的 同樣我們可以討論一個能量為E 1 0 0e V 的 電子的情況 注意 1d V 1 6 1 0 1 9J m 9 1 1 0 一2 8g E 1 0 0e v 1 6 1 0 1 7J 由德布羅意關(guān)系p 旱 有 萬方數(shù)據(jù) 大學物理第2 4 卷 夕 2 弘E 2 9 1 l o 一2 8 1 6 1 0 一1 0 一 鋤2 1 2 1 0 c m O 1 2c m 相當于晶格間距 當用晶格作光柵時就可觀察到衍 射花紋 由此可證明其具有波動性 可用量子力學的 方法來處理 為了便于比較 以下估算一下電子的透射系數(shù) D 取勢壘寬度n l O c m 肛曩毒2 曩疆盟 秦焉產(chǎn) 即當U n E 時 能量為E 1 0 0e V 的電子在勢壘 寬度為口 1 0 c m 的透射系數(shù)為0 0 5 5 即為 5 5 這是一個不可忽視的量 顯然 電子的透射現(xiàn) 象是明顯的 所以勢壘貫穿效應(yīng)也是微觀粒子具有 波粒二象性的最好例證之一 參考文獻 1 徐志凌 從一道習題看量子力學中的勢壘 J 大學物 理 1 9 9 3 1 2 1 0 4 8 2 曾謹言 量子力學 M 北京 科學出版社 2 0 0 3 3 8 3 周世勛 量子力學教程 M 北京 高等教育出版社 1 9 7 9 4 4 4 威切曼EH 量子物理學 M 北京 科學出版社 1 9 7 8 2 8 3 T h er e s a r c hO np e n e t r a t i o nc o e f f i c i e n ti nb a r r i e r p e 淝t r a t i o nw h e nU o E L I UM i n g D e p a r t m e n to fP h y s i c s H u b e iU n i v e r S i t yo fE d u c a t i o n W u h a n4 3 0 0 6 0 C h i n a A b s t m c t F o m u l af o rp e n e t r a t i o nc o e f f i c i e n ti nb a r r i e rp e n e t r a t i o nw h e nU o Ei sp r e s e n t e d a n dt h e q u e s t i o ni nt h ea r t i c l e T h er e s e r c ho nb a r r i e ro fq u a n t u mm e c h a n i c sf r o map i e c eo fe x e r c i s e C 0 1 l e g eP h y s i c s 1 9 9 3 1 2 1 0 i se x p l a i n e du s i n gt h i sf o r m u l a 量 e yw o r d s b a r r i e rp e n e t r a t i o n p e n e t r a t i o nc o e f f i c i e n t 光學元件庫 歐普特科技 北京歐普特公司參照國際通常規(guī)格及技術(shù)指標 備有完整系列的精密光學零部件 備有產(chǎn)品樣本供參考 供國內(nèi)各大專 院校 科研機構(gòu) 實驗室隨時選用 公司同時可為用戶提供技術(shù)咨詢 光學透鏡 平凸 雙凸 平凹 雙凹 消色差膠合透鏡等 直徑j(luò) 2 r 1 一一j 5 0m m 焦距I 一一I0 0 0m m 材料包括光學玻璃 紫外石英玻 璃 有色光學玻璃 紅外材料 光學棱鏡 1 5 0m m 各種規(guī)格直角棱鏡 及其他常用棱鏡 光學反射鏡 各種尺寸規(guī)格的鍍鋁 鍍銀 鍍金 及介質(zhì)反射鏡 直徑夠5 2 0 0m m 光學窗口 各種尺寸規(guī)格 材料的光學平面窗口 平晶 直徑黟5 2 0 0m m 各種有色玻璃濾光片 規(guī)格夠5 2 0 0m m 紫外 可見 紅外 紫外石英光纖 進口紫外石英光纖 S M A 接口光纖探頭 紫外石英聚焦探頭 單位 北京歐普特科技有限公司電話 0 1 0 8 8 0 9 6 2 1 8 8 8 0 9 6 2 1 7傳真 0 1 0 8 8 0 9 6 2 1 6 地址 北京市海淀區(qū)知春路4 9 號希格瑪大廈B 座3 0 6 室郵編 1 0 0 0 8 0 網(wǎng)址 w w w g o l d w a y m c n 電子郵箱 o p t i c s g o l d w a y m c nk e v i n c h e n g o l d w a y c o m c nl i u c h u a n f e n g g o l d w a y c o m c n 陳鏘先生 劉傳峰先生 石冀陽小姐 萬方數(shù)據(jù) 勢壘貫穿中U0 E時的透射系數(shù)研究 也從一道勢壘習題的問勢壘貫穿中U0 E時的透射系數(shù)研究 也從一道勢壘習題的問 題談起題談起 作者 劉明 LIU Ming 作者單位 湖北教育學院 物理與電子信息系 湖北 武漢