數列知識點1 考綱要求內容4要求層次ABC數列數列的概念數列的概念和表示法等差數列、等比數列等差數列的概念等比數列的概念等差數列的通項公式與前項和公式等比數列的通項公式與前項和公式2 知識點 (一)數列的該概念和表示法、 （1）數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列；數列中的每個數都叫這個數列的項記作，在數列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作； 數列的一般形式：，簡記作 。 （2）通項公式的定義：如果數列的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式 說明：表示數列，表示數列中的第項，= 表示數列的通項公式； 同一個數列的通項公式的形式不一定唯一。 不是每個數列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414， （3）數列的函數特征與圖象表示： 序號：1 2 3 4 5 6 項 ：4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數集的映射。從函數觀點看，數列實質上是定義域為正整數集（或它的有限子集）的函數當自變量從1開始依次取值時對應的一系列函數值，通常用來代替，其圖象是一群孤立的點（4） 數列分類： 按數列項數是有限還是無限分：有窮數列和無窮數列； 按數列項與項之間的大小關系分：單調數列（遞增數列、遞減數列）、常數列和擺動數列（5） 遞推公式定義：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式（2） 等差數列 1.等差數列的定義：（d為常數）（）； 2等差數列通項公式： ， 首項:，公差:d，末項: 推廣： 從而；3等差中項 （1）如果，成等差數列，那么叫做與的等差中項即：或 （2）等差中項：數列是等差數列4等差數列的前n項和公式：（其中A、B是常數，所以當d0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0）特別地，當項數為奇數時，是項數為2n+1的等差數列的中間項（項數為奇數的等差數列的各項和等于項數 乘以中間項）5等差數列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數) 是等差數列 （2） 等差中項：數列是等差數列 （3） 數列是等差數列（其中是常數）。（4） 數列是等差數列,（其中A、B是常數）。6等差數列的證明方法 定義法：若或(常數) 是等差數列7.等差數列的性質：（1）當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函 數，且斜率為公差；前和是關于的二次函數且常數項為0.（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.（4）若、為等差數列，則都為等差數列 (5) 若是等差數列，則 ，也成等差數列 （6）數列為等差數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數 列（7）設數列是等差數列，d為公差，是奇數項的和，是偶數項項的和，是前n項的和1.當項數為偶數時，2、當項數為奇數時，則（其中是項數為2n+1的等差數列的中間項）（8）等差數列的前n項和，前m項和，則前m+n項和(9)求的最值法一：因等差數列前項和是關于的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要 注意數列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和即當 由可得達到最大值時的值 （2） “首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。即 當 由可得達到最小值時的值或求中正負分界項法三：直接利用二次函數的對稱性：由于等差數列前n項和的圖像是過原點的二次函數，故n取離二次函數對稱軸最近的整數時，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為（3） 等比數列 1. 等比數列的定義：，稱為公比2. 通項公式：， 首項：；公比：推廣：， 從而得或3. 等比中項（1）如果成等比數列，那么叫做與的等差中項即：或注意：同號的兩個數才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數）（2）數列是等比數列4. 等比數列的前n項和公式：(1) 當時， (2) 當時，5. 等比數列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有為等比數列 （2） 等比中項：（0）為等比數列（3） 通項公式：為等比數列 （4） 前n項和公式：為 等比數列6. 等比數列的證明方法依據定義：若或為等比數列7. 等比數列的性質(1) 當時等比數列通項公式是關于n的帶有系數的類指數函數，底數為公比前n項和，系數和常數項是互為相反數的類指數函數，底數為公比(2) 對任何m,n,在等比數列中,有,特別的,當m=1時,便得到等比數列的通項公式.因此,此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當n+m=2k時,得注：(4) 列,為等比數列,則數列, (k為非零常數) 均為等比數列.(5) 數列為等比數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數列(6) 如果是各項均為正數的等比數列,則數列是等差數列(7) 若為等比數列,則數列，成等比數列(8) 若為等比數列,則數列, , 成等比數列(9) 當時， 當時，, 當q=1時,該數列為常數列（此時數列也為等差數列）; 當q0,a0時，最小：當d0,a0時，最小（0) 當d0,a0時，最大；當d0時，最大(0,0)在等差數列an中： (1)a5=6,a7=16,則a1= ,公差d= (2)a3=20,a10=-1,則a15=思考：等差數列可以運用于哪些方面重要性數列是高中數學的重要內容之一，而等差數列作為一類重要的特殊數列，一方面它的定義、通項、求和、性質及運算是歷年高考的熱點，另一方面學生學習等差數列是探究特殊數列的開始，可以為今后學習數列提供幫助，更為等比數列提供了學習對比的依據。等差數列的概念 等差數列的通項公式等差數列前n項的和的求和公式一、基本概念1、數列：按照一定順序排列著的一列數二、等差數列：從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個常數稱為等差數列的公差 ，或1、若等差數列的首項是，公差是，則有 性質： 2、等差數列的前項和的公式： 等差數列的前項和的性質：（1） （2） 若等差數列,的前n項和為,則 （3）等差數列的求和最值問題：（二次函數的配方法；通項公式求臨界項法）若，則有最大值，當n=k時取到的最大值k滿足若，則有最小值，當n=k時取到的最大值k滿足三、等比數列：從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個常數稱為等比數列的公比1、通項公式及其性質 若等比數列的首項是，公比是，則2、前n項和及其性質四、(1)與的關系：（檢驗是否滿足）(2)五、一些方法1、等差數列、等比數列的最大項、最小項；前n項和的最大值、最小值2、求通向公式的常見方法 （1）觀察法；待定系數法（已知是等差數列或等比數列）； （2）累加消元;累乘消元。（3）；（4）化為構造等比，化為，分是否等1討論。3、求前n項和的常見方法 公式法、倒序相加、錯位相減、列項相消、分組求和 數列知識點鞏固練習一、選擇題1、一個三角形的三個內角A、B、C成等差數列，那么的值是（ ）A B C D不確定2、等差數列的公差為2，若，成等比數列，則等于( )A B C D 3、等比數列an的前3項的和等于首項的3倍，則該等比數列的公比（ ）A2B1C2或1D2或14、等差數列中，已知前15項的和，則等于（ ）AB12CD65、等比數列中,a5a6=9,則( )A.12 B.10 C.8 D.6、等比數列an 的前n項和為Sn ， 若S4=1，S8=4，則a13+a14+a15+a16=（ ）A7 B16 C27 D647、數列的通項公式，則該數列的前（ ）項之和等于 A B C D 8、在等比數列an中,a5a7=6,a2+a10=5,則等于( )A. B. C. D. 或9、等差數列,的前項和分別為,若,則=（ ）A B C D 10、已知數列的前項和為,則的值是（ ） A. -76 B. 76 C. 46 D. 13二、 填空題1、數列的一個通項公式是 2、數列的前n項和是 3、在數列中，且對于任意自然數n，都有，則 4、已知， ， =_5、已知數列的，則=_6、等差數列