基本不等式【知識梳理】一、基本不等式1基本不等式成立的條件：a0，b0.2等號成立的條件：當且僅當ab時取等號二、幾個重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同號)ab2(a，bR)；2(a，bR)三、算術平均數與幾何平均數設a0，b0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為，基本不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數四、利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)【基礎自測】1函數yx(x0)的值域為_解析：x0，yx2，當且僅當x1時取等號答案：2，)2已知m0，n0，且mn81，則mn的最小值為_解析：m0，n0，mn218.當且僅當mn9時，等號成立3已知0x1，則x的最小值為_解析：xx11415.當且僅當x1，即x3時等號成立答案：55已知x0，y0，lg xlg y1，則z的最小值為_解析：由已知條件lg xlg y1，可得xy10.則2 2，故min2，當且僅當2y5x時取等號又xy10，即x2，y5時等號成立 答案：21.在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤2對于公式ab2，ab2，要弄清它們的作用和使用條件及內在聯系，兩個公式也體現了ab和ab的轉化關系3運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等【考點探究】考點一利用基本不等式求最值 【例1】(1)已知x0，則f(x)2x的最大值為_(2)(2012浙江高考)若正數x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是_ 解(1)x0，x0，f(x)2x2.(x)24，當且僅當x，即x2時等號成立f(x)2242，f(x)的最大值為2.(2)x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(當且僅當x2y時取等號)，3x4y的最小值為5.【一題多變】本例(2)條件不變，求xy的最小值解：x0，y0，則5xyx3y2，xy，當且僅當x3y時取等號【由題悟法用基本不等式求函數的最值，關鍵在于將函數變形為兩項和或積的形式，然后用基本不等式求出最值在求條件最值時，一種方法是消元，轉化為函數最值；另一種方法是將要求最值的表達式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達式放縮為一個定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等號成立的條件【以題試法】1(1)當x0時，則f(x)的最大值為_(2)(2011天津高考)已知log2alog2b1，則3a9b的最小值為_(3)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實數m的最大值是_解析：(1)x0，f(x)1，當且僅當x，即x1時取等號(2)由log2alog2b1得log2(ab)1，即ab2，3a9b3a32b23(當且僅當3a32b，即a2b時取等號)又a2b24(當且僅當a2b時取等號)，3a9b23218.即當a2b時，3a9b有最小值18.(3)由x0，y0，xyx2y2，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，即m10.故m的最大值為10.考點二 多元均值不等式問題【例2】設x，y，z為正實數，滿足x2y3z0，則的最小值是_解析：由已知條件可得y，所以3，當且僅當xy3z時，取得最小值3. 【以題試法】若且,求的最小值 .考點三 基本不等式的實際應用【例3】(2012江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點已知炮彈發射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發射方向有關炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(1)求炮的最大射程；(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實際意義和題設條件知x0，k0，故x10，當且僅當k1時取等號所以炮的最大射程為10千米(2)因為a0，所以炮彈可擊中目標存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立關于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0 a6.所以當a不超過6千米時，可擊中目標【由題悟法】 利用基本不等式求解實際應用題的方法(1)問題的背景是人們關心的社會熱點問題，如“物價、銷售、稅收、原材料”等，題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數學模型，轉化為數學問題求解(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據變量的范圍用對應函數的單調性求解.【以題試法】2(2012福州質檢)某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件(1)據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元公司擬投入(x2600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價解：(1)設每件定價為t元，依題意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元(2)依題意，x25時，不等式ax25850(x2600)x有解，等價于x25時，ax有解x2 10(當且僅當x30時，等號成立)，a10.2.因此當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元【鞏固練習】1函數y(x1)的最小值是_解析：x1，x10.yx122 222.當且僅當x1，即x1時，取等號2設a0，b0，且不等式0恒成立，則實數k的最小值等于_解析：由0得k，而24(ab時取等號)，所以4，因此要使k恒成立，應有k4，即實數k的最小值等于4.3.求函數的值域.解：令，則因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性.因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函數，故.所以，所求函數的值域為.4、求函數的最小值.解析：，當且僅當即時，“=”號成立，故此函數最小值是.5.求函數 的最大值解：，當且僅當即時，“=”號成立，故此函數最大值是16.已知x，y為正實數，且x 21，求x的最大值.解：x 即xx 7.已知ab0,求a+的最小值.8已知函數f(x)x(p為常數，且p0)若f(x)在(1，)上的最小值為4，則實數p的值為_解析：由題意得x10，f(x)x1121，當且僅當x1時取等號，因為f(x)在(1，)上的最小值為4，所以214，解得p.9已知x0，a為大于2x的常數，(1)求函數yx(a2x)的最大值； (2)求yx的最小值解：(1)x0，a2x， yx(a2x)2x(a2x)2，當且僅當x時取等號，故函數的最大值為.(2)y2 .當且僅當x時取等號故yx的最小值為.10正數x，y滿足1. (1)求xy的最小值； (2)求x2y的最小值解：(1)由12 得xy36，當且僅當，即y9x18時取等號，故xy的最小值為36.(2)由題意可得x2y(x2y)19192 196，當且僅當，即9x22y2時取等號，故x2y的最小