關于小學數學簡便計算計算評價標準的研究閘北區臨汾路小學 韓瑾摘要：本課題試圖通過調查研究，了解當前教師對于簡便計算的評價方式及標準，根據所獲資料總結出運用簡便方法的特征并不是計算過程中有湊整、或者計算過程中進位或退位較少、又或者計算步驟較少、也不是在計算過程中運用運算定律或性質、更不是改變原來的運算順序。隨后討論“學生是否一定要用在老師看來最優化的方法解題”，最后提出面向不同學生的評價標準。目錄：一、問題的提出2二、文獻綜述2三、調研方案四、數據與分析1、在運算過程中運用運算定律或運算性質不能作為決定計算過程簡便的標準42、不能將運算過程中進位或退位次數最少的算法作為簡便算法43、不能將在運算過程中改變計算順序就視作簡便54、不能把運算過程中計算步驟最少的算法作為簡便算法55、在運算過程中湊整與否不能作為決定計算過程簡便的標準6五、討論與猜想1、猜想62、初步驗證7六、主要結論與建議8七、進一步的思考9參考資料9一、問題的提出：在現實的教學活動中，通過初步調查可以發現，教師在評判學生是否用簡便方法計算時往往走向兩種極端：一種是只要學生用了運算定律或運算性質就是用了簡便方法。網絡上的百度詞條也這樣解釋：簡便計算是一種特殊的計算，它運用了運算定律，從而使計算簡便，使一個很復雜的式子變得很容易計算。例如：用簡便方法計算12.5（811.7818.3）；有學生做成12.581（1.78.3） =12.5（8110）=12.5810=10125，雖然解題過程中還可再用一次乘法分配律使計算更加簡便，但因為用了一次乘法分配律，使現在的解法相對于原題而言已顯簡便，因此被判定為正確。本來這無可厚非。可很多學生利用了這點，為了得分，凡是遇見“能簡則簡”的題便“強行”運用 “運算定律”或“運算性質”，使計算過程依舊繁瑣。例如：用簡便方法計算165184454，有學生做成（10065）184454=1810065184454=1800+11702376=5346，如果仍舊以是否使用了運算定律為標準來判斷學生的解法是否簡便，那就是正確的。但那樣就達不到訓練學生思維深刻性、敏銳性、靈活性的目的了。另一種是學生用了“自己”的方法計算，明顯減少了計算步驟并且降低了原題的計算難度，但因為沒用教師預設的運算定律，所以被判定是錯誤的。例如：用簡便方法計算2516，一定要把16拆成44嗎？在簡便計算2516時，教師有意強調看到25想到4，把16拆成44，做成2544=1004=400；有學生做成：2582=2002=400或2528=508 =400，這樣也未嘗不可。25與4結合，仿佛已成為思維定式，并且要求學生記住254=100、1258=1000這些特殊的算式。所以在簡便計算時，看到25、125就應馬上想到4、8。但有些學生認為：258=200 、1254=500同樣也可作為特殊算式記住，都是湊整，同樣也可以進行簡便計算。無論是上述的哪一種評價標準，都是教師為了增加在批閱考卷或作業時的速度而想到的。以“是否使用了運算定律或運算性質”為標準來判斷學生的解法時，只需看學生是否在計算過程中改變原來運算順序或增減括號；至于以“規定的簡便方法”為標準判斷就更易批改了。就目前而言，對于判斷簡便計算客觀標準尚不明確，可謂智者見智，仁者見仁。解決這種情況的基本方法是，突破以個人判斷為唯一基礎的模式，尋找客觀的分類標準以及客觀的評價方法。雖然很難有統一的標準評價學生的簡便計算，但作為閱卷者有必要達成一定的共識，除非對簡便計算考察方式作一定調整。為此，本課題試圖通過調查研究，了解當前教師對于簡便計算的評價方式及標準，根據所獲資料總結出決定計算過程簡便與否的因素。并在此基礎上提出更符合素質教育要求的評價方式或標準，提高評價標準的客觀性。二、文獻綜述 目前，關于小學數學評價方式的理論提倡教師要在尊重學生個性差異、學習差異的原則基礎上，結合多種指標綜合地對學生作業進行評價，要關注學習過程，評價方式不能單一。例如可以在教師的指導下，學生進行自評作業或讓學生互相批改作業，也可以采取“評級+評語”的方式評價學生作業，提高學生學習的積極性和主動性，甚至教師可以在向學生布置作業后，自己與學生一起去做這些作業并且針對學生學習中出現的問題和作業中易出錯的地方，有意識地做錯，然后讓學生去批改。當學生的作業錯誤過多，過嚴重時，為了避免學生作業等級太低，心理壓力太大，以及產生知識上的脫節和惡性循環，可以采取暫不評判等級的批改策略。等學生弄清了錯誤原因，補充了所欠缺的知識，將作業重做之后，再進行評判。在有條件的班級，例如小班中，可以讓學生對每次作業進行反思，也可以建立作業信息檔案，這樣，不但記錄學生完成作業的量和質，而且記錄每個學生的典型錯誤和知識掌握不足的地方。三、調研方案通過了解當前教師對于簡便計算的評價方式及標準，根據所獲資料總結出決定計算過程簡便與否的因素。并在此基礎上提出更符合素質教育要求的評價方式或標準。我首先制定調查問卷，初步了解了老師們認為的簡便計算的特征有哪些，即老師們在說服學生一種算法較另一種算法更簡便時，會從哪一方面著手。總結后發現決定計算過程簡便與否的因素大致可分為五類：看運算過程中是否用到運算定律或性質、看運算過程中是否湊整、看計算步驟的多少、看是否改變原來的運算順序、看計算過程中進位或退位的多少。由此，我設計了如下的調查問卷，為了減少所謂的測驗誤差，對于每一個因素有4個題目來調查：運算定律或性質（1、6、11、16）、湊整（5、10、15、20）、進位或退位（2、7、12、17）、計算步驟（4、9、14、19）、改變運算順序（3、8、13、18）。本次調查問卷回收率達到100%。親愛的老師：您好！這是一份有關“判斷學生運用簡便方法計算的標準”的問卷。您的意見相當寶貴，請根據您的個人情況和感受填答。此問卷不記姓名，調查結果僅供研究使用，絕對保密，請您放心回答，謝謝您的協助。順頌 教學愉快 以下每一個題目都是一個陳述句，請根據您的同意程度在該題右側選擇一個數字畫圈。如果要更改答案，可以將不要的答案打差，另選一個數字。各數字代表的含義如下：1完全不同意，2基本上不同意，3不同意多于同意，4同意多于不同意，5基本上同意，6完全同意。1、簡便算法中應該運用運算定律。2、用簡便方法計算的過程中應出現更多次進位或退位。3、在用簡便算式計算時會有符號的移動。4、簡便算法包含的計算次數更少。5、簡便算法中出現的整十、整百數更多。6、簡便算法中應該運用運算性質。7、簡便算法應更少退位。8、在用簡便算式計算時會有括號的增減。9、簡便算法的計算步驟更少。10、一個沒湊整的算法肯定不會簡便。11、用簡便方法計算的過程中會將原式變形。12、用簡便方法計算時某一數位上的運算更少涉及其它數位。13、如果完全按照原來的順序計算，肯定不會簡便。14、用簡便方法計算的步驟不會減少。15、簡便算法出現“0”的數位更多。16、簡便算法中不應該運用運算性質或運算定律。17、簡便算法應更少進位。18、簡便算法不會改變原來的運算順序。19、用簡便方法計算的遞等式中等號更少。20、簡便算法出現“0”的數位更少。1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6本問卷到此結束，謝謝您的配合四、數據與分析：以下是對于所收集數據的匯總表，在每一張表格的后面是我找出的能反映調查結果的例題。1、在運算過程中運用運算定律或運算性質不能作為決定計算過程簡便的標準：題號161116完全不同意的人數32141基本上不同意的人數1525108不同意多于同意的人數1411813同意多于不同意的人數911113基本上同意的人數1407完全同意的人數1001這5題是調查在運算過程中運用運算定律或運算性質能否作為決定計算過程簡便的標準。第16題是反向題。總分485，平均分2.8。所以結論是否定的。例1：算法一：18.9（3.452.55）=18.93.4518.92.55=65.20548.195=113.4算法二：18.9（3.452.55）=18.96=113.4本例的第一種算法運用了乘法分配律，而第二題沒有運用任何運算定律或運算性質。“運算過程中運用運算定律或運算性質不能作為決定計算過程簡便的標準”這一點也是可以理解的，一旦衡量標準變得如此簡單，那么學生看到題中有多位數乘以另一個數就會馬上將多位數進行分拆，隨后用乘法分配律。即使學生不知道這一點，老師知道后，會下意識地這樣教，相信那不是練習巧算的目的。2、不能將運算過程中進位或退位次數最少的算法作為簡便算法：題號271217完全不同意的人數2627基本上不同意的人數71282不同意多于同意的人數7152111同意多于不同意的人數2010129基本上同意的人數3007完全同意的人數4007這5題是調查能否將運算過程中進位或退位次數最少的算法作為簡便算法。第2題是反向題。總分549 ，平均分3.19 。所以結論是否定的。例2：算法一：456145244=601244=845算法二：456145244=456244145=700145=845本例的第一種算法在整個計算過程中共計2次進位，分別是344656中的百位和千位；第二種算法在整個解題過程中也出現兩次進位，分別是在456244中出現的百位和千位。但在這里算法二稍顯簡單。3、不能將在運算過程中改變計算順序就視作簡便：題號381318完全不同意的人數9074基本上不同意的人數81281不同意多于同意的人數612911同意多于不同意的人數1112414基本上同意的人數1475完全同意的人數8388這5題是調查是否在運算過程中改變計算順序就是簡便。第18題是反向題。總分568 ，平均分3.3 。所以結論是否定的。例3：算法一：7121255=7125512=76712=755算法二：7121255=70055=755本例的第一種算法改變了運算順序。可是按照原來的計算順序計算更加簡單。4、不能將運算過程中計算步驟最少的算法作為簡便算法：題號491419完全不同意的人數45012基本上不同意的人數713911不同意多于同意的人數910810同意多于不同意的人數116127基本上同意的人數5583完全同意的人數7460這5題是調查能否將運算過程中計算步驟最少的算法作為簡便算法。第14題是反向題。總分532 ，平均分3.09 。所以結論是否定的。例4：算法一：165184454=（10065）184454=1810065184454=1800+11702376=5346算法二：165184454=（553）184454=55（318）4454=55544454=9954=（1001）54=10054154=540054=5346本例的第二種算法比第一種算法步驟多，但比起第一種算法，第二種算法顯得更簡單。其實，既然沒規定所有的解題步驟都要寫出，那么就不能靠這一點評判某種算法是否簡便。5、在運算過程中湊整與否不能作為決定計算過程簡便的標準：題號5101520完全不同意的人數5230基本上不同意的人數1314126不同意多于同意的人數711144同意多于不同意的人數1110312基本上同意的人數73613完全同意的人數1358這5題是調查在運算過程中湊整能否作為決定計算過程簡便的標準。第20題是反向題。總分536，平均分3.12。所以，結論是否定的。例5：算法一：344659656=344656659=1000659=341算法二：344659656=344（659656）=3443=341本例的第二種算法沒有湊整，但個人認為算法二較簡單。可見，運用簡便方法的特征并不是計算過程中有湊整、或者計算過程中進位或退位較少、又或者計算步驟較少、也不是在計算過程中運用運算定律或性質、更不是改變原來的運算順序。五、討論與猜想：1、猜想：運用簡便方法減少的可能是“必要計算”的次數。所謂一次“必要計算”指的是在豎式計算中找兩個10以內的數字對應的另一個數。這樣，兩個0到9的自然數集合中的任意兩個元素都可通過某種運算，在自然數集合里找到唯一的一個元素與此對應。設A=aaN，a10，B=bbN，b10：（a，b）ab= ab在加法豎式中，一個數與0對應另一個數不算一次“必要計算”，0與一個數對應另一個數也不算一次“必要計算”（加法滿足交換律）。 如果ab，（a，b）ab= ab；： 如果ab，（a，b）ab=10ab在減法豎式中，一個數與0對應另一個數不算一次“必要計算”， 0與一個數對應另一個數算一次“必要計算”（減法不滿足交換律）；：（a，b）ab= ab乘法豎式中，一個數與1對應另一個數不算一次“必要計算”， 1與一個數對應另一個數也不算一次“必要計算”（乘法滿足交換律），小數乘法算式中，每移動一次小數點算一次“必要計算”。除法豎式中的必要計算次數，按照商、乘、減、落的步驟依次計數。其中，“試商”的過程不計入“必要計算”。一個數與1對應另一個數不算一次“必要計算”，1和一個數對應另一個數要算“必要計算”（除法不滿足交換律）。小數除法算式中，每移動一次小數點算一次“必要計算”。如果在解題時將一個數進行分拆，例如在解2544時，將44分拆成411，那么這一過程“必要計算”的次數與411“必要計算”的次數相同。小數乘除法算式中，每移動一次小數點算一次“必要計算”。2、初步驗證：例如，列豎式計算245的步驟是，第一步商4，第二步用4乘5等于20，第三步是24減去20等于4，第四步商8，第五步8乘5等于40，第六步40減40等于0。根據定義，“必要計算”是第二步、第三步中的4減0、第五步以及第六步中的4減4，共計4次。不可否認，要計算“必要計算”的次數可并不簡便，幸好那不是學生要做的工作。希望能找到一種計算這個的簡便方法。那么，“必要計算”的次數較少的算法就簡單嗎？為此，我分別計算了一下“數據與分析”中的5道例題的“必要計算”的次數。例1：18.9（3.452.55）算法一的第一步是18.93.45，其“必要計算”為：9與5對應45，8與5對應40，5與4（進位）對應9， 9與4對應36，8與4對應32，2與3（進位）對應5，4與3（進位）對應7，9與3對應27，8與3對應24，4與2（進位）對應6，3與2（進位）對應5，最后加小數點移動三位的三步“必要計算”。第二步是18.92.55，其“必要計算”為：9與5對應45，8與5對應40，5與4（進位）對應9，9與5對應45，8與5對應40，5與4（進位）對應9，2與9對應18，2與8對應16，6與1（進位）對應7， 2與1（進位）對應3，最后加小數點移動三位的三步“必要計算”。第三步是65.20548.195，其“必要計算”為：5與5對應10，9與1（進位）對應10，2與1對應3，3與1（進位）對應4，8與5對應13，6與4對應10。共計33次。第五題算法二的第一步是3.452.55，其“必要計算”為：5與5對應10，4與5對應9，9與1（進位）對應10，3與2對應5，5與1（進位）對應6。第二步是18.96，其“必要計算”為：9與6對應54，8與6對應48，8與5（進位）對應13，4與1（進位）對應5，6與5（進位）對應11。共計10次。所以，第二種算法比第一種算法更簡單。例2：456145244算法一的第一步是456145，其“必要計算”為：6與5對應11，5與4對應9，9與1（進位）對應10，4與1對應5，5與1（進位）對應6。第二步是601244，其“必要計算”為：1與4對應5，6與2對應8，共計7次。第三題算法二的第一步是456244，其“必要計算”為：6與4對應10，5與4對應9，9與1（進位）對應10，4與2對應6，6與1（進位）對應7。第二步是700145，其“必要計算”為：7與1對應8，共計6次。6小于7，所以，第二種算法比第一種算法更簡單。例3：7121255算法一的第一步是71255，其“必要計算”為：2與5對應7，1與5對應6。第二步是76712，其“必要計算”為：7與2對應5， 6與1對應5，共計4次。第六題算法二的第一步是71212，其“必要計算”為：2與2對應0，1與1對應0。第二步是70055，沒有 “必要計算”，共計2次。所以，第二種算法比第一種算法更簡單。例4：165184454算法一的第一步是6518，其“必要計算”為：5與8對應40，6與8對應48，8與4（進位）對應12，4與1（進位）對應5， 2與5對應7，5與6對應11。第二步是4454，其“必要計算”為：4與4對應16，4與4對應16，4與5對應20，4與5對應20，1與2對應3。第三步是18001170，其“必要計算”為：8與1對應9，1與1對應2，第四步是29702376，其“必要計算”為：7與7對應14，3與9對應12，2與1（進位）對應3，2與2對應5，5與1（進位）對應6，共計18次。第四題算法二的第一步是553（分拆），其“必要計算”為：5與3對應15，5與3對應15，5與1（進位）對應6。第二步是318，其“必要計算”為：8與3對應24，3與2對應5。第三步是5544，其“必要計算”為：5與4對應9，5與4對應9。第四步是991，其“必要計算”為：9與1對應10，9與1（進位）對應10。第五步是540054其“必要計算”為：10與4對應6，10（退位）與1對應9，9與5對應4，4（退位）與1對應3。共計13次。13小于18，所以，第二種算法比第一種算法更簡單。例5：344659656算法一的第一步是344656，其“必要計算”為：4與6對應10，4與5對應9，9與1（進位）對應10，3與6對應9，9與1（進位）對應10。第二步是1000659，其“必要計算”為：0與9對應1， 0與1對應9，1（退位）與1對應0，9與5對應4，0與1對應9，1（退位）與1對應0，9與6對應3，共計12次。第二題算法二的第一步是659656，其“必要計算”為：9與6對應3，5與5對應0，6與6對應0。第二步是3443，其“必要計算”為：4與3對應1，共計4次。所以，第二種算法比第一種算法更簡單。六、主要結論與建議：運用簡便方法的特征并不是計算過程中有湊整、或者計算過程中進位或退位較少、又或者計算步驟較少、也不是在計算過程中運用運算定律或性質、更不是改變原來的運算順序。可以用“必要計算”的次數來比較兩種算法哪一種更為簡便。但隨之而來的問題是“學生一定要用產生必要計算次數最少的方法解題嗎？”還是“只要用的算法產生的必要計算次數比一般算法有所減少就行了”？這實際上涉及到統一的標準化的算法是每一個學生都必須掌握的定向技能目標，還是為學生提供一種思考上的方向？ 首先不應該要求每個學生的算法越多越好。我們鼓勵學生獨立思考，鼓勵學生用自己的方法解題，這樣在班級的群體中就有可能出現不同的算法。對于每個個體而言，由于他們的思維水平、認知結構和生活經驗的差異，每個學生的算法也就不一樣，每個學生可以選擇適合自己的方法。我們可以圍繞教學目標，鼓勵學生從不同的角度思考問題，使其在輕松愉悅的自然狀態下生成算法，算法能多樣化最好，如果只有一種或為數不多的幾種，也不要“逼”學生想其它的不同算法，而應關注于如何幫助學生理解內化這僅有的幾種算法。對于“必要計算”最少的算法是要引導學生理解掌握的，但絕不是灌輸給學生，而應該是在精心預設下的自然生成。我們應該尊重他們各自的不同算法，不要求每個學生片面追求多樣化的算法，尤其對后進生，避免他們產生畏難情緒。那么，學生是否一定要用產生“必要計算”次數最少的方法解題呢？新課標提倡算法多樣化的目的是讓學生得到個性化的發展，算法多樣化的可持續發展影響學生可持續個性化的發展。多樣化的方法肯定是簡單方法、繁瑣方法并存，老師引導學生算法多樣化，最終又優化成統一的算法，學生的算法在一路優化下，越來越少，在以后的課堂中，學生再不可能或很少出現多樣化的算法，方法逐漸趨于統一化、標準化。提倡算法多樣化的目標也就在不知不覺中夭折，學生也就談不上可持續的個性化發展。我們要肯定學生自主探索多樣化算法的精神，只要學生的精神矢志不渝，相信算法多樣化的路就會越走越寬。總之，在教學運算律等運算簡便方法時，我們要把教授技巧面向全體，課堂上盡最大努力幫助后進生，課后作業要求要一致，小結過程考察要統一，否則就是放棄后進生對此類的基本技能的學習，這對他們很不利。但