第五章 量子力學的表象變換與矩陣形式,量子態的不同表象， 幺正變換 力學量的矩陣表示 力學量的表象變換,5.1.1 坐標表象,通過坐標變換,以引進量子力學中的表象及表象變換的概念. 表象: 量子力學中的態和力學量的具體表示方式稱為表象.,平面上的任何一個矢量都可用它們來展開,（2）,A1和A2表示矢量A在兩個分量坐標上的投影。,5.1量子態的不同表象， 幺正變換,（3）,寫成矩陣的形式,（5）,R（）稱為變換矩陣元，是兩個坐標系基矢之間的標積。當R確定后，任何兩個坐標系之間的關系也就確定了。,其轉置矩陣表示為,（6）,變換矩陣R與其轉置矩陣之間的關系為,因為R=R，,（7）,5.1.2 Representation Theory (表象理論),一個粒子的態完全可由歸一化的波函數(r,t)來描述， 將(r,t)稱為坐標表象。下面將討論用動量為變量描述波函數。 將(r,t) 還可表示成,在整個動量空間積分。c(p,t)為展開系數， p(r )是動量的本征函數。,（11）,（12）,顯然， c(p,t)描述的粒子態與(r,t)描述的粒子態同樣完整。 已知c(p,t)，就可以求出(r,t)，反之也一樣。即c(p,t)和(r,t)描述的是粒子態同一個狀態。因此，將c(p,t)稱為粒子態的動量表象。,如果已知(r,t) 就可以通過上式得到c(p,t)，反過來也成立。,（13）,（14）,那么在動量表象中，坐標的平均值可以表示為,其它觀測量的平均值類似可表示出。,如果(x,t)描述的狀態是動量p的自由粒子的狀態,在動量表象中，具有確定動量p 的粒子波函數是函數。,例題：一維粒子運動的狀態是,解：由于波函數為歸一化，首先要對波函數進行歸一化,求1）粒子動量的幾率分布； 2）粒子的平均動量,動量的幾率分布為,動量的平均值為,考慮任意力學量Q本征值為1, 2, n,對應的正交本征函數 u1(x), u 2 (x), u n (x) , 則任意波函數（x）按Q的本征函數展開為,下標n表示能級，上式兩邊同乘以u*m(x), 并積分,粒子態完全由an完全集確定，即能量表象。,（16）,（17）,3. 能量表象,因為,所以,是對應力學量Q取不同能量本征值的幾率,可表示成一列矩陣的形式,其共軛矩陣為一行矩陣,因為波函數是歸一化的，表示成,例題1：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數,n=0:,n=1:,因為系統的波函數是正交歸一的波函數，表示為,直角坐標系中，矢量A的方向由i,j,k三個單位矢量基矢決定，大小由Ax,Ay,Az三個分量（基矢的系數）決定。,在量子力學中，選定一個F表象，將Q的本征函數u1(x), u2(x), un(x),看作一組基矢，有無限多個。大小由a1(t), a2(t), an(t),系數決定。 所以，量子力學中態矢量所決定的空間是無限維的空間函數，基矢是正交歸一的波函數。數學上稱為希爾伯特（Hilbert）空間.,常用的表象有坐標表象、動量表象、能量表象和角動量表象,總結,例題2 質量為m的粒子在均勻力場f(x)=-F(F0)中運動，運動范圍限制在x0, 試在動量表象中求解束縛態能級和本征函數。,解： 勢能為V（x）Fx， 總能量為,在動量表象中，x的算符表示為,定態的薛定諤方程,E可由貝塞爾函數解出，基態能級為,習題4.1 求在動量表象中角動量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元,解：Lx在動量表象中的矩陣元,第一項,第二項也可以導出，則Lx的矩陣元,4. 2算符的矩陣表示,設算符F有如下關系 ：,在Q表象中，Q的本征值分別為Q1，Q2，Q3，Qn, 對應的本征函數分別為u1(x), u2(x), un(x),.,將(x,t)和 (x,t)分別在Q表項中由Q的本征函數展開,代入上式，,兩邊同乘以u*n(x), 并在整個空間積分,利用本征函數un(x)的正交性,引進記號,（23）,矩陣Fnm的共軛矩陣表示為,因為量子力學中的算符都是厄米算符，,若在轉置矩陣中，每個矩陣元素用它的共軛復數來代替，得到的新矩陣稱為F的共軛矩陣,Fnm的轉置矩陣為,例如,例如,例題 （習題4.2）求一維無限深勢阱中粒子的坐標和動量在能量表象中的矩陣元,能量表象,如X在坐標空間中可表示為,動量p在動量空間中表示為,結論：算符在自身的表象中是一個對角矩陣,一維無限深勢阱能量表象中能量的矩陣元,一維諧振子能量表象中能量的矩陣元,兩個矩陣的和為兩個矩陣的分量之和。設C為兩矩陣之和 Cmn=AmnBmn （42）,兩矩陣之積,矩陣Fpp是動量空間。矩陣F（Fmnmn）稱為對角矩陣（diagonal matrix ）, 當Fmn=1, 稱為單位矩陣（unit matrix）,表示為I(mn).,在動量空間中，算符F的矩陣元,4.3 量子力學公式的矩陣表述,1. 平均值公式,寫成矩陣形式,（51）,簡寫為,例題 求一維無限深勢阱中，當n=1和n=2 時粒子坐標的平均值,解：,2. The Eigenvalue Problem,在量子力學中最重要的問題是找算符的本征值和本征函數。,首先，算符F的本征函數滿足,（54）,（55）,有非零解的條件是其系數行列式為零,（60）,這是一個線性齊次代數方程組,這是一個久期（secular）方程。將有1， 2 . n n個解,就是F的本征值。,例題： 求算符x在下面波函數中的本征值, -a,a區間,解：,則,3.矩陣形式的薛定諤方程 The Schrdinger Equation in Matrix Form,（81）,（82）,例題： 求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數,線性諧振子的總能量為,解法一：在動量表象中，x的算符表示為：,則H算符表示為,定態的薛定諤方程寫為,c（p）是動量表象中的本征函數,仿照一維諧振子坐標空間的求解方法可解出c(p)。,解法二,當n0時，,討論從一個表象變換到另一個表象的一般情況。 設算符A的正交歸一的本征函數1(r ) ， 2(r )， n(r ); 設算符B的正交歸一的本征函數1(r ) ， 2(r )， n(r );,（64）,（66）,1. Unitary Transformation（幺正變換）,確定Fmn與F之間聯系的轉換矩陣。,將算符B的本征函數(x)用算符A的本征函數n(x)展開。,（68）,同理,（70）,（71）,應用厄密共軛矩陣性質,得到算符在兩個表象中的變換矩陣,簡寫為,這就是力學量F從A表象變換到B表象的變換公式。,（72）,S與S+的積等于單位矩陣。即,SS+I, S+S-1,（74）,將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣, 由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換. 物理意義: 在不同的表象中幾率是守恒的。如果一個粒子在態n中的幾率為1， 在態n中的幾率為Sn2,那么, S12, S22, Sn2,給出粒子在態n中出現的幾率分布。下面的式子必定成立。,（75）,例題： 求轉動矩陣R(）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣.,解：設在A表象中,代入原方程，求解b1、b2,當,變換矩陣,下面討論態矢量 u(x,t)從A表象變換到B表象的公式,b=S+a,總結：幺正變換的性質,2）幺正變換下， 矩陣的跡（trace) 不變。用TrF表示，定義為矩陣的對角單元之和。那么,TrFA=TrFB, 矩陣的積不依賴于特別的表象。,5.4 狄喇克符號,在經典力學中，體系的運動規律與所選取的坐標是無關的，坐標是為了處理問題方便才引進的。 同樣，在量子力學中，粒子的運動規律與選取的表象無關，表象的選取是為了處理問題方便。,在經典力學中，常用矢量的形式討論問題，并不指明坐標系。 同樣，量子力學中描述態和力學量，也可以不用坐標系。 這樣一套符號稱為狄喇克符號。,1.右矢 (ket) 和左矢（bra） ,左矢 的共軛態矢。 的共軛態矢。,量子體系的一切可能的態構成一個Hilbert空間， Hilbert是一個以復量為基的一個有限的或無限的、完全的矢量空間。, ,一個量子態用右矢 來表示。例如用 表示波函數描述的狀態。,標積運算規則：,若 0，則稱正交。 若 1，則稱為歸一化態矢。,表示態矢是正交歸一的完備系,例題：軌道角動量l=rp，證明在lz的任何一個本征態下，lx和ly的平均值為零,證明：設m為lz=的本征態，屬于本征值狀態為m,因為對易關系,類似地，利用對易關系,可以證明,|A在Q表象中的分量為a1(t), a2(t), B|在Q表象中的分量為b1(t), b2(t),顯然，,若算符F的本征組態矢是正交歸一的，本征值分別為Fi,Fj,若算符F的本征態矢是連續譜，,2. 態矢在具體表象中的狄喇克表示方法,坐標x的本征態矢正交歸一的條件是，,動量p的本征態矢正交歸一的條件是，,波函數的歸一化性表示為,因為波函數（x,t）可以用一組基矢展開,因為,這種性質稱為本征值n的封閉性。,用狄喇克形式表示為,展開系數為,稱為投影算符或單位算符,在連續譜的情況下，求和應換為積分,例題：兩個態矢|A 和| B在同一個表象Q中的標記,3. 算符在具體表象中的狄喇克表示方法,設算符F存在如下關系,將態矢A、B分別在Q表象中展開,用|m左乘上式，再利用正交性,兩邊左乘以 k |,例題：對于（l2,lz）的共同本征態Ylm(,), 計算lx2 ly2的平均值，,對易關系,解：,由于,兩邊取復共軛,5.5 諧振子的升降算符,（44）,H多項式有如下關系存在,（46）,（45）,（44）與（47）式相加減，得,（48）,將稱為降冪算符(lowering operator), 將 + 稱為升冪算符.,由于本征值n是諧振子波函數的指數因子,因而我們定義一個數算符N(number operator),（52）,的本征值是n, 本征函數是n,（51）,2. Properties of the Operators and +,（52）,（54）,通過進行 +n運算,我們可以計算從基態開始的所有本征函數,（57）,兩式相加、減,由此可計算出能量本征值,例題 對于諧振子的能量本征態|n，計算x, p，x2，p2的平均值及x、p。,解：因為,利用正交性，同樣得到,利用正交性，得到,對于基態，n=0，剛好是測不準關系的下限,4. Interpretation of and +,我們知道諧振子的能量是等間隔的, n所具有的能量大于n, 將該能量分成n份，一份稱為聲子(phonons), 那么將n稱為n聲子態(n-phonon state),（66）,解釋: 如果 作用于波函數, 則湮滅(annihilate)了一個聲子, 因而稱為湮滅算符; +作用于函數, 則產生一個聲子, +產生算符.,由于,稱為聲子數算符(phonon number operator),（67）,諧振子波場中的量子正是聲子. 如果與光子相類比的話, 就更清楚了.,計算a,a+, a,a+a, a+,a+a,5.6力學量隨時間的演化,（1）,因為波函數和算符都是時間相關的， 則平均值也是時間相關的。,（2）,第一項表示算符L的瞬時偏導數的平均值， 第二項積分則利用,（3）,應用算符H的厄密性得到,H=E ,（4）,結論： 平均值隨時間的變化就等于 的平均值。,若 L 不顯含時間，即,（6）,如果,則,6.2 Ehrenfests Theorem,考慮坐標、動量的時間導數都不顯含時間，則下式成立,對其它分量， 有類似的成立。為了考察它們的對易性，我們考慮粒子在一個勢壘中，其哈密頓量為,位置和動量之間的關系與經典力學中的坐標與動量之間的關系一致。,形式與經典的牛頓方程相似。,對三維的位置和動量，有,這就是Ehrenfests theorem,6.3 Laws of Conservation,則該算符對時間的導數為零，其運動可視為常數, 即勻速運動。,如果一個算符本身不顯含時間， 即,它又與H對易，,算符H是總能量算符，顯然H與它本身對易。即使它顯含時間, 其運動仍為常量，這就是能量守恒定律。,勻速運動的算符對我們量子力學的進一步學習非常重要。,1. 守恒量,動量算符P不顯含時間，如果Vx=0, 則,稱為動量守恒定律.,對中心力, 勢能只是半徑r的函數, 角動量算符,與勢能V(r )對易。整個哈密頓量為,因此 有,角動量守恒定律成立。,還可得出,2. The Virial Theorem,位力定律是從動能算符和勢能的平均值得到的公式,既在經典力學中成立，又在量子力學中成立。在經典力學中，,的瞬時平均值在周期運動中為零。,時間導數,在量子力學中， 我們考慮,的表觀值。,最后一個等式證明如下,得到位力定律。,我們注意到，從 得到的結果一樣，因為它們都與H算符對易。如果是勢能為球對稱勢阱。有位力定理得到,對所有的n都成立,當然的表觀值存在.,The Schrdinger Representation,前面我們應用了與時間相關的態函數(r,t)描述物理系統的動力學演化，這樣，我們將不顯含時間 的力學量的平均值及幾率分布隨時間的演化，完全歸為波函數隨之間的演化。而力學量算符則不隨時間變化， 因而應用算符來描述不顯含時間的物理量，我們將這種描述方式稱為薛定諤表象或薛定諤圖像。,波函數和算符不是實際觀測的對象，實際觀測的對象為波函數的幾率分布和平均值的變化。,為了解釋這兩種不同的表象，我們有時也稱為圖像。我們來看算符L的矩陣元,在描述一個系統時，這兩個表象是完全等價的。它們有同樣的表觀值、同樣的譜。從一個