1、2012年全國高中數學聯賽一試參考答案及詳細評分標準一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分把答案填在題中的橫線上1.設是函數（）的圖像上任意一點，過點分別向直線和軸作垂線，垂足分別為，則的值是 2.設的內角的對邊分別為，且滿足，則的值是 .3.設，則的最大值是 .4.拋物線的焦點為，準線為，是拋物線上的兩個動點，且滿足設線段的中點在上的投影為，則的最大值是 .5設同底的兩個正三棱錐和內接于同一個球若正三棱錐的側面與底面所成的角為，則正三棱錐的側面與底面所成角的正切值是 6.設是定義在上的奇函數，且當時，若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 7.滿足的所有正整數的和是 8.某情

2、報站有四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機選用一種設第周使用種密碼，那么第周也使用種密碼的概率是 （用最簡分數表示）二、解答題：本大題共3小題，共56分解答應寫出文字說明、推理過程或演算步驟9.（本小題滿分16分）已知函數（1）若對任意，都有，求的取值范圍；（2）若，且存在，使得，求的取值范圍10.（本小題滿分20分）已知數列的各項均為非零實數，且對于任意的正整數，都有（1）當時，求所有滿足條件的三項組成的數列;（2）是否存在滿足條件的無窮數列，使得若存在，求出這樣的無窮數列的一個通項公式；若不存在，說明理由11.（本小題滿分20分）如圖，

3、在平面直角坐標系中，菱形的邊長為，且（1）求證：為定值；（2）當點A在半圓（）上運動時，求點的軌跡2012年全國高中數學聯賽加試試題一、（本題滿分40分）如圖，在銳角中，是邊上不同的兩點，使得設和的外心分別為，求證：三點共線。二、（本題滿分分）試證明：集合滿足（1）對每個，及，若，則一定不是的倍數；（2）對每個（其中表示在 中的補集），且，必存在，使是的倍數三、（本題滿分分）設是平面上個點，它們兩兩間的距離的最小值為求證：四、（本題滿分分）設，是正整數證明：對滿足的任意實數，數列中有無窮多項屬于這里，表示不超過實數的最大整數參考答案及詳細評分標準2012年全國高中數學聯賽一試一、填空題1. 【

4、答案】-1【解析】方法1:設則直線的方程為即由又所以故2. 【答案】4【解析】由題設及余弦定理得,即故.3. 【答案】【解析】不妨設則因為所以當且僅當時上式等號同時成立.故4. 【答案】1【解析】由拋物線的定義及梯形的中位線定理得在中,由余弦定理得當且僅當時等號成立.故的最大值為1.5. 【答案】4【解析】如圖.連結,則平面,垂足為正的中心,且過球心,連結并延長交于點,則為的中點,且,易知分別為正三棱錐的側面與底面所成二角的平面角,則,從而,因為所以即所以,故6. 【答案】【解析】由題設知,則因此,原不等式等價于因為在上是增函數,所以即又所以當時,取得最大值因此,解得故的取值范圍是7. 【答案

5、】33【解析】由正弦函數的凸性,有當時,由此得所以故滿足的正整數的所有值分別為它們的和為.8. 【答案】【解析】用表示第周用種密碼的概率,則第周末用種密碼的概率為.于是,有,即由知，是首項為，公比為的等比數列。所以，即，故二、解答題9. 【解析】(1)令則分對任意,恒成立的充要條件是分(2)因為所以所以分因此于是,存在,使得的充要條件是故的取值范圍是分10. 【解析】(1)當時, ,由得.當時,由得或5分當時,若得或;若得;綜上,滿足條件的三項數列有三個:1,2,3或1,2,-2或1,-1，110分(2)令則從而兩式相減,結合得當時,由(1)知;當時,即所以或15分又所以20分11. 【解析】

6、因為所以山的共線5分如圖,連結,則垂直平分線段,設垂足為,于是有(定值) 10分(2)設其中則.因為所以15分由(1)的結論得所以從而故點的軌跡是一條線段,其兩個端點的坐標分別為20分2012年全國高中數學聯賽加試試題一、【解析】證明：如圖.連接,過點作的垂線交的延長線于點,則是的外接圓的切線.因此10分因為所以20分因而是的外接圓的切線30分故所以三點共線。40分二、【解析】證明:對任意的,設則如果是任意一個小于的正整數,則10分由于與中,一個為奇數,它不含素因子,另一個是偶數,它含素因子的冪的次數最多為,因此一定不是的倍數；20分若,且設其中為非負整數,為大于的奇數,則30分下面給出(2)

7、的三種證明方法:證法一:令消去得由于這方程必有整數解;其中為方程的特解.把最小的正整數解記為則,故使是的倍數40分證法二:由于由中國剩余定理知,同余方程組在區間上有解即存在使是的倍數40分證法三:由于總存在使取使則存在使此時因而是的倍數40分三、【解析】證法一:不妨設先證明:對任意正整數,都有顯然, 對均成立,只有時右邊取等號10分所以,只要證明當時,有即可.以為圓心,為半徑畫個圓,它們兩兩相離或外切;以圓心，為半徑畫圓，這個圓覆蓋上述個圓20分所以30分由易知40分所以對時也成立.綜上,對任意正整數都有.因而50分證法二: 不妨設以為圓心,為半徑畫個圓,它們兩兩相離或外切; 10分設是是圓上任意一點,由于20分因而,以為圓心, 為半徑的圓覆蓋上述個圓30分故40分所以50分四、【解析】證法一:(1)對任意,有10分令則20分又令,則因此存在使得所以30分不然一定存在使得因此這與矛盾.所以一定存在使得40分(2)假設只有有限個正整數使得令則則不存在使得這與（1）的結論矛盾.所以數列中有無窮多項屬于.終上所述原命題成立50分證法二:(1) 10分因此,當充分大時,可以大于如