山西省大同市常青中學校等校聯考2024?2025學年高一下學期3月月考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．若復數，則（

）A．2 B． C．10 D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，，若，則（

）A． B． C． D．4．已知，，，則（

）A． B． C． D．5．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（

）A． B． C． D．6．如圖，為了測量M，N兩點之間的距離，某數學興趣小組的甲、乙、丙三位同學分別在N點、距離M點600米處的P點、距離P點200米處的G點進行觀測．甲同學在N點測得，乙同學在P點測得，丙同學在G點測得，則M，N兩點間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米7．如圖，某八角樓空窗的邊框呈正八邊形．已知正八邊形的邊長為4，O是線段的中點，P為正八邊形內的一點（含邊界），則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知，，且，，則（

）A．1 B．3 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則10．已知，均為復數，且，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則是實數C．若，則是純虛數 D．若，則11．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等腰三角形B．若，則是銳角三角形C．若，，則面積的最大值為D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量與的夾角為，且，，則在上的投影向量為．13．已知，則的值為．14．在中，D是的中點，點E滿足，與交于點O，則的值為；若，則的值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知，復數．(1)若z在復平面內對應的點位于第四象限，求的取值范圍；(2)若z滿足，，求的值．16．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求的值；(2)若，的面積為，求邊上的高．17．已知二次函數滿足，函數滿足，且不等式的解集為．(1)求的解析式；(2)若關于x的不等式對任意的恒成立，求實數m的取值范圍．18．如圖，在梯形中，，，，E、F分別為、的中點，且，P是線段上的一個動點．(1)若，求的值；(2)求的長；(3)求的取值范圍．19．定義：若非零向量，函數的解析式滿足，則稱為的伴隨函數，為的伴隨向量．(1)若向量為函數的伴隨向量，求；(2)若函數為向量的伴隨函數，在中，，，且，求的值；(3)若函數為向量的伴隨函數，關于x的方程在上有且僅有四個不相等的實數根，求實數m的取值范圍．

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，所以.故選D.2．【答案】C【詳解】集合，，當時，，當時，，當時，，當時，，所以.故選C.3．【答案】A【詳解】向量，，由，得，所以.故選A.4．【答案】B【詳解】依題意，，所以.故選B.5．【答案】A【詳解】在中，由，得，由正弦定理得，所以.故選A.6．【答案】C【詳解】由，得，而，，由余弦定理得（米）.故選C.7．【答案】B【詳解】如圖過點作直線，交于點，因，又，則，而即在直線上投影的數量，要使取最大值，則需使在直線上投影的數量最大，由圖知，當點與點或重合時投影向量的數量最大.因，由對稱性知，，在中，，因，解得，則，故的最大值為.故選B.8．【答案】D【詳解】令，則在定義域上單調遞增.則，，所以，則有，故.故選D.9．【答案】BD【詳解】向量為矢量，既有大小又有方向，不等比較大小，故A錯誤；相等向量的方向與大小都相同，所以也共線，也具有傳遞性，故BD正確；當時，向量不一定共線，故C錯誤.故選BD.10．【答案】ABC【詳解】因為，，所以，故A正確；設，則，所以，故B正確；設，則，所以，解得，所以是純虛數，故C正確；，則但，故D錯誤.故選ABC.11．【答案】BC【詳解】對于A，由及正弦定理得，即，則或，即或，是等腰或直角三角形，A錯誤；對于B，由，得，則是的最大內角，又，則，為銳角，是銳角三角形，B正確；對于C，由，及余弦定理得，當且僅當時取等號，因此，C正確；對于D，取，滿足，而，則，即，D錯誤.故選BC.12．【答案】【詳解】由題意可得在上的投影向量為.13．【答案】【詳解】，.14．【答案】【詳解】在中，由，得，則，令，又D是的中點，則，而共線，因此，解得，所以；，于是，所以.15．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）復數在復平面內對應的點為，由z在復平面內對應的點位于第四象限，得，解得，所以的取值范圍是.（2）依題意，，又，則，解得，，所以.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由和余弦定理，可得：，化簡得，則得，故；（2）由可得，由（1）已得，解得，由余弦定理，，解得，設邊上的高邊上的高為，則由，解得，故邊上的高為.17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，得，則，由二次函數滿足，設，不等式，即，依題意，是方程的二實根，且，于是，解得，所以的解析式為.（2）由（1）知，，不等式，依題意，不等式對任意的恒成立，而，，當且僅當，即時取等號，因此，解得，所以實數m的取值范圍是.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由分別為的中點，則，，由圖可得，則，所以.（2）由（1）可知，，由，則，，可得，解得.（3）由圖可得，，，由，則.19．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因，則，故.（2）依題意，，由可得，因，則，故，解得因，則，又，代入解得①，由正弦定理，，可得，代入①