2022年吉林中考數學試題及答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.圖是由5個相同的小正方體組合而成的立體圖形，其主視圖是（）

正面

【答案】A

【解析】

【分析】根據三視圖的概念，從正面看到的圖形就是主視圖，再根據小正方體的個數和排列進行作答即可.

【詳解】正面看，其主視圖為：

故選：A.

【點睛】此題主要考查了簡單組合體的三視圖，俯視圖是從上面看所得到的圖形，主視圖是

從正面看所得到的圖形，左視圖時從左面看所得到的圖形，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

2.長春軌道客車股份有限公司制造的新型奧運版復興號智能動車組，車頭采用鷹隼形的設計，能讓性能大

幅提升，一列該動車組一年運行下來可節省約1800000度電，將數據1800000用科學記數法表示為（）

A.18xlO5B.1.8xlO6C.1.8xlO7D.0.18xl07

【答案】B

【解析】

【分析】科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其中〃為整數.確定〃的值時，要看把原

數變成a時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>10時，〃是正數；

當原數的絕對值<1時，〃是負數.

詳解】解：1800000=1.8X10'\

故選:B.

【點睛】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其中〃

為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

3.不等式x+2>3的解集是（）

A.x<1B.x<5C.x>1D.x>5

【答案】c

【解析】

【分析】直接移項解一元一次不等式即可.

【詳解】x+2>3,

x>3—2,

x>l,

故選：C.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵.

4.實數a,。在數軸上對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（）

ab

__I_____I?I____I_____I____I?I?

-3-2-10123

A.a>0B.a<bC.b-l<0D.ab>0

【答案】B

【解析】

【分析】觀察數軸得：一2<。<—1<2<。<3,再逐項判斷即可求解.

【詳解】解：觀察數軸得：一2<。<一1<2<人<3,故A錯誤，不符合題意；B正確，符合題意；

.??人一1>0,故C錯誤，不符合題意；

：.ab<0,故D錯誤，不符合題意；

故選:B

【點睛】本題主要考查了實數與數軸，實數的大小比較，利用數形結合思想解答是解題的關鍵.

5.如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點4

變幅索的底端記為點且AO垂直地面，垂足為點。,BCVAD,垂足為點C.設Z4BC=a,下列關系

式正確的是（

,ABAB

A.sina=----B.D.=

BCABACAB

【答案】D

【解析】

【分析】根據正弦三角函數的定義判斷即可.

【詳解】?:BC1AC,

是直角三角形,

,/AABOa,

AB

故選:D.

【點睛】本題考查了正弦三角函數的定義.在直角三角形中任意銳角N4的對邊與斜邊之比叫做的正弦,

記作sinZA掌握正弦三角函數的定義是解答本題的關鍵.

6.如圖，四邊形A8C0是C0的內接四邊形.若N3CZ）=121。，則的度數為（）

A.138°B.121°C.118°I).1120

【答案】C

【解析】

【分析】由圓內接四邊形的性質得NA=59°,再由圓周定理可得N6O￡）=2NA=118。.

【詳解】解：???四邊形ABCD內接于圓0,

ZA+ZC=180°

"8=121。

AZA=59°

ZBQD=2ZA=118°

故選：C

【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質和圓周角定理，熟練掌握相關性質和定理是解答本題的關鍵

7.如圖，在-ABC中，根據尺規作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）

A.AF=BFB.AE^-AC

2

C.NDBF+NDFB=90。D.ZBAF=ZEBC

【答案】B

【解析】

【分析】根據尺規作圖痕跡，可得如垂直平分45,BE是NA5C的角平分線，根據垂直平分線的性質和角

平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質進行判斷即可.

【詳解】根據尺規作圖痕跡，可得分垂直平分48,BE是NABC的角平分線，

AF=BF,ZBDF=90°,ZABF=ZCBE,

：.ZABF=ZBAF,ZDBF+ZDFB=90°,

ZBAF=NEBC,

綜上，正確的是A、C、D選項，

故選:B.

【點睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質，角平分線的定義，直角三角形兩

銳角互余，等邊對等角的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

8.如圖，在平面直角坐標系中，點一在反比例函數y=&（左>0,x>0）的圖象上，其縱坐標為2,過

x

點？作尸?！▂軸，交X軸于點0,將線段QP繞點0順時針旋轉60°得到線段QM.若點〃也在該反比例

函數的圖象上，則％的值為（）

B.GC.2百I).4

【答案】C

【解析】

【分析】作物CLx軸交于點M分別表示出〃乂出Y利用在值的幾何意義列式即可求出結果.

【詳解】解：作物Kx軸交于點兒如圖所示,

???。點縱坐標為：2,

.?，點坐標表示為：（&，2）,P岸2,

2

由旋轉可知：Q后P午2,/河滬60°,

二/,小30°,

=\,QM乖,,

：.ON?MN=k,

Lr-

即：一+6=3

2

解得：k=2y/3>

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是左的幾何意義，表示出對應線段是解題的關鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

9.分解因式：nT+3m=____.

【答案】加(加+3)

【解析】

【分析】原式提取公因式次即可得到結果.

【詳解】解：in2+3m-m(m+3)

故答案為：m(m+3).

【點睛】本題主要考查了提公因式分解因式，正確找出公因式是解答本題的關鍵.

10.若關于x的方程f+x+c=o有兩個相等的實數根，則實數c的值為.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根據方程Y+x+c=O有兩個相等的實數根，可得△=(),計算即可.

【詳解】關于x的方程f+x+c=O有兩個相等的實數根，

/.A=l2-4xlc=0-

解得c=；,

4

故答案為：一.

4

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，即一元二次方程有兩個不相等的實數根時，△>()；有兩個

相等的實數根時，△=()；沒有實數根時，J<0；熟練掌握知識點是解題的關鍵.

11.《算法統宗》是中國古代重要的數學著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客

多七客，一房九客一房空.其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可?。蝗裘块g住9

人，則余下一間無人住，設店中共有x間房，可求得x的值為.

【答案】8

【解析】

【分析】設店中共有x間房，根據“今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可?。蝗裘块g住9

人，則余下一間無人住”可列一元一次方程，求解即可.

【詳解】設店中共有X間房，

由題意得，7x+7=9(x-l),

解得x=8,

所以，店中共有8間房，

故答案為：8.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，準確理解題意，找到等量關系是解題的關鍵.

12.將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點與量角器的中心0重合，且

兩條直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于48兩點.若。4=5厘米，則AB的長度為厘米.(結

果保留兀)

【答案】*4##2.5萬

2

【解析】

【分析】直接根據弧長公式進行計算即可.

【詳解】NAO8=9()o,OA=5cm,

90x%x55

AB=--7rem,

1802

故答案為：一冗.

2

【點睛】本題考查了弧長公式，即/=——，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

180

13.跳棋是一項傳統的智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC

和等邊三角形DE戶組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若A6=27厘米，則這個正六邊形的周

長為.厘米.

【答案】54

【解析】

【分析】設四交庚、FD與點M、A；AC交EF、切于點G、"BC交FD、切于點0、P,再證明△川媒XANG、

△8"、IXDOP、/\CPH、△￡G7/是等邊三角形即可求解.

【詳解】設四交跖外與點M、N,AC交EF、￡9于點6、H,BC交FD、ED千點、0、P,如圖，

?六邊形MNGHP0是正六邊形,

創華乙愉=120°,

：.4FN后4FN后60°,

二△媳你是等邊三角形，

同理可證明4BM0、/XDOP.XCPH、△斂/是等邊三角形,

NG=AN,OP-PD,GH=HE,

:.NM冊MO-AN^麗B拒AB,GIRP小OP-HE+P小PD-DE,

,：等邊△力伙運等邊△廢尸，

AB=DE,

AB=21cm,

〃氏27cm,

.,.正六邊形秘V6W的周長為：%片4京妙54cm,

故答案為：54.

【點睛】本題考查了正六邊的性質、全等三角形的性質以及等邊三角形的判定與性質等知識，掌握正六邊

的性質是解答本題的關鍵.

14.已知二次函數y=-d-2x+3,當成!k3時，函數值y的最小值為1,則a的值為.

【答案】-1-6##-百-1

【解析】

【分析】先把函數解析式化為頂點式可得當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而

減小，然后分兩種情況討論：若。2-1；若即可求解.

【詳解】解：y=-/一2%+3=-（％+1『+4,

.,?當X<-1時，y隨x的增大而增大，當%>-1時，y隨x的增大而減小，

若當成心，時，y隨x的增大而減小，

2

17

此時當x=一時，函數值了最小，最小值為一，不合題意，

24

若a<-1,當％時，函數值y最小，最小值為1,

??—a2—2a+3=l>

解得：&=-1一百或-i+百（舍去）；

綜上所述，a的值為-1-百.

故答案為：-1-V3

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.先化簡，再求值：（2+a）（2-a）+a（a+l）,其中a=0—4.

【答案】4+a,V2

【解析】

【分析】根據平方差公式與單項式乘以單項式進行計算，然后將”=血-4代入求值即可求解.

【詳解】解：原式=4一〃2+。2+。

=4+。

當“=&-4時，原式=4+&-4=后

【點睛】本題考查了整式的混合運算，實數的運算，代數式求值，正確的計算是解題的關鍵.

16.拋擲一枚質地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結果：“出現正面”或“出現反面”.正面朝上記2分，

反面朝上記1分.小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次分數之和不大于3的概

率.

3

【答案】-

4

【解析】

【分析】采用列表法列舉即可求解.

【詳解】根據題意列表如下：

??次

12

第二

123

234

由表可知，總的可能結果有4種，兩次之和不大于3的情況有3種，

3

故所求概率為：3+4=—，

4

即兩次分數之和不大于3的概率為』.

4

【點睛】本題考查r用列表法或者樹狀圖法列舉求解概率的知識，掌握用列表法或者樹狀圖法列舉求解概

率是解答本題的關鍵.

17.為了讓學生崇尚勞動，尊重勞動，在勞動中提升綜合素質，某校定期開展勞動實踐活動.甲、乙兩班

在一次體驗挖土豆的活動中，甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土豆所用的時間相同.已知甲班平

均每小時比乙班多挖100千克土豆，問乙班平均每小時挖多少千克土豆？

【答案】乙班每小時挖400千克的土豆

【解析】

【分析】設乙班每小時挖x千克的土豆，則甲班每小時挖（100+x）千克的土豆，根據題意列出分式方程即可

求解.

【詳解】設乙班每小時挖x千克的土豆，則甲班每小時挖（100+x）千克的土豆，

15001200

根據題意有:

x+100x

解得：產400,

經檢驗，產400是原方程的根,

故乙班每小時挖400千克的土豆.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，明確題意列出分式方程是解答本題的關鍵.

18.如圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1,其頂點稱為格點，-ABC的

頂點均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡.

(1)網格中一ABC的形狀是一；

(2)在圖①中確定一點。，連結08、DC，使△￡>8C與.ABC全等：

(3)在圖②中一ABC的邊8C上確定一點瓦連結AE，使△ABESMBA：

(4)在圖③中二ABC的邊A3上確定一點R在邊比1上確定一點。，連結尸Q,使△PBQ-AABC,且相

似比為1：2.

【答案】(1)直角三角形

(2)見解析(答案不唯一)

(3)見解析(4)翔解析

【解析】

【分析】(1)運用勾股定理分別計算出AB,AC,BC的長，再運用勾股定理逆定理進行判斷即可得到結論;

(2)作出點A關于BC的對稱點D,連接BD,CD即可得出△O8C與二ABC全等：

(3)過點A作AE1BC于點E,則可知/^ABEs^CBA：

(4)作出以AB為斜邊的等腰直角三角形，作出斜邊上的高，交AB于點P,交BC于點Q,則點P,Q即為

所求.

【小問1詳解】

?/AB2=42+22=20,AC2=22+12=5,BC2=5?=25

，AB2+AC2=BC2,

....ABC是直角三角形,

故答案為：直角三角形；

【小問2詳解】

如圖，點D即為所求作，使△DBC與ABC全等:

【小問3詳解】

如圖，點P,Q即為所求，使得△P8QS"BC,且相似比為1：2.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定，相似

三角形的判定，熟練掌握相關定理是解答本題的關鍵.

19.如圖，在應A5C中，ZABC^9Q°,AB<BC.點〃是AC的中點，過點。作。EL4c交8C于

點E延長ED至點F，使得=連接AE、AF>CF.

AF

\\

BEC

(1)求證：四邊形AEC尸是菱形；

BE1

(2)若——=—，則tanZBCF的值為_______.

EC4

【答案】(1)見解析(2)后

【解析】

【分析】(1)根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證；

(2)設則EC=4a,根據菱形的性質可得A￡=EC=4a,AE//FC,勾股定理求得A8,

AD

根據N3CF=N5E4,tanZBCF=tanZBEA=——，即可求解.

BE

【小問1詳解】

證明：AD=DC,DE=DF>

...四邊形AEC尸是平行四邊形，

?：DEIAC,

四邊形AECR是菱形；

【小問2詳解】

立BE1

加牛：----=——，

EC4

設8￡=a,則￡C=4a,

四邊形AEC尸是菱形；

;.AE=EC=4a,AE//FC,

NBCF=NBEA,

在RtAABE中，AB=JAE?-BE?=皿/一/=后4,

???tanZBCF=tanZBEA=—==，

BEa

故答案為：V15?

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質，勾股定理，求正切，掌握以上知識是解題的關鍵?

20.黨的十八大以來，我國把科技自立自強作為國家發展的戰略支撐，科技事業發生了歷史性、整體性、

格局性變化，成功跨入創新型國家的行列，專利項目多項指數顯著攀升?如圖是長春市2016年到2020年

(1)長春市從2016年到2020年，專利授權量最多的是年：

(2)長春市從2016年到2020年，專利授權量年增長率的中位數是;

(3)與2019年相比，2020年長春市專利授權量增加了件，專利授權量年增長率提高了個

百分點；(注：1%為1個百分點)

(4)根據統計圖提供的信息，有下列說法，正確的畫“，”，錯誤的畫“X”.

①因為2019年的專利授權量年增長率最低，所以2019年的專利授權量的增長量就最小?()

②與2018年相比，2019年的專利授權量年增長率雖然下降，但專利授權量仍然上升.這是因為專利授權量

年增長率=當年壽.利授權里二，利授權單X100%,所以只要專利授權量年增長率大于零，當年

上一年專利授權量

專利授權量就一定增加.()

③通過統計數據，可以看出長春市區域科技創新力呈上升趨勢，為國家科技自立自強貢獻吉林力量?()

【答案】(1)2020

(2)18.1%(3)5479,30.2

(4)①X,②J,③J

【解析】

【分析】(1)觀察統計圖可得專利授權量最多的是2020年，即可求解；

(2)先把專利授權量年增長率從小到大排列，即可求解；

（3）分別用2020年長春市專利授權量減去2019年長春市專利授權量，2020年專利授權量年增長率減去

2019年專利授權量年增長率，即可求解；

（4）①根據題意可得2017年的的專利授權量的增長量低于2019年的，可得①錯誤；②根據專利授權量年

當年專利授權量—上一年專利授權量

增長率=；二二X100%,可得②正確：③觀察統計圖可得從2016年到

上一年專利授權量

2020年，每年的專利授權量都有所增加，可得③正確，即可求解.

【小問1詳解】

解：根據題意得：從2016年到2020年，專利授權量最多的是2020年；

故答案為:2020

【小問2詳解】

解:把專利授權量年增長率從小到大排列為：為.8%,16.0%,18.1%,25.4%,46.0%,

位于正中間的是18.1%,

專利授權量年增長率的中位數是18.1%；

故答案為：18.1%

【小問3詳解】

解：與2019年相比,2020年長春市專利授權量增加了17373-11894=5479件;

專利授權量年增長率提高了46.0%-15.8%=30.2%,

專利授權量年增長率提高了302個百分點；

故答案為:5479,30.2

【小問4詳解】

解：①因為2017年的專利授權量的增長量為8190-7062=1128件；2019年的專利授權量的增長量

11894-10268=1626件,

所以2019年的專利授權量的增長量高于2017年的專利授權量的增長量，故①錯誤；

故答案為：X

當年專利授權量-上一年專利授權量

②因為專利授權量年增長率=xlOO%,

上一年專利授權量

所以只要專利授權量年增長率大于零，當年專利授權量就一定增加，故②正確;

故答案為：V

根據題意得：從2016年到2020年，每年的專利授權量都有所增加，

所以長春市區域科技創新力呈上升趨勢，故③正確；

故答案為：J

【點睛】本題主要考查了折線統計圖和條形統計圖，理解統計圖中數據之間的關系是正確解答的關鍵.

21.己知4、8兩地之間有一條長440千米的高速公路.甲、乙兩車分別從山△兩地同時出發，沿此公路

相向而行，甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續勻速行駛4小

時到達6地；乙車勻速行駛至4地，兩車到達各自的目的地后停止.兩車距4地的路程y（千米）與各自的

行駛時間x（時）之間的函數關系如圖所示.

（2）求兩車相遇后，甲車距/地的路程y與x之間的函數關系式；

（3）當乙車到達4地時，求甲車距4地的路程.

【答案】（1）2.6（2）甲車距4地的路程y與x之間的函數關系式y=60x+80

（3）300千米

【解析】

【分析】（1）先根據甲乙兩車相遇時甲車行駛的路程除以速度可求出山的值，再用必的值加4即可得〃的

值；

（2）由（1）得（2,200）和（6,440）,再運用待定系數法求解即可；

（3）先求出乙車的行駛速度，從而可求出行駛時間，代入函數關系式可得結論.

【小問1詳解】

根據題意得，加=200+100=2（時）

n=m+4=2+4=6（時）

故答案為：2.6；

【小問2詳解】

由（1）得（2,200）和（6,440）,

設相遇后，甲車距/地的路程y與x之間的函數關系式為y=丘+。

2%+6=200

則有:

6%+萬=440

k=60

解得,

工=80

甲車距A地的路程y與x之間的函數關系式y=60x+80

【小問3詳解】

甲乙兩車相遇時，乙車行駛的路程為440-200=240千米，

，乙車的速度為：240+2=120（千米/時）

.?.乙車行完全程用時為：440+120=?（時）

3

11°

'：—>2

3

.?.當》=!1時，y=60xU+80=300千米，

33

即：當乙車到達力地時，甲車距｛地的路程為300千米

【點睛】本題主要考查了一次函數的應用，讀懂圖象是解答本題的關鍵.

22.【探索發現】在一次折紙活動中，小亮同學選用了常見的力4紙，如圖①，矩形ABCD為它的示意圖.他

查找了加紙的相關資料，根據資料顯示得出圖①中=他先將加紙沿過點/的直線折疊，使

點6落在AD上，點8的對應點為點￡，折痕為"；再沿過點尸的直線折疊，使點。落在所上，點C

的對應點為點〃，折痕為FG：然后連結4G,沿AG所在的直線再次折疊，發現點〃與點尸重合，進而猜

圖①圖②

【問題解決】

（1）小亮對上面△ADG也AAFG的猜想進行了證明，下面是部分證明過程:

證明：四邊形ABC。是矩形，

NBAD=NB=NC=ZD=90。.

由折疊可知，ZBAF=-ZBAD=45°,ZBFA=ZEFA.

2

ZEFA=ZBFA=45°.

，AF=s[2AB=AD-

請你補全余下的證明過程.

【結論應用】

(2)NZMG的度數為度，型的值為；

AF

(3)在圖①的條件下，點尸在線段A尸上，且AP=；A3,點0在線段4G上，連結FQ、PQ,如圖②，

設筋=a,則FQ+PQ的最小值為..(用含a的代數式表示)

【答案】(1)見解析(2)22.5°,V2-1.

⑶旦

2

【解析】

【分析】(1)根據折疊的性質可得49=〃；ZAFG=ZD=90°,由應可證明結論；

(2)根據折疊的性質可得ND4G=，ND4F=22.5°;證明AGCT7是等腰直角三角形，可求出”的長,

2

從而可得結論；

(3)根據題意可知點b與點〃關于4G對稱，連接陽，則如為即國最小值，過點尸作用比4〃，求出

琢力廬迎。，求出力?，根據勾腰定理可得結論.

4

【小問1詳解】

證明：四邊形ABC。矩形，

:.ZBAD=ZB=ZC=Z￡>=90°.

由折疊可知，NBAF=L/BAD=45。,ZBFA^ZEFA.

2

:.NEFA=NBFA=45°.

?*-AF=?AB=AD.

由折疊得，ZCFG=ZGFH=45°,

：.ZAFG=ZAFE+ZGFE=450+45°=90°

...ZAFG=NO=90°

XAI^AF,AG=AG

△ADGm4AFG

【小問2詳解】

由折疊得，ZBAF=ZEAF,

又NB4E+/E4尸=90"

ZEAF=-NBAE=-x90°=45°,

22

由AADG^AAFG得，ZDAG=ZFAG=-NFAD=-x450=22.5°,

22

ZAFG=ZADG=90°,

又NAfB=45°

/.ZGFC=45°,

二ZFGC=45",

：.GC=FC.

設AB=x,則BF=x,AF=y[lx=AO=BC,

FC=BC-BF=yflx-x=(V2-l)x

GF=?FC=Q-6X

工史好n.

AFy/2x

【小問3詳解】

如圖，連接尸D,

DG=FG

.?“G是必的垂直平分線，即點尸與點〃關于力G軸對稱,

連接PD交”于點Q,則小修的最小值為陽的長；

過點一作PR上AD交4〃于點R,

ZDAF=/LBAF=45°

=45°.

，AR=PR

2

又AR2+PR2=AP1=（^）2=y

，AR=PR^—a,

4

，DR=AD-AR=y/2a--a=-y/2a

44

在Rf/SJDPR中,DP2=AR2+PR2

?*-DP=\lAR2+PR2=J哼a）2+（竽a）2=^a

PQ+/Q的最小值為亞a

2

【點睛】本題主要考查了折疊的性質，全等三角形的判定與性質，最短路徑問題，矩形的性質以及勾股定

理等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解答本題的關鍵.

23.如圖，在uABCO中，A?=4，AD=BD=9,點"為邊A3的中點，動點。從點/出發，沿折

線以每秒萬個單位長度的速度向終點8運動，連結PM.作點/關于直線的對稱點A'，

連結AP、A'M.設點戶的運動時間為￡秒.

（1）點〃到邊AB的距離為

（2）用含f的代數式表示線段0P的長；

（3）連結AD，當線段最短時，求△￡>%'的面積；

（4）當欣4、C三點共線時，直接寫出2的值.

【答案】（1）3（2）當OWtWl時，0P=舊一疝；當1<￡W2時，PD=M-岳;

⑶-

5

,“、2T20

（4）一或一

311

【解析】

【分析】（1）連接ZW,根據等腰三角形的性質可得加吐/6,再由勾股定理，即可求解；

（2）分兩種情況討論：當0W聯W1時，點？在4。邊上；當l<tW2時，點？在胡邊上，即可求解；

（3）過點。作/肛01/于點發根據題意可得點/運動軌跡為以點M為圓心，4%長為半徑的圓，可得到當

點。、HM三點共線時，線段AO最短，此時點尸在4?上，再證明△&旅可得

2

DE=3-3t,PE=2-2t,從而得到A'E=OE—40=2—3/,在Rf.A'PE中，由勾股定理可得r=—,

5

即可求解；

（4）分兩種情況討論：當點A'位于〃、C之間時;此時點?在加上；當點A'（A"）位于C"的延長線上

時，此時點戶在眼上，即可求解.

【小問1詳解】

解:如圖，連接掰

'：AB=4,4。=80=店，點"為邊A3的中點,

：.AM=BM=2,DMVAB,

,DM=飛AD?-AM?=3，

即點〃到邊43的距離為3；

故答案為：3

【小問2詳解】

解：根據題意得：當0W/W1時，點尸在在邊上,

DP=A-屈t;

當1<CW2時，點尸在切邊上，PD=At-岳;

綜上所述，當OWtWl時，DP=A-岳t;當l<tW2時，PD=^t-屆;

【小問3詳解】

解：如圖，過點P作*〃"于點反

?作點A關于直線PM的對稱點A!，

：.A'M=AM=2,

點A的運動軌跡為以點"為圓心，4"長為半徑的圓，

...當點〃、三點共線時，線段AO最短，此時點一在49上,

二4。=1，

根據題意得：A'P=AP=V13Z，DP=A-岳t，

由（1）得：DMLAB,

,：PELDM,

J.PE//AB,

:ZDEs^ADM,

.PDDEPE

"AD-DM-AM'

.屈-岳tDEPE

岳32

解得：DE=3—3t,PE=2—2t,

：.A!E=DE-AD=2-3t,

在RfAPE中，A'P2=PE2+A'E2>

???（屈。2=（2—2f『+（2—3f）2,解得：f=g,

:.PE=-,

5

SDPA'=-A'DPE=-xlx-=~；

DPA2255

【小問4詳解】

解：如圖，

當點收4、C三點共線時，且點4位于雙，之間時，此時點尸在4〃上，

連接,A'B,過點尸作外LA?于點凡過點"作"。，4?于點&則4HLPM,

;加?為直徑，

ZJ=90°,即44±A'B,

：.PM//A'B,

：.NPM4NABA',

過點。作CNLAB交四延長線于點N,

在,ABC。中，AB//DC,

'：DMLAB,

：.DM//CN,

四邊形⑦眈為平行四邊形,

:,好D用3,MMCM,

二小5,

CN3

???sin/CMN=——=-,

CM5

TA'.歸2,

AG=2x3=9,

55

5

，BG=BM-MG=-,

5

A'ri

：.tanZA,BA=-=3,

BG

tanZPMF-tanZA'BA-3,

——=3,即P23FM,

FM

小…DMPF3AM_AF_2

tanADAM=-----cosADAM

AM~AF2而一6一石

3

二PF=-AF,

2

3

A3FM^-AF,即/42同/,

2

"：AM=2,

4

3

_2

3_2,解得：，=一;

VT3r-V133

如圖，當點A'（A"）位于C材的延長線上時，此時點一在劭上，PB=2岳-岳t，

過點A"作A"G'_LAB于點G',則Z4M￥=NCMN,取A4”的中點〃，則點以、P、"三點共線，過點

〃作HKVAB于點K,過點尸作PTLAB于點T,

同理：A'G'=g,AG'=|,

,:HKLAB,A"G'±AB,

：.HK//A''C,

AHK^AA"G',

點〃是A4"的中點,

HKAKAH1

A"G'AG'AA"2

3I

HK=—AK=-,

55

9

MK=3,

5

tanNPMT=tanZHMK=—=

MK3

PT1

——=一，g|JMT^ZPT,

MT3

DMPT3?_BTBM_2

tanZ.PBT=-----==—,cosZ./PDBDT=

BMBT2PB~BD~4^3

BT=-PT,

3

9

MT=-BT,

2

11_____2，解得：t=—；

11

2屈-屈J屈

綜上所述，力的值為2;或三20.

【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質，圓的基本性質，相似三角形的判

定和性質，解直角三角形，根據題意得到點4的運動軌跡是解題的關鍵，是中考的壓軸題.

24.在平面直角坐標系中，拋物線曠=/一云（6是常數）經過點（2,0）.點4在拋物線上，且點/的橫坐

標為勿（加。0）.以點｛為中心，構造正方形PQMN,?。=2|同，且PQ_Lx軸.

（1）求該拋物線對應的函數表達式：

（2）若點6是拋物線上一點，且在拋物線對稱軸左側.過點8作x軸的平行線交拋物線于另一點G連接

BC.當6c=4時，求點6的坐標；

（3）若m>0,當拋物線在正方形內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大時，或者y隨x的增大而減小時，

求/〃的取值范圍；

3

（4）當拋物線與正方形PQMN的邊只有2個交點，且交點的縱坐標之差為一時，直接寫出/〃的值.

??4

【答案】⑴y=x2-2x

（2）3（-1,3）

（3）?！醇印?，或加23

2

3、13

（4），〃=-二或機=一或，〃=一.

822

【解析】

【分析】（1）將點（2,0）代入y=f—法，待定系數法求解析式即可求解；

（2）設BQ","/-2"，，根據對稱性可得C（2-加,利2—2機），根據6c=4，即可求解；

（3）根據題意分兩種情況討論，分別求得當正方形尸QMN點。在x軸上時，此時“與。點重合，當PQ經

過拋物線的對稱軸x=l時，進而觀察圖象即可求解；

（4）根據題意分三種情況討論，根據正方形的性質以及點的坐標位置，即可求解.

【小問1詳解】

解：?.?拋物線y=f-次（6是常數）經過點（2,0）

：.4-2b=0

解得〃=2

y-x2-2x

【小問2詳解】

如圖，

由y=%2—2元=(x-l)2-1

則對稱軸為直線X=1,

設B^mjn2-2m),則C(2-m,irr—2

BC=2—m-m=4

解得tn——1

.'.^(-1,3)

【小問3詳解】

點A在拋物線上，且點4的橫坐標為勿(加。0).以點4為中心，構造正方形PQMN,PQ=2|m|,且

PQ□軸

：.MN=PQ=2\n^,且M,N在y軸上，如圖，

①當拋物線在正方形內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大時，如圖，當正方形尸QMN點。在x軸上時,

此時用與。點重合，

PN=PQ

的解析式為y=x

/.將代入y=x?-2x

即ITT-2m-m—0

解得叫=0,加2=3

m>0

.-.A（3,3）

觀察圖形可知，當機23時，拋物線在正方形內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大；

②當拋物線在正方形內部的點的縱坐標y隨x的增大而減小時，當PQ經過拋物線的對稱軸x=l時,

MQ=PQ-2|/n|,m>0

：.2m=1

解得m=-,

2

觀察圖形可知，當0〈機《工時，拋物線在正方形內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大;

2

綜上所述，0的取值范圍為0</〃〈,或

2

【小問4詳解】

33

①如圖，設正方形與拋物線的交點分別為瓦尸，當）^一）7=一時，則MN=一

44

2

A是正方形PQMN的中心，A（fn,m-2m）

13

?-|xJ=-A//V=-

zo

3

即"=

8

A（加，加2-26）

MN=2m

122

/.—MN=yA+m=m-2m-^-m=m-m

交點的縱坐標之差為二3,

4

)3

/.F的縱坐標為-m——

4

F的橫坐標為MQ=PQ=2m

一吁』

F2m,m?

4J

產在拋物線y=f-2尤上，

m2一加一q=(2機7-2x2加

解得機=,

2

③當A在拋物線對稱軸的右側時，正方形與拋物線的交點分別為。，S,設直線AM交x軸于點T，如圖,

3

4

設直線MN解析式為y=

3

2k+b=0

4

則,

3

b=

4

k=一1

解得L3

b--

[4

3

直線MN解析式為y=-x+—

4

聯立y=x2-2x

31

解得Z=：,%2=-二（舍去）

22

33

即A的橫坐標為一，即相=一,

22

313

綜上所述，〃2=-=或加=一或加=一.

822

【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，二次函數的對稱性，正方形的性質，掌握二次函數圖象的性質

是解題的關鍵.

2021年吉林中考數學真題及答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.-（-2）的值為（）

A.AB.-AC.2D.-2

22

【分析】直接根據相反數的定義可得答案.

【解答】解：-（-2）的值為2.

故選：C.

2.據報道，我省今年前4個月貨物貿易進出口總值為52860000000元人民幣，比去年同期增長28.2%.其

中52860000000這個數用科學記數法表示為（）

A.0.5286X10"B.5.286X1O10

C.52.86X109D.5286X10，

【分析】科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其中lW|a|V10,〃為整數.確定〃的值時，要看把

原數變成a時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.

【解答】解:52860000000=5.286X1O10.

故選：B.

3.如圖是一個幾何體的三視圖，這個幾何體是（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.圓錐B.長方體C.球D.圓柱

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.

【解答】解：由于主視圖和俯視圖為長方形可得此幾何體為柱體，由左視圖為圓形可得為圓柱.

故選：D.

4.關于x的一元二次方程產-6戶/?=0有兩個不相等的實數根，則0的值可能是（）

A.8B.9C.10D.11

【分析】根據判別式的意義得到4=（-6）2-4?>0,然后解關于加的不等式，最后對各選項進行判斷.

【解答】解：根據題意