漳平二中2024-2025學年高一（下）第一次月考數學試卷總分：150考試時間：120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考號等信息填寫在答題卡上。2．請將答案正確填寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1．若，則（

）A． B．C． D．2．已知，為共線向量，且，，則（

）A． B． C．40 D．3．已知復數，、，則（）A． B． C． D．4．在?ABC中，角的對邊分別為，已知則（

）A．45°或135° B．135°C．45° D．60°或120°5．在?ABC中，角所對的邊分別為，，，則?ABC外接圓的面積是（

）A． B． C． D．6．位于處的雷達接收到在其正東方向相距海里的處的一艘漁船遇險后拋錨的營救信號后，即刻通知位于處雷達北偏東且與處雷達相距30海里的處的甲船前往救援，則甲船至少需要航行的海里數為（

）A． B． C． D．7．已知為互相垂直的單位向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知a,b是單位向量，且a,b的夾角為，若向量c滿足|A． B． C． D．二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。)9．復數，i是虛數單位，則以下結論正確的是（

）A． B．C．z的虛部為2 D．z在復平面內對應的點位于第一象限10．在?ABC中，下列說法正確的有：（

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．設向量，滿足，且，則以下結論正確的是（

）A．a⊥b C．、a?b=2三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。）12．若復數，則，13．在?ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，則最大角的余弦值是.14．趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”（1弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）.類比，可構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間一個小等邊三角形組成的一個較大的等邊三角形，設且，則可推出.四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（本小題滿分13分）已知復數．(1)若復數為純虛數，求；(2)若復數在復平面內對應的點在第四象限，求實數m的取值范圍.（本小題滿分15分）已知兩個非零向量.（Ⅰ）若向量是夾角為120°的單位向量，試確定實數，使和垂直；（Ⅱ）若，，，求證：三點共線.17．（本小題滿分15分）在?ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的邊．已知，，．(1)求b，c的值；(2)求的值．18．（本小題滿分17分）已知向量，滿足，，．(1)求的值；(2)求向量與的夾角．19．（本小題滿分17分）已知?ABC的內角所對的邊分別是，．(1)求角；(2)若?ABC外接圓的周長為，求?ABC《2024-2025學年度高中數學試卷》參考答案題號12345678910答案AADCBCBAACDABD題號11答案AC1．A【分析】根據復數的除法運算求解.【詳解】.故選：A.2．A【分析】利用共線向量的坐標表示及模的公式求解即可.【詳解】∵，為共線向量，∴，即，∴，.故選：A.3．D【分析】利用復數的乘法和復數相等可得出關于、的方程組，解出這兩個未知數的值，即可求得的值.【詳解】，所以，，則，因此，.故選：D.4．C【分析】根據正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理得：得：，因為，所以，所以.故選：C5．B【分析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.【詳解】因為，所以，由余弦定理得，，所以，設外接圓的半徑為，由正統定理得，，所以，所以外接圓的面積是.故選：B.6．C【分析】由余弦定理解三角形可得.【詳解】如圖，由題意可得．在中，由余弦定理可得海里，故甲船至少需要航行的海里數為．故選：C.

7．B【分析】根據與的夾角為銳角，由且與不共線求解.【詳解】解：因為，所以，因為與的夾角為銳角，所以，且與不共線，解得，當時，則，即，解得，當時，與共線且同向，所以的取值范圍為，故選：B8．A【詳解】分析：建立直角坐標系，設出相關向量的坐標，利用已知條件得到，再利用圓的幾何性質進行求解．詳解：建立平面直角坐標系，設，則，由，得，即，且，則，即，即的最大值為．點睛：本題考查平面向量的數量積運算、模的計算公式等知識，意在考查學生的數學轉化能力和邏輯思維能力．9．ACD【分析】根據共軛復數的定義即可求解A，根據模長公式即可求解B，根據虛部的概念求解C，根據復數的幾何意義即可求解D.【詳解】因為，則，故A正確；，故B錯誤；的虛部為2，故C正確；z在復平面內對應的點在第一象限，故D正確.故選：ACD10．ABD【分析】利用大邊對大角定理結合正弦定理可判斷A選項的正誤；利用A選項中的結論結合二倍角的余弦公式可判斷D選項的正誤；利用余弦函數的單調性可判斷B選項的正誤；利用特殊值法可判斷C選項的正誤.【詳解】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，A對；對于B選項，因為，且余弦函數在上為減函數，故，B對；對于C選項，取，，則，，此時，，C錯.對于D選項，若，則，則，D對；故選：ABD.11．AC【分析】運用向量的垂直，模長，夾角相關公式，結合數量積定義可解.【詳解】，又因為，所以，故，所以A正確，D不正確；，故，所以B不正確，，所以，正確．故選：．12．0【分析】利用復數四則運算與相等的性質即可得解.【詳解】因為，所以，故，則.故答案為：0.13．/【分析】由正弦定理以及三角形的性質，可得，并可判斷最大角為，再由余弦定理即可求出結果.【詳解】因為，由正弦定理可得，，所以，即角最大，設，其中，所以.故答案為：.14．【分析】設，根據與，利用余弦定理求出，，設出AG=m，DG=n，利用勾股定理求出m與n的值，建立直角坐標系，利用向量的坐標運算求出與的值，進而求出的值.【詳解】設，，則，，因為和是等邊三角形，故，由余弦定理得：，解得：，故，，過點D作DG⊥AB于點G，設AG=m，DG=n，則BG=2-m，由勾股定理得：，解得：如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直AB的直線為y軸建立直角坐標系，則，，，，則，，，由得：，即，解得：，則故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）根據復數的特征，列式求，再根據共軛復數的形式求解；（2）根據復數的幾何意義，轉化為復數的實部和虛部的正負，即可求解.【詳解】（1）若復數是純虛數，則，解得，則，所以；（2）由復數的幾何意義可知，，得.16．（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【分析】（Ⅰ）令，展開再利用向量數量積定義，即可確定實數.（Ⅱ）由條件推得，再根據向量共線的條件得證結論．【詳解】（Ⅰ）∵和垂直∴∴∴∴（Ⅱ）∵，∴∵有公共點∴三點共線【點睛】向量共線：（1），（2）（3）若，則三點共線（4）三點共線17．(1)，(2)【分析】（1）由已知條件利用余弦定理再結合可求出b，c的值，（2），得，再由正弦定理求出，由同角三角函數的關系求出，然后利用兩角差的正弦公式可求得答案【詳解】（1）由余弦定理，得．因為，所以，解得，．（2）由，得．由正弦定理得．在中，因為B是鈍角，所以A為銳角，所以．故．18．(1)(2)【分析】（1）由條件推理求得利用向量數量積的運算律即可求得；（2）利用計算向量夾角的公式，先求和，再代入公式計算即得.【詳解】（1）因，,由可得，，即于是，；（2）設向量與的夾角為，則，因，，，即與的夾角為．19．(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理化簡已知等式可得，利用余弦定理可得，結合范圍，可求的值．（2）法一：由正弦定理可得，由余弦定理，基本不等式可求的范圍，進而可求的周長的最大值；法二：利用正弦定理，將周長化為角A的函數求出范圍即可.【詳解】（1）由正弦定理可得，即