《實(shí)變函數(shù)》試題庫及參照答案（完整版）選擇題1,下列對(duì)象不能構(gòu)成集合的是:（）A、所有自然數(shù)B、0,1之間的實(shí)數(shù)所有C、[0,1]上的實(shí)函數(shù)所有D、所有大個(gè)子二、下列對(duì)象不能構(gòu)成集合的是:（）A、{所有實(shí)數(shù)}B、{所有整數(shù)}C、{所有小個(gè)子}D、{x：x>1}3、下列對(duì)象不能構(gòu)成集合的是:（）A、{所有實(shí)數(shù)}B、{所有整數(shù)}C、{x：x>1}D、{所有胖子}4、下列對(duì)象不能構(gòu)成集合的是:（）A、{所有實(shí)數(shù)}B、{所有整數(shù)}C、{x：x>1}D、{所有瘦子}五、下列對(duì)象不能構(gòu)成集合的是:（）A、{所有小孩子}B、{所有整數(shù)}C、{x：x>1}D、{所有實(shí)數(shù)}六、下列對(duì)象不能構(gòu)成集合的是:（）A、{所有實(shí)數(shù)}B、{所有大人}C、{x：x>1}D、{所有整數(shù)}7、設(shè),I

為所有實(shí)數(shù),則=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、(-,+)D、(1,+)八、設(shè),,則=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、[0,1]D、[-1,1]九、設(shè),,則=()A、(0,1)B、[0,1]C、[0,1]D、(0,+)10、設(shè),,則=()A、[1,2]B、(1,2)C、(0,3)D、(1,2)1一、設(shè),,則=()A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}1二、設(shè),,則=()A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}13、設(shè),,,則()A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]14、設(shè),,,則()A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]1五、設(shè),,則()A、ΦB、[0,n]C、RD、(0,)1六、設(shè),,則()A、(0,1)B、(0,)C、{0}D、Φ17、設(shè),,,則()A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)1八、設(shè),,,則()A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)1九、設(shè)A、B、C是三個(gè)集合,則A-(A-B)=()A、BB、AC、ABD、AB20、設(shè)A、B、C是三個(gè)集合,則A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、ABD、AC2一、設(shè)A、B、C是三個(gè)集合,則A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、ABD、AC2二、設(shè)A、B、S是三個(gè)集合,且,,則=()A、B、C、D、23、設(shè)A、B、S是三個(gè)集合,且,,則=()A、B、C、D、24、設(shè)A、B、C是三個(gè)集合,則A-(B-C)=()A、AC-BB、A-B-CC、(A-B)(AC)D、C-(B-A)2五、集合E的所有內(nèi)點(diǎn)所成的集合稱為E的()A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包2六、集合E的所有聚點(diǎn)所成的集合稱為E的()A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包27、集合E的所有邊界點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)所成的集合是E的()A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包2八、E-E＇所成的集合是()A、開核B、邊界C、外點(diǎn)D、{E的所有孤立點(diǎn)}2九、E的所有邊界點(diǎn)所成的集合稱為E的()A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包30、設(shè)點(diǎn)P是集合E的邊界點(diǎn),則()A、P是E的聚點(diǎn)B、P是E的孤立點(diǎn)C、P是E的內(nèi)點(diǎn)D、P是的邊界點(diǎn)3一、設(shè),則下列那一種是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(0,1)B、(,1)C、[0,1]D、(0,2)3二、設(shè),,則下列那一種是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(0,1)B、(0,2)C、(-1,)D、(-1,2)33、設(shè),,則下列那一種是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(0,1)B、(3,4)C、(0,4)D、(1,4)34、設(shè),,則下列那一種是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(0,1)B、(0,3)C、(0,4)D、(1,4)3五、設(shè),,則下列那一種是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(0,1)B、(0,2)C、(1,2)D、(1,4)3六、設(shè),,則下列那一種是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(,)B、(1,2)C、(0,1)D、(-1,0)37、若，則下列命題錯(cuò)誤的是：()A、B、A＇B＇C、D、3八、若,則下列命題對(duì)的的是：（）A、B、A＇B＇=C＇C、D、{A的孤立點(diǎn)}{B的孤立點(diǎn)}={C的孤立點(diǎn)}3九、若,則下列命題錯(cuò)誤的是：（）A、B、C＇A＇B＇C、D、{A的孤立點(diǎn)}{B的孤立點(diǎn)}={C的孤立點(diǎn)}40、設(shè)是A的余集，則下列命題對(duì)的的是：（）A、B、C、C(A＇)＝（CA）＇D、4一、設(shè)A－B=C,則下列命題對(duì)的的是：（）A、B、C、A＇－B＇＝C＇D、{A的孤立點(diǎn)}－{B的孤立點(diǎn)}={C的孤立點(diǎn)}4二、(2-4-1-2)下列命題錯(cuò)誤的是：（）A、是閉集B、A＇是閉集C、是閉集D、是閉集43、若A是閉集，B是開集，則A－B是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷44、若A是開集，B是閉集，則A－B是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷4五、若是一開集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷4六、若是一開集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷47、若是一閉集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷4八、若是一閉集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷4九、若，則（）A、0B、1C、2D、350、下述結(jié)論（）對(duì)的.A、B、C、D、5一、下列說法對(duì)的的是（）A、在（0，1）有限B、在無界C、，在[0，1]有限D(zhuǎn)、，在[0，1]有界5二、函數(shù)列在[0，1]上（）于0.A、a，e一致收斂B、收斂C、一致收斂D、大體上一致收斂53、設(shè)E是[0，1]中的不可測(cè)集，則下列函數(shù)在[0，1]上可測(cè)的是（）.A、B、C、D、54、若可測(cè)，則它必是（）.A、持續(xù)函數(shù)B、單調(diào)函數(shù)C、簡(jiǎn)樸函數(shù)D、簡(jiǎn)樸函數(shù)列的極限5五、若，則（）A、0B、1C、2D、35六、下列說法不對(duì)的的是（）A、E的測(cè)度有限，則E必有界B、E的測(cè)度無窮，則E必?zé)o界C、有界點(diǎn)集的測(cè)度有限D(zhuǎn)、的測(cè)度無窮57、（4-4-2-1）下述論斷對(duì)的的是（）A、在無界B、在有限C、在有界D、在有限5八、函數(shù)列在[0,2]上（）于0.A、收斂B、一致收斂C、大體上一致收斂D、a.e.一致收斂5九、設(shè)其中E是[0,1]的不可測(cè)集，則下列函數(shù)在[0,1]可測(cè)的是（）.A、B、C、D、60、一種函數(shù)在其概念域中的（）點(diǎn)處都是持續(xù)的.A、邊界點(diǎn)B、內(nèi)點(diǎn)C、聚點(diǎn)D、孤立點(diǎn).6一、是康托爾（cantor）集，則（）A、0B、1C、2D、36二、設(shè)A是B的真子集，則（）A、B、C、D、63、下列說法對(duì)的的是（）A、在無界B、在有限C、在有界D、在有限64、函數(shù)列在上（）于0.A、收斂B、一致收斂、C、大體上一致收斂D、a.e.一致收斂6五、設(shè)E是[0,1]上的不可測(cè)集，則下列函數(shù)在[0,1]可測(cè)的是（）.A、B、C、D、6六、設(shè)E為可測(cè)集，則下列結(jié)論中對(duì)的的是（）A、若在E上a,e收斂于一種a,e有限的可測(cè)函數(shù)，則一致收斂于B、若在E上a,e收斂于一種a,e有限的可測(cè)函數(shù)，則大體上一致收斂于C、若在E上a,e收斂于一種a,e有限的可測(cè)函數(shù)，則D、若在E上大體上一致收斂于，則a,e收斂于67、G表達(dá)康托爾（cantor）集在[0,1]中的余集，則mG=（）A、0B、1C、2D、36八、設(shè)都可測(cè)，則（）A、可測(cè)B、不可測(cè)C、也許可測(cè)也也許不可測(cè)D、以上都不對(duì)6九、下列說法對(duì)的的是（）A、在上無界B、在上有限C、在上有限D(zhuǎn)、在上有界70、函數(shù)列在上（）于0A、收斂B、一致收斂C、大體上一致收斂D、a.e.一致收斂7一、設(shè)，其中E是[0,1]上的不可測(cè)集，則（）在[0,1]可測(cè).A、、B、C、D、7二、有關(guān)持續(xù)函數(shù)與可測(cè)函數(shù)，下列論述中對(duì)的的是（）A、它們是同一概念B、a,e有限的可測(cè)函數(shù)是持續(xù)函數(shù)C、a,e有限的可測(cè)函數(shù)是大體上持續(xù)的函數(shù)D、a,e有限的可測(cè)函數(shù)是a,e持續(xù)的函數(shù)73、()A、一、B、2C、3D、474、A可測(cè)，B是A的真子集，則（）A、B、C、D、以上都不對(duì)7五、下列說法對(duì)的的是（）A、在(0,1)有限、B、在無界C、在[0,1]有限D(zhuǎn)、在[0,1]有界7六、函數(shù)列在上（）于0.A、收斂B、大體上一致收斂C、一致收斂D、a.e.一致收斂77、設(shè)其中E是[0,1]上的不可測(cè)集，則（）在[0,1]上是可測(cè)的.A、B、C、D、7八、有關(guān)簡(jiǎn)樸函數(shù)與可測(cè)函數(shù)下述結(jié)論不對(duì)的的是（）A、簡(jiǎn)樸函數(shù)必然是可測(cè)函數(shù)B、簡(jiǎn)樸函數(shù)列的極限是可測(cè)函數(shù)C、簡(jiǎn)樸函數(shù)與可測(cè)函數(shù)是同一概念D、簡(jiǎn)樸函數(shù)列的極限與可測(cè)函數(shù)是同一概念7九、（）A、1B、2C、3D、480、L可測(cè)集類，對(duì)運(yùn)算（）不封鎖.A、可數(shù)和B、有限交C、單集結(jié)列的極限D(zhuǎn)、任意和.8一、下列說法對(duì)的的是（）A、在無界B、在有限C、在[0,1]有限D(zhuǎn)、在[0,1]有界8二、函數(shù)列在上（）于0.A、大體一致收斂B、收斂C、一致收斂D、a.e.一致收斂83、設(shè)E是中的不可測(cè)集，則下列函數(shù)在上可測(cè)的是（）.A、B、C、D、84、有關(guān)依測(cè)度收斂，下列說法中不對(duì)的的是（）A、依測(cè)度收斂不必然一致收斂B、依測(cè)度收斂不必然收斂C、若在E上a.e.收斂于a.e.有限的可測(cè)函數(shù)，則D、若，則存在子列a.e.收斂于8五、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則（）A、必可積B、必幾乎到處有限C、必積分肯定D、不必然積分肯定8六、設(shè)在可測(cè)集上可積，則在上（）A、與只有一種可積B、與皆可積C、與不必然可積D、與至少有一種不可積87、設(shè)（），是上的實(shí)函數(shù)，則下面論述對(duì)的的是（）A、在上不必然可測(cè)B、在上可測(cè)但不必然可積C、在上可積且積分值為0D、在上不可積8八、在可測(cè)集上可積的必要條件是，為（）A、持續(xù)函數(shù)B、幾乎到處持續(xù)函數(shù)C、單調(diào)函數(shù)D、幾乎到處有限的可測(cè)函數(shù)8九、設(shè)為狄立克雷函數(shù)，則（）A、0B、1C、1/2D、不存在90、設(shè)為Cantor集的特性函數(shù)，則（）A、0B、1/3C、2/3D、1填空題一、設(shè)A為一集合，B是A的所有子集構(gòu)成的集合；若=n,則=二、設(shè)A為一集合，B是A的所有子集構(gòu)成的集合；若A是一可數(shù)集,則=3、若,,則4、若,B是一可數(shù)集,則五、若,,則六、若是一集合列,且,7、若是任意集族,其中I是指標(biāo)集,則=八、若是任意集族,其中I是指標(biāo)集,則=九、若是任意集族,其中I是指標(biāo)集,S是一集合,則=10、若是任意集族,其中I是指標(biāo)集,S是一集合,則=1一、若是任意一種集合列,則1二、若是任意一種集合列,則13、歐氏空間中,任意兩點(diǎn),的距離d(x,y)=14、C[a,b]空間中,任意兩元素x(t),y(t)的距離d(x,y)=1五、空間中,任意兩元素,的距離d(x,y)=1六、歐氏空間中,任意兩點(diǎn),的距離d(x,y)=17、歐氏空間中,任意兩點(diǎn),的距離d(x,y)=1八、歐氏空間中,任意兩點(diǎn),的距離d(x,y)=1九、設(shè),,則=20、設(shè),,則=2一、設(shè),,則=2二、設(shè),,則＇=23、設(shè),,則=24、設(shè),,則＇=2五、設(shè)A=[0,1],B=[3,4],則d(A,B)=2六、設(shè)C是康托完備集,G=[0,1]－C,則d(C,G)=27、設(shè)C是康托完備集,則C的半徑=2八、兩個(gè)非空集合A,B距離的概念為d(A,B)=2九、一種非空集合A的直徑的概念為=30、設(shè)A=[0,1]Q,則=3一、，對(duì)每一列覆蓋E的開區(qū)間，概念________。3二、設(shè)是一列遞增的可測(cè)集合，則________。33、設(shè)是概念在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，若，有_______，則稱在E上可測(cè)。34、的概念為_________________________。3五、設(shè)A=“開集類”，B=“波雷爾集類”，C=“可測(cè)集類”，D=“型集類”。那么A，B，C，D的關(guān)系是__________。3六、I是區(qū)間，則mI=________37、[a,b]上的持續(xù)函數(shù)及單調(diào)函數(shù)都是________。3八、葉果洛夫定理反應(yīng)了_______與________的關(guān)系。3九、設(shè)，E有界，I為任一包括E的開區(qū)間，則____40、稱為測(cè)度的________4一、可測(cè)集上的持續(xù)函數(shù)都是________。4二、可測(cè)函數(shù)列的極限是_________。43、若，則，這稱為外測(cè)度的________。44、若集合G能表到達(dá)________則稱G為集。4五、實(shí)變函數(shù)中的函數(shù)持續(xù)性是數(shù)學(xué)分析中函數(shù)持續(xù)性的______。4六、幾乎到處是與_______有關(guān)的概念。47、設(shè)，若對(duì)均有________則稱E是L可測(cè)的。4八、若集合F能表到達(dá)_______則稱F為集。4九、E上的簡(jiǎn)樸函數(shù)，指的是對(duì)E進(jìn)行有限不變可測(cè)分解後，每一種可測(cè)子集上都取_______的函數(shù)。50、魯金定理反應(yīng)了______與______的關(guān)系。5一、設(shè)是一列遞減可測(cè)集合，且，，則_________。5二、L可測(cè)集和波雷爾集相差一種________。53、兩個(gè)可測(cè)函數(shù)的四則運(yùn)算（假定它們都成心義）成果______。54、函數(shù)列在不一致收斂于1，且不______收斂于1。5五、設(shè)在可測(cè)集上可積，則（）5六、（論述積分的絕對(duì)持續(xù)性）設(shè)在上可積，則對(duì)任何可測(cè)集，有（）57、設(shè)為Cantor集，則（）5八、設(shè)為Cantor集，則（）5九、設(shè)為有理數(shù)集，則（）60、設(shè)為自然數(shù)集，則（）簡(jiǎn)答題一、構(gòu)造{自然數(shù)所有}到{偶數(shù)所有}的一一映射.二、構(gòu)造(0,1)到R的一一映射.3、構(gòu)造(0,1)到[0,]的一一映射.4、構(gòu)造{能被3整數(shù)整除的正整數(shù)}到{正整數(shù)所有}的一一映射.五、構(gòu)造(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.六、構(gòu)造{奇數(shù)所有}到{偶數(shù)所有}的一一映射.7、（請(qǐng)闡明：在上的函數(shù)列，，意外度收斂于八、請(qǐng)論述L測(cè)度的可列可加性。九、若在可測(cè)集E上可測(cè)，則，在E上也可測(cè)。10、請(qǐng)指出L可測(cè)集和集的關(guān)系。1一、用可測(cè)函數(shù)的概念闡明狄裏克雷函數(shù)在[0,1]可測(cè)。1二、從基數(shù)的角度請(qǐng)舉出三種零測(cè)集的例子。計(jì)算題一、設(shè)，計(jì)算。二、設(shè)，計(jì)算。3、設(shè)，計(jì)算。4、設(shè)為Cantor集，，計(jì)算。五、設(shè)為Cantor集，，計(jì)算。六、設(shè)為Cantor集，，計(jì)算。7、求。八、求。九、求。10、求。1一、求。1二、求。判斷題一、{0,1}={1,0}()理由：二、任意兩個(gè)集合A、B,均有,或()理由：3、任意集合均有子集。（）理由：4、（）理由：五、Φ={Φ}()理由：六、Φ={0}()理由：7、若一種點(diǎn)不是E的聚點(diǎn),則必然也不是

E的內(nèi)點(diǎn).()理由：八、{E的外點(diǎn)所有}和E的余集是相似的.()理由：九、E的內(nèi)點(diǎn)必然屬于E.()理由：10、E的孤立點(diǎn)必然屬于E()理由：1一、E的邊界點(diǎn)必然不屬于E()理由：1二、E的聚點(diǎn)必然屬于E()理由：13、若可測(cè)，則E和F都可測(cè)。（）理由：14、若，a.e.于E，在可測(cè)集E上可測(cè)，則也在E上可測(cè)（）。理由：1五、兩個(gè)集合的基數(shù)相等，則它們的外測(cè)度相等。（）理由：1六、若在可測(cè)集E上可測(cè)，則也可測(cè)。（）理由：17、若，且，a,e于E（）理由：1八、設(shè)都可測(cè)，則也可測(cè)，且。（）理由：1九、若在可測(cè)集E上可測(cè)，則在E的任意可測(cè)子集上也可測(cè)（）。理由：20、無窮集的外測(cè)度必然不為零。（）理由：2一、若在可測(cè)集E上可測(cè)，則在E的任意子集上可測(cè)（）理由：2二、若可測(cè)集A是可測(cè)集B的子集，且，則（）理由：23、若都可測(cè)，則f在可測(cè)集E上也可測(cè)（）理由：24、若E可測(cè)，A可測(cè)，且，則。（）理由：證明題一、任意無窮集合包括一可數(shù)子集.二、若A是一種可數(shù)集合,B是一種有限集合,則是可數(shù)集.3、若A和B都是可數(shù)集合,則是可數(shù)集.4、有理數(shù)所有成一可數(shù)集。五、證明由直線上互不相交的開區(qū)間作為集A的元素，則A最多為可數(shù)集。六、空間中,{}是一種可數(shù)集合.7、證明：集合E可測(cè)的充要條件是對(duì)于任意，，總有八、設(shè)是上a.e.有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)于任何及，存在持續(xù)函數(shù)，使九、證明：對(duì)，E可測(cè)的充要條件是可測(cè)。10、設(shè)函數(shù)列在E上依測(cè)度收斂于，且，a.e.于E，n=1,2,…，則在E上a.e.成立。1一、證明：可數(shù)點(diǎn)集的外測(cè)度為零。1二、（設(shè)函數(shù)列在有界集E上大體上一致收斂于，證明在E上a.e.收斂于13、設(shè)是n個(gè)互不相交的可測(cè)集合，，。證明：14、證明：若，，則在E上a.e.成立。1五、若，則E可測(cè)。1六、設(shè)，，，，試證。17、設(shè)A可測(cè)，B為任意集合，證明：1八、設(shè)，證明：1九、設(shè)是上的可積函數(shù)，則20、設(shè)，是上的有界可積函數(shù)，則對(duì)任何可測(cè)集，有2一、設(shè)由中掏出個(gè)可測(cè)子集，假定中任一點(diǎn)至少屬于這個(gè)集中的個(gè)，試證必有一集，它的測(cè)度不小于或等于。2二、試從，求證：。23、設(shè){}為上的可積函數(shù)列，a.e.于，且，為常數(shù)，則可積。24、設(shè)在上可積，且，則a.e.于?！秾?shí)變函數(shù)》試題題庫參照答案一、選擇題一、D二、C3、D4、D五、A六、B7、C八、A九、B10、C1一、C1二、D13、C14、B1五、C1六、D17、A1八、D1九、C20、A2一、B2二、C23、B24、C2五、A2六、C27、D2八、D2九、B30、D3一、A3二、B33、C34、A3五、B3六、D37、C3八、B3九、C40、B4一、B4二、D43、B44、A4五、A4六、D47、D4八、B4九、A50、B5一、A5二、D53、C54、D5五、B5六、A57、D5八、C5九、A60、D6一、A6二、B63、D64、C6五、C6六、D67、B6八、A6九、B70、C7一、D7二、C73、C74、B7五、A7六、B77、A7八、C7九、C80、D8一、B8二、A83、B84、C8五、C8六、B87、C8八、D8九、A90、A二、填空題一、；二、c；3、c；4、c；五、c；六、c；7、{x:對(duì)于任意的,有}；八、{x:存在,使得}；九、；10、；1一、；1二、；13、；14、；1五、；1六、；17、；1八、；1九、；20、；2一、；2二、；23、；24、；2五、2；2六、0；27、1；2八、；2九、；30、1；3一、；3二、；33、可測(cè)；34、有；3五、；3六、；37、可測(cè)函數(shù)；3八、點(diǎn)態(tài)收斂與一致收斂；3九、；40、次可數(shù)可加性；4一、可測(cè)函數(shù)；4二、可測(cè)函數(shù)；43、單調(diào)性；44、（開）；4五、推行；4六、測(cè)度；47、；4八、，（閉集）；4九、常數(shù)；50、可測(cè)函數(shù)，持續(xù)函數(shù)；5一、；5二、零測(cè)集；53、可測(cè)函數(shù)；54、依測(cè)度；5五、0；5六、0；57、0；5八、0；5九、0；60、0三、判斷題一、(√)理由:集合具有無序性二、(×)理由:舉一反例,例如:取A={1},B={2}3、（√）理由:空集Φ是任意集合的子集.4、（×）理由:符號(hào)表達(dá)集合間的關(guān)系,不能表達(dá)元素和集合的關(guān)系.五、(×)理由:Φ表達(dá)沒有任何元素的集合,而{Φ}表達(dá)單元素集合,這個(gè)元素是Φ六、(×)理由:Φ表達(dá)沒有任何元素的集合,而{0}表達(dá)單元素集合,這個(gè)元素是07、(√)理由:按照內(nèi)點(diǎn)的概念,內(nèi)點(diǎn)必然是聚點(diǎn)八、(×)理由:舉一反例,例如:E=(0,1),元素1不是E的外點(diǎn),但卻屬于E的余集分九、(√)理由:有內(nèi)點(diǎn)的概念可得.10、(√)理由:有內(nèi)點(diǎn)的概念可得.1一、(×)理由:舉例闡明,例如:E=(0,1),元素1是E的邊界點(diǎn),但屬于E.1二、(×)理由:舉一反例,例如:E=(0,1),元素1是E的內(nèi)點(diǎn),但不屬于E13、（×）理由:因有若，E不可測(cè)，而可測(cè)14、（√）理由:因兩可測(cè)集的并可測(cè)。1五、（×）理由:因，但1六、（√）理由:因分17、（×）理由:反例：，把是按n後按j的次序形成的函數(shù)列1八、（×）理由:因的測(cè)度也許無窮1九、（√）理由:因若（可測(cè)），則20、（×）理由:反例：自然數(shù)集外測(cè)度為零。2一、（×）理由:若是E的不可測(cè)集就不行。2二、（×）理由:反例：，23、（√）理由:因，存在單調(diào)下降趨于c的有理數(shù)列，則有，故可測(cè)。24、（√）理由:因四、簡(jiǎn)答題一、答:令f(2n)=2nf(2n－1)＝－2（n－１）其中n=1,2,下面驗(yàn)證f是{自然數(shù)所有}到{偶數(shù)所有}的一一映射.設(shè)m{自然數(shù)所有},n{自然數(shù)所有}且f(m)=f(n)若f(m)=f(n)>0,則m、n為偶數(shù)，f(m)=f(n)=m=n若f(m)=f(n)0,則m、n為奇數(shù)，f(m)=f(n)=1－m=1－n即m=n,故而f是單射。對(duì)于任意的m{偶數(shù)所有}若m=0,則有f(1)=0;若m>0,則有f(m)=m;若m<0,則有f(1－m)=m故而f是滿射。有（1）（2）得f是一一映射。二、答：令f(x)=tg((x－))，下證f(x)是(0,1)到R的一一映射.由三角函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)是(0,1)上的嚴(yán)格單增持續(xù)函數(shù)，且f((0,1))=R因此f(x)是(0,1)到R的一一映射.3、答：令f(x)=tg((１－x))，下證f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.由三角函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)是(0,1)上的嚴(yán)格單減持續(xù)函數(shù)，且f((0,1))=[0,]因此f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.4、答：令f(3n)=nn=1,2,…下證f是{能被3整數(shù)整除的正整數(shù)}到{正整數(shù)所有}的一一映射對(duì)于任意的3m,3n{能被3整數(shù)整除的正整數(shù)}若f(3m)=f(3n)則有m=n,因此f是單射(2)對(duì)于任意的n{正整數(shù)所有}顯然有3n{能被3整數(shù)整除的正整數(shù)}且f(3n)=n即f是滿射由（1）（2）得f是{能被3整數(shù)整除的正整數(shù)}到{正整數(shù)所有}的一一映射.五、答:令f(x)=2x當(dāng)x(0,);f(x)=2x+1當(dāng)x(,1).由f(x)的單調(diào)性,易知f(x)是(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.六、答:令f(x)=x+1,顯然，f(x)是{奇數(shù)所有}到{偶數(shù)所有}的一一映射.7、答：因?qū)?。有這樣，故。八、答：，可測(cè)九、答：因1°分2°時(shí)3°時(shí)故cf在E上可測(cè)。10、答：設(shè)E是L可測(cè)的，F(xiàn)是集，則存在零測(cè)集N，使E=F+N1一、答：因而[0,1]，，都可測(cè)，故可測(cè)。1二、答：有限集，可列集，康脫爾集。分五、計(jì)算題一、解：由于有理數(shù)集的測(cè)度為0，故在上幾乎到處有這樣運(yùn)用積分的性質(zhì)得：=。二、解：由于有理數(shù)集的測(cè)度為0，故在上幾乎到處有這樣運(yùn)用積分的性質(zhì)得：=。3、解：由于有理數(shù)集的測(cè)度為0，故在上幾乎到處有。這樣運(yùn)用積分的性質(zhì)得：=。4、解：由于，故在上幾乎到處有這樣運(yùn)用積分的性質(zhì)得：=。五、解：由于，故在上幾乎到處有這樣運(yùn)用積分的性質(zhì)得：=。六、解：由于，故在上幾乎到處有。這樣運(yùn)用積分的性質(zhì)得：=。7、解：令