2024—2025學年第一學期期末學業質量監測八年級數學試題溫馨提示：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共8頁．滿分120分．考試用時120分鐘．2．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的學校、姓名、準考證號填寫在答題卡中規定的位置上．3．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答案不能答在試題卷上．4．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．親愛的同學們：初二一學期的學習一定讓你收獲了不少新知識，提升了數學解題能力，希望大家冷靜審題、細致作答，考出自己的最佳水平！第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、選擇題（本題共10個小題，在每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，每小題3分，滿分30分）1.下列四種與防溺水相關的標志中，是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.答案：D解：由定義得，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．D圖形可以沿一條直線重合，故選：D．2.一個三角形的兩邊長為2和6，若第三邊長為偶數，則第三邊長為（）A.8 B.4 C.6 D.2答案：C解：設第三邊邊長為x，根據三角形的三邊關系可得：，即又∵第三邊長是偶數，∴，即第三邊長為6．故選C．3.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.答案：A解：A.是最簡二次根式，符合題意；B．，則該選項不是最簡二次根式，不符合題意；C．，則該選項不是最簡二次根式，不符合題意；D．，則該選項不是最簡二次根式，不符合題意．故答案為：A．4.下列計算正確的是（）A. B.C. D.答案：A解：A.，結論正確，故符合題意；B.，結論錯誤，故不符合題意；C.，結論錯誤，故不符合題意；D.，結論錯誤，故不符合題意；故選：A．5.如圖，在中，，D是上一點，連接，若，則的長為（）A.6 B.8 C.12 D.16答案：D解：∵，∴，∴，∴，在中，，∴，故選：D．6.根據下列條件，不能畫出唯一確定的的是（）A. B.C. D.答案：C解：A.符合全等三角形的判定定理，能畫出唯一的，故本選項不符合題意；B.符合全等三角形的判定定理，能畫出唯一的，故本選項不符合題意；C.，不能判定全等三角形，即不能畫出唯一的，故本選項符合題意；D.，符合全等直角三角形的判定定理，能畫出唯一的，故本選項不符合題意．故選：C．7.若在實數范圍內有，，，則方程的解是（）A. B. C. D.答案：A解：∵，，∴，，∴，，∴，∴原方程變為，兩邊都乘以，得，解得，檢驗：當時，，∴是分式方程的解．故選A．8.如圖，在平面直角坐標系中，已知點，垂足為C，，則點A的坐標為（）A. B.C. D.答案：C解：過點分別作軸，軸，垂足為，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵在第二象限，∴，故選：C．9.如下圖楊輝三角給出了（，2，3，4…）的展開式（按a的次數由大到小的順序）的系數規律．例如，此三角形中第3行的3個數1，2，1恰好對應著的展開式中的各項系數；第4行的4個數1，3，3，1恰好對應著的展開式中的各項系數．依此規律，的展開式中項的系數是（） 1…………………1……………11……121………………1331………14641A.6 B.10 C.15 D.20答案：D解：∵ 1…………………1……………11……121………………1331………14641……∴的各項展開式的系數除首尾兩項都是1外，其余各項系數都等于的相鄰兩個系數的和，∴，∴的系數為20．故選D．10.如圖，中，的平分線與邊的垂直平分線相交于點D，交的延長線于點E，于F，現有下列結論：①；②；③；④平分；⑤．其中，正確的結論是（）A.①④⑤ B.①②③ C.①②④③ D.②③⑤答案：B解：①如圖：連接．∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵∴，即①正確；②∵的平分線與邊的垂直平分線相交于點D，∴，又∵，∴，∴，故②正確；③又∵，，∴，∴，故③正確；④∵，∴，即：平分，∴不能判定平分．故④錯誤．⑤∵，∴，即⑤錯誤．綜上，正確的①②③．故選B．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（每小題3分，共計18分）11.分解因式：4x2–1=_______________．答案：（2x+1）（2x–1）解：原式=（2x+1）（2x－1）．故答案為：（2x+1）（2x–1）．12.若分式的值為零，則x的值為_____．答案：1解：因為分式的值為零，所以，解得：．故答案為：1．13.如圖，中，若，O為三條角平分線的交點，則______度．答案：解：由題意得，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．14.化簡：______．答案：解：原式，故答案為：．15.如圖，在中，，D為的中點，P為上一動點，連接，則的最小值是______．答案：12解：如圖，作關于的對稱點，連接，，，，，，∴，是關于的對稱點，根據軸對稱的性質可知，，是的垂直平分線，，，是等邊三角形，，為的中點，，，且，，是的垂直平分線，，，垂線段最短，，即：，最小值是，故答案為：．16.古希臘幾何學家海倫和我國宋代數學家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫－秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記，那么三角形的面積為．如圖，在中，所對的邊分別記為a、b、c，若，則的面積為______．答案：解：∵，∴，∴．故答案為：．三、解答題（共計72分）17.（1）計算：；（2）如圖，點E，F是線段上的兩點，且，，．求證：．答案：（1）（2）見詳解（1）解：原式；（2）證明：，，即：，，，在和中，（），，．18.計算：（1）解方程：（2）如圖，已知是的角平分線，，垂足為E．相交于點M，，試求的度數．答案：（1）（2）【小問1詳解】解：，，，，，解得：，檢驗，當時，，所以，原分式的解為．【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，解得：．19.（1）計算：（2）已知，在中，，．請利用直尺和圓規，作的角平分線交于點D，作的垂直平分線，垂足為E，與交于點F，并求的度數．答案：（1）；（2）（1）解：．（2）解：根題意作圖如下：∵平分，，∴，∵垂直平分線，∴，∴．20.（1）先化簡，再求值：，其中；（2）已知，，求的值．答案：（1）；；（2）（1）解：，，，，，，∵，∴原式（2）解：∵，，∴，∴．21.如表是學習分式方程的應用時，老師板書的問題和愛國、愛民兩位同學不完整的解答過程．甲乙兩人分別從距離目的地和的兩地同時出發，甲的速度是乙速度的，結果甲比乙提前20分鐘到達目的地．愛國：；愛民：設乙的速度為，根據以上信息，解答下列問題．（1）愛國同學所列方程中的x表示______；（2）根據愛民同學設的未知數，列方程并解答本題．答案：（1）甲的速度（2）甲的速度為，乙的速度為【小問1詳解】解：由題意得，x表示甲的速度，故答案為：甲的速度；【小問2詳解】解：由題意得，解得：，經檢驗：是所列方程的解，且符合實際意義，（），甲的速度為，乙的速度為．22.已知：如圖，和都是等邊三角形，D是延長線上一點，與相交于點N，相交于點E，相交于點F．（1）求的度數；（2）判斷的形狀，并說明理由．答案：（1）（2）是等邊三角形，理由見解析【小問1詳解】解：∵和都是等邊三角形，，∴，∴，即在和中∴，∴，∵，，∴，∴．【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴∵，∴是等邊三角形．23.如圖，將邊長為的正方形剪出兩個邊長分別為a，b的正方形（陰影部分）．觀察圖形，解答下列問題：（1）根據題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個不同的代數式表示陰影部分的面積．方法1：______；方法2：______；把這種“同一圖形的面積，用兩種不同的方法求出的結果相等，從而構建等式，根據等式解決相關問題”的方法稱為“面積法”．（2）運用你發現的結論，解決下列問題：①已知，，求的值；②已知，求的值；（3）如圖，中，，點D為底邊上任意一點，，，垂足分別為點E，F，G，連接AD．判斷之間的數量關系．答案：（1）；．（2）①34；②．（3），理由見解析【小問1詳解】解：依題得：方法1：陰影部分面積即為邊長為和邊長為的正方形面積之和，即；方法2：陰影部分面積等于邊長為的正方形面積減去兩個長為a，寬為b的長方形面積，即．故答案為：；．【小問2詳解】解：∵，∴，∴，∵∴；②設，，則，，由（1）得：，∴∴．【小問3詳解】解：，理由如下：∵中，，∴，∵，∴，∵，∴，即．24.【課本內容】如圖1，連接的頂點A和它所對的邊的中點D，所得線段叫做的邊上的中線．【嘗試應用】學了這個知識后，愛棣遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．愛棣經過思考得到了如下的解決方法：如圖2，延長到E，使，連接，請你根據這個提示寫出證明“”的推理過程，并求出的取值范圍．反思：解題時，條件中若出現“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【問題處理】如圖3，已知是中邊上的中線，F