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第22頁(共22頁)2024-2025學年下學期初中數學北師大版(2024)七年級期中必刷常考題之平行線的性質一.選擇題(共5小題)1.(2025?長沙一模)世界上最早記載潛望鏡原理的古書,是公元前二世紀中國的《淮南萬畢術》.書中記載了這樣的一段話:“取大鏡高懸,置水盤于其下,則見四鄰矣”.現代潛艇潛望鏡是在20世紀初發明的.如圖是潛望鏡工作原理的示意圖,那么它所應用的數學原理是()A.內錯角相等,兩直線平行 B.同旁內角互補,兩直線平行 C.對頂角相等 D.兩點確定一條直線2.(2024秋?三原縣期末)如圖,直線a∥b,CD⊥AB于點D,若∠1=130°,則∠2等于()A.60° B.50° C.40° D.30°3.(2024秋?嶗山區期末)如圖,直線MN∥PQ,一個直角三角板ABC,其中∠BAC=30°,將三角板按如圖所示方式放置,頂點A,C分別落在直線PQ,MN上,AB是∠CAP角平分線,則∠1的度數為()A.45° B.35° C.30° D.25°4.(2024秋?禪城區期末)如圖,直線m∥n,一把含30°角的直角三角尺按所示位置擺放,若∠1=30°,則∠2的度數是()A.20° B.25° C.30° D.40°5.(2025?雁塔區校級模擬)已知直線a∥b,將一塊含30°角的直角三角板(∠BAC=30°)按如圖所示方式放置,并且頂點A,C分別落在直線a,b上,若∠1=22°,則∠2的度數是()A.38° B.45° C.58° D.60°二.填空題(共5小題)6.(2024秋?沈丘縣期末)將一副三角板中的兩塊直角三角尺按如圖方式放置(其中∠ABC=45°,∠D=60°),固定三角尺ABC,將三角尺BDE以每秒30°的速度繞點B按逆時針方向旋轉180°停止.在這個過程中,當運動時間為秒時,三角尺BDE的一邊與三角尺ABC的某一邊平行(不共線).7.(2024秋?衡陽期末)如圖,已知AB∥CD,EF∥BN,MN∥DE,則∠ABF+∠E+∠F+∠EPN+∠M+∠N+∠CDM=.8.(2024秋?寶應縣期末)在同一平面內,將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如圖方式擺放,若AB∥CD,則∠1的大小為°.9.(2024秋?巴中期末)為增強學生體質,感受中國的傳統文化,我校體育老師提出將國家級非物質文化遺產——“抖空竹”引入體育社團.圖1是某同學“抖空竹”時的一個瞬間,小明把它抽象成圖2的數學問題:已知AB∥CD,∠E=28°,∠ECD=114°,則∠A的度數是.10.(2024秋?陳倉區期末)如圖,已知AB∥CD,∠ABD=40°,BE平分∠ABC,且交CD于點D,則∠C的度數為.三.解答題(共5小題)11.(2024秋?德化縣期末)如圖,直線a∥b,∠3=60°,求∠1,∠2的度數.閱讀下面的解答過程,并填空(理由或數學式).解:∵a∥b(已知),∴∠1=∠4.∵∠4=∠3,又∠3=60°(已知),∴∠1=∠3=(等量代換).∵∠2+∠3=180°,∴∠2=(等式的性質).12.(2024秋?達州期末)如圖,在△ABC中,BE平分∠ABC,BE∥GF,∠1=∠2.(1)求證:DE∥BC;(2)若∠ADE=50°,求∠2的度數.13.(2024秋?上蔡縣期末)填空:如圖,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1,可得AD平分∠BAC.理由如下:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G(已知),∴∠ADC=∠EGC=90°().∴AD∥EG().∴∠1=∠2(),∠E=∠3().又∵∠E=∠1(),∴∠2=∠3().∴AD平分∠BAC().14.(2024秋?祁東縣期末)把下面解答過程中的理由或數學式補充完整.如圖,AD∥BC,∠1=∠B,∠2=∠3.試判斷:AF與DC的位置關系?并說明理由.解:AF與DC的位置關系是,理由如下:∵AD∥BC(已知),∴∠1=∠()又∵∠1=∠B(已知),∴∠B=∠(),∴AB∥DE(同位角相等,兩直線平行),∴∠2=∠().又∵∠2=∠3(已知),∴∠3=∠(等量代換).∴AF∥DC().15.(2024秋?新余期末)如圖1,已知:射線AF交CD于E,∠CEF+∠BAF=180°.(1)求證:AB∥CD.(2)如圖2,G為射線ED上一動點,直接寫出∠BAF,∠AFG,∠CGF之間的數量關系.(3)如圖3,在(2)的條件下,連接AG,延長FG交射線AB于H,N為線段AH上一動點.若AG平分∠BAF,GN平分∠HGE,∠NHG=30°時,求2∠AGN+∠FEG的值.

2024-2025學年下學期初中數學北師大版(2024)七年級期中必刷常考題之平行線的性質參考答案與試題解析題號12345答案ACCCA一.選擇題(共5小題)1.(2025?長沙一模)世界上最早記載潛望鏡原理的古書,是公元前二世紀中國的《淮南萬畢術》.書中記載了這樣的一段話:“取大鏡高懸,置水盤于其下,則見四鄰矣”.現代潛艇潛望鏡是在20世紀初發明的.如圖是潛望鏡工作原理的示意圖,那么它所應用的數學原理是()A.內錯角相等,兩直線平行 B.同旁內角互補,兩直線平行 C.對頂角相等 D.兩點確定一條直線【考點】平行線的判定與性質;直線的性質:兩點確定一條直線.【專題】線段、角、相交線與平行線;應用意識.【答案】A【分析】本題考查了平行線的判定.熟練掌握內錯角相等,兩直線平行是解題的關鍵.【解答】解:由題意知,所應用的數學原理是內錯角相等,兩直線平行,故選:A.【點評】本題考查了平行線的判定.熟練掌握內錯角相等,兩直線平行是解題的關鍵.2.(2024秋?三原縣期末)如圖,直線a∥b,CD⊥AB于點D,若∠1=130°,則∠2等于()A.60° B.50° C.40° D.30°【考點】平行線的性質;垂線.【專題】線段、角、相交線與平行線;推理能力.【答案】C【分析】由平行線的性質推出∠ABC+∠1=180°,求出∠ABC=50°,由直角三角形的性質求出∠2=40°.【解答】解:∵a∥b,∴∠ABC+∠1=180°,∵∠1=130°,∴∠ABC=50°,∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠2=90°,∴∠2=40°,故選:C.【點評】本題考查平行線的性質,垂線,關鍵是由平行線的性質推出∠ABC+∠1=180°.3.(2024秋?嶗山區期末)如圖,直線MN∥PQ,一個直角三角板ABC,其中∠BAC=30°,將三角板按如圖所示方式放置,頂點A,C分別落在直線PQ,MN上,AB是∠CAP角平分線,則∠1的度數為()A.45° B.35° C.30° D.25°【考點】平行線的性質.【專題】線段、角、相交線與平行線;運算能力.【答案】C【分析】根據角平分線的定義可得:∠CAP=60°,然后利用平行線的性質可得∠ACM=120°,再利用角的和差關系進行計算即可解答.【解答】解:∵AB是∠CAP角平分線,∴∠CAP=2∠BAC=2×30°=60°,∵MN∥PQ,∴∠ACM=180°﹣∠CAP=120°,∵∠ACB=90°,∴∠1=∠ACM﹣∠ACB=120°﹣90°=30°,故選:C.【點評】本題考查了平行線的性質,熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.4.(2024秋?禪城區期末)如圖,直線m∥n,一把含30°角的直角三角尺按所示位置擺放,若∠1=30°,則∠2的度數是()A.20° B.25° C.30° D.40°【考點】平行線的性質.【專題】線段、角、相交線與平行線;運算能力.【答案】C【分析】根據已知易得:∠DCB=120°,然后利用平行線的性質可得∠ABC=60°,從而利用角的和差關系進行計算即可解答.【解答】解:如圖:∵∠1=30°,∠4=90°,∴∠DCB=∠1+∠4=120°,∵直線m∥n,∴∠ABC=180°﹣∠BCD=60°,∵∠3=30°,∴∠2=∠ABC﹣∠3=30°,故選:C.【點評】本題考查了平行線的性質,熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.5.(2025?雁塔區校級模擬)已知直線a∥b,將一塊含30°角的直角三角板(∠BAC=30°)按如圖所示方式放置,并且頂點A,C分別落在直線a,b上,若∠1=22°,則∠2的度數是()A.38° B.45° C.58° D.60°【考點】平行線的性質.【專題】線段、角、相交線與平行線;推理能力.【答案】A【分析】過點B作BD∥a,可得∠ABD=∠1=22°,a∥b,可得BD∥b,進而可求∠2的度數.【解答】解:如圖,過點B作BD∥a,∴∠ABD=∠1=22°,∵a∥b,∴BD∥b,∴∠2=∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣22°=38°.故選:A.【點評】本題考查了平行線的性質,解決本題的關鍵是掌握平行線的性質.二.填空題(共5小題)6.(2024秋?沈丘縣期末)將一副三角板中的兩塊直角三角尺按如圖方式放置(其中∠ABC=45°,∠D=60°),固定三角尺ABC,將三角尺BDE以每秒30°的速度繞點B按逆時針方向旋轉180°停止.在這個過程中,當運動時間為0.5或1.5或3.5或4.5或5秒時,三角尺BDE的一邊與三角尺ABC的某一邊平行(不共線).【考點】平行線的性質;平行線的判定.【專題】線段、角、相交線與平行線;幾何直觀.【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5.【分析】需要分類討論,當DE∥AB時,BD∥AC時,當DE∥AC時,當BE∥AC時,當DE∥BC時,分別畫出圖形,根據平行線的性質求解即可.【解答】解:當DE∥AB時,如圖1,此時∠ABE=∠E=30°,∴∠CBE=15°,t=15°÷30°=0.5;當BD∥AC時,如圖2,此時∠DBC=45°,t=45°÷30°=1.5;當DE∥AC時,如圖3,此時,∠EBC=60°+45°=105°,t=105°÷30°=3.5;當BE∥AC時,如圖4,此時∠EBC=90°+45°=135°,∴t=135°÷30°=4.5;當DE∥BC時,如圖5,此時∠EBC=90°+60°=150°,t=150°÷30°=5,故答案為:0.5或1.5或3.5或4.5或5.【點評】本題主要考查平行線的性質,分類討論思想和數形結合思想,根據題意進行正確的分類討論并作出圖形是解題關鍵.7.(2024秋?衡陽期末)如圖,已知AB∥CD,EF∥BN,MN∥DE,則∠ABF+∠E+∠F+∠EPN+∠M+∠N+∠CDM=360°.【考點】平行線的性質.【專題】線段、角、相交線與平行線;推理能力.【答案】360°.【分析】過P作PQ∥AB,再證明PQ∥CD,先證明∠E=∠EPB,∠ABF+∠F=∠ABP=∠BPQ,再證明∠N=∠NPD,∠M+∠CDM=∠CDP=∠DPQ,分別代入原式即可得到一個周角,問題得解.【解答】解:如圖,過P作PQ∥AB.∵AB∥CD,∴PQ∥CD.∵EF∥BN,∴∠F=∠FBP,∠E=∠EPB,∵PQ∥AB,∴∠ABP=∠BPQ,∴∠ABF+∠F=∠ABP=∠BPQ,∵MN∥DE,∴∠M=∠MDE,∠N=∠NPD,∵PQ∥CD,∴∠CDP=∠DPQ,∴∠M+∠CDM=∠CDP=∠DPQ,∴∠ABF+∠E+∠F+∠EPN+∠M+∠N+∠CDM=∠EPB+∠BPQ+∠EPN+∠NPD+∠DPQ=360°.故答案為:360°.【點評】本題考查了平行線的性質,關鍵是平行線性質的熟練掌握.8.(2024秋?寶應縣期末)在同一平面內,將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如圖方式擺放,若AB∥CD,則∠1的大小為30°.【考點】平行線的性質;垂線.【專題】線段、角、相交線與平行線;運算能力.【答案】30.【分析】先利用平行線的性質可得∠2=∠CDB=60°,再根據垂直定義可得:∠CDE=90°,然后利用平角定義進行計算即可解答.【解答】解:如圖:∵AB∥CD,∴∠2=∠CDB=60°,∵CD⊥DE,∴∠CDE=90°,∴∠1=180°﹣∠CDB﹣∠CDE=30°,故答案為:30.【點評】本題考查了平行線的性質,垂線,熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.9.(2024秋?巴中期末)為增強學生體質,感受中國的傳統文化,我校體育老師提出將國家級非物質文化遺產——“抖空竹”引入體育社團.圖1是某同學“抖空竹”時的一個瞬間,小明把它抽象成圖2的數學問題:已知AB∥CD,∠E=28°,∠ECD=114°,則∠A的度數是86°.【考點】平行線的性質.【專題】線段、角、相交線與平行線;推理能力.【答案】86°.【分析】延長DC交AE于點F,根據三角形的外角的性質得出∠ECD=∠E+∠EFD,求出∠EFD=86°,再根據平行線的性質得出答案.【解答】解:如圖所示:延長DC交AE于點F,根據題意,∠E=28°,∠ECD=114°,∴根據三角形的外角的性質得,∠ECD=∠E+∠EFD,即114°=28°+∠EFD,解得∠EFD=86°,∵AB∥CD,∴根據平行線的性質得,∠A=∠EFD=86°,所以∠A的度數為86°.故答案為:86°.【點評】此題主要考查了平行線的性質,熟記“兩直線平行,同位角相等”及三角形的外角性質是解題的關鍵.10.(2024秋?陳倉區期末)如圖,已知AB∥CD,∠ABD=40°,BE平分∠ABC,且交CD于點D,則∠C的度數為100°.【考點】平行線的性質.【專題】線段、角、相交線與平行線;推理能力.【答案】100°【分析】由角平分線的性質可求得∠ABC的大小,再由平行線的性質可得出∠C與∠ABC互補,可求出結論.【解答】解:∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD,∵∠ABD=40°,∴∠ABC=2×40°=80°,∵AB∥CD,∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°.故答案為:100°.【點評】本題主要考查了平行線的性質和角平分線的定義,掌握平行線的性質和角平分線的定義是解題的關鍵.三.解答題(共5小題)11.(2024秋?德化縣期末)如圖,直線a∥b,∠3=60°,求∠1,∠2的度數.閱讀下面的解答過程,并填空(理由或數學式).解:∵a∥b(已知),∴∠1=∠4兩直線平行,同位角相等.∵∠4=∠3對頂角相等,又∠3=60°(已知),∴∠1=∠3=60°(等量代換).∵∠2+∠3=180°,∴∠2=120°(等式的性質).【考點】平行線的性質;對頂角、鄰補角.【專題】線段、角、相交線與平行線;運算能力.【答案】兩直線平行,同位角相等;對頂角相等;60°;120°.【分析】先利用平行線的性質可得∠1=∠4,再利用對頂角相等可得∠4=∠3,從而可得∠1=∠3=60°,然后利用平角定義進行計算,即可解答.【解答】解:∵a∥b(已知),∴∠1=∠4兩直線平行,同位角相等,∵∠4=∠3對頂角相等,又∠3=60°(已知),∴∠1=∠3=60°(等量代換).∵∠2+∠3=180°,∴∠2=120°(等式的性質),故答案為:兩直線平行,同位角相等;對頂角相等;60°;120°.【點評】本題考查了平行線的性質,對頂角、鄰補角,根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵.12.(2024秋?達州期末)如圖,在△ABC中,BE平分∠ABC,BE∥GF,∠1=∠2.(1)求證:DE∥BC;(2)若∠ADE=50°,求∠2的度數.【考點】平行線的判定與性質.【專題】線段、角、相交線與平行線;推理能力.【答案】(1)見解析;(2)25°.【分析】(1)先根據“兩直線平行,同位角相等”得出∠2=∠CBE,結合∠1=∠2可得出∠1=∠CBE,然后根據“內錯角相等,兩直線平行”即可得證;(2)先根據“兩直線平行,同位角相等”求出∠ABC的度數,然后根據角平分線定義求出∠CBE的度數,最后根據“兩直線平行,同位角相等”即可求解.【解答】(1)證明:∵BE∥GF,∴∠2=∠CBE,∵∠1=∠2,∴∠1=∠CBE,∴DE∥BC;(2)解:∵DE∥BC,∠ADE=50°,∴∠ABC=∠ADE=50°,∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=12∠ABC=12∵BE∥GF,∴∠2=∠CBE=25°,即∠2的度數為25°.【點評】本題考查了平行線的判定與性質,解題的關鍵是平行線判定定理的應用.13.(2024秋?上蔡縣期末)填空:如圖,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1,可得AD平分∠BAC.理由如下:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G(已知),∴∠ADC=∠EGC=90°(垂直的定義).∴AD∥EG(同位角相等,兩直線平行).∴∠1=∠2(兩直線平行,內錯角相等),∠E=∠3(兩直線平行,同位角相等).又∵∠E=∠1(已知),∴∠2=∠3(等量代換).∴AD平分∠BAC(角平分線的定義).【考點】平行線的判定與性質.【專題】線段、角、相交線與平行線;推理能力.【答案】垂直的定義;同位角相等,兩直線平行;兩直線平行,內錯角相等;兩直線平行,同位角相等;已知;等量代換;角平分線的定義.【分析】由垂直可證明AD∥EG,由平行線的性質可得到∠1=∠2=∠3=∠E,可證得結論,據此填空即可.【解答】證明:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G(已知),∴∠ADC=∠EGC=90°(垂直的定義),∴AD∥EG(同位角相等,兩直線平行),∴∠1=∠2(兩直線平行,內錯角相等),∠E=∠3(兩直線平行,同位角相等),又∵∠E=∠1(已知),∴∠2=∠3(等量代換),∴AD平分∠BAC(角平分線的定義).故答案為:垂直的定義;同位角相等,兩直線平行;兩直線平行,內錯角相等;兩直線平行,同位角相等;已知;等量代換;角平分線的定義.【點評】本題主要考查平行線的判定和性質,掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵,即①兩直線平行?同位角相等,②兩直線平行?內錯角相等,③兩直線平行?同旁內角互補,④a∥b,b∥c?a∥c.14.(2024秋?祁東縣期末)把下面解答過程中的理由或數學式補充完整.如圖,AD∥BC,∠1=∠B,∠2=∠3.試判斷:AF與DC的位置關系?并說明理由.解:AF與DC的位置關系是AF∥DC,理由如下:∵AD∥BC(已知),∴∠1=∠DEC(兩直線平行,內錯角相等)又∵∠1=∠B(已知),∴∠B=∠DEC(等量代換),∴AB∥DE(同位角相等,兩直線平行),∴∠2=∠EGF(兩直線平行,同位角相等).又∵∠2=∠3(已知),∴∠3=∠EGF(等量代換).∴AF∥DC(同位角相等,兩直線平行).【考點】平行線的判定與性質.【專題】線段、角、相交線與平行線;推理能力.【答案】AF∥DC;DEC;兩直線平行,內錯角相等;DEC;等量代換;EGF;兩直線平行,同位角相等;EGF;同位角相等,兩直線平行.【分析】根據平行線的判定與性質求解即可.【解答】解:AF與DC的位置關系是AF∥DC,理由如下:∵AD∥BC(已知),∴∠1=∠DEC(兩直線平行,內錯角相等)又∵∠1=∠B(已知),∴∠B=∠DEC(等量代換),∴AB∥DE(同位角相等,兩直線平行),∴∠2=∠EGF(兩直線平行,同位角相等).又∵∠2=∠3(已知),∴∠3=∠EGF(等量代換).∴AF∥DC(同位角相等,兩直線平行).故答案為:AF∥DC;DEC;兩直線平行,內錯角相等;DEC;等量代換;EGF;兩直線平行,同位角相等;EGF;同位角相等,兩直線平行.【點評】此題考查了平行線的判定與性質,熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵.15.(2024秋?新余期末)如圖1,已知:射線AF交CD于E,∠CEF+∠BAF=180°.(1)求證:AB∥CD.(2)如圖2,G為射線ED上一動點,直接寫出∠BAF,∠AFG,∠CGF之間的數量關系.(3)如圖3,在(2)的條件下,連接AG,延長FG交射線AB于H,N為線段AH上一動點.若AG平分∠BAF,GN平分∠HGE,∠NHG=30°時,求2∠AGN+∠FEG的值.【考點】平行線的判定與性質.【答案】(1)答案見解答過程;(2)∠AFG+∠CGF+∠BAF=180°,理由見解答過程;(3)150°.【分析】(1)先由∠CEF=∠AED,∠CEF+∠BAF=180°,得∠AED+∠BAF=180°,據此根據平行線的判定進可得出結論;(2)由(1)可知∠AED+∠BAF=180°,再根據三角形的外角定理得∠AED=∠AFG+∠CGF,據此可得出∠BAF,∠AFG,∠CGF之間的數量關系;(3)設∠HAG=α,∠AGN=β,由(1)可知AB∥CD,則∠NHG+∠HGE=180°,∠AGC=∠HAG=α,再根據∠NHG=30°得∠HGE=150°,然后根據AG平分∠BAF得∠BAF=2α,則∠FEG=∠BAF=2α,再由GN平分∠HGE得∠NGE=75°,即α+β=75°,據此可求出2∠AGN+∠FEG的值.【解答】(1)證明:∵射線AF交CD于E,∴∠CEF=∠AED,∵∠CEF+∠BAF=180°,∴∠AED+∠BAF=180°,∴AB∥CD;(2)解:∠BAF,∠AFG,∠CGF之間的數量關系是:∠AFG+∠CGF+∠BAF=180°,理由如下:由(1)可知:∠AED+∠BAF=180°,又∵∠AED=∠AFG+∠CGF,∴∠AFG+∠CGF+∠BAF=180°,(3)解:設∠HAG=α,∠AGN=β,由(1)可知:AB∥CD,∴∠NHG+∠HGE=180°,∠AGC=∠HAG=α,∵∠NHG=30°,∴∠HGE=150°,∵AG平分∠BAF,∴∠BAF=2α,∵AB∥CD,∴∠FEG=∠BAF=2α,∵GN平分∠HGE,∴∠NGE=12∠HGE=12即∠AGC+∠AGN=75°,∴α+β=75°,∴2∠AGN+∠FEG=2β+2α=2(α+β)=150°.【點評】此題主要考查了平行線的判定和性質,角的計算,角平分線的定義,熟練掌握平行線的判定和性質,角的計算,理解角平分線的定義是解決問題的關鍵.

考點卡片1.直線的性質:兩點確定一條直線(1)直線公理:經過兩點有且只有一條直線.簡稱:兩點確定一條直線.(2)經過一點

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