2024年中考數學真題專題分類精選匯編

專題22圖形的相似（含位似）

一、選擇題

1.（2024江蘇連云港）下列網格中各個小正方形的邊長均為1,陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、

丁，其中是相似形的為（）

一HBiB

甲乙內丁

A,甲和乙B,乙和丁C.甲和丙D.甲和丁

【答案】D

【解析】本題考查相似圖形，根據對應角相等，對應邊對應成比例的圖形是相似圖形結合正方形的性

質，進行判斷即可.

由圖可知，只有選項甲和丁中的對應角相等，且對應邊對應成比例，它們的形狀相同，大小不同，是

相似形.

故選D.

2.（2024四川內江）已知一BC與△44。相似，且相似比為1:3,則。與△44。的周長

比為（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

【答案】B

【解析】本題主要考查了相似三角形的性質，熟知相似三角形周長之比等于相似比是解題的關鍵.

vAABC與△44。相似，且相似比為1：3,

“5C與△44G的周長比為1：3,

故選B.

3.（2024重慶市B）若兩個相似三角形的相似比為1:4,則這兩個三角形面積的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】D

【解析】本題主要考查了相似三角形的性質，根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方進行求解

即可.

:兩個相似三角形的相似比為1:4,

，這兩個三角形面積的比是I2：42=1:16.

故選：D.

4.（2024黑龍江綏化）如圖，矩形045C各頂點的坐標分別為。（0,0）,4（3,0）,5（3,2）,。（0,2）,

以原點。為位似中心，將這個矩形按相似比!縮小，則頂點8在第一象限對應點的坐標是（）

3

A.（9,4）B.（4,9）

【答案】D

【解析】本題考查了位似圖形的性質，根據題意B橫縱的坐標乘以上,即可求解.

3

依題意，5（3,2）,以原點。為位似中心，將這個矩形按相似比;縮小，則頂點8在第一象限對應點

的坐標是

故選：D.

5.（2024湖南省）如圖，在中，點￡>,￡分別為邊45,ZC的中點.下列結論中，錯誤的

是（）

ADE//BCB.AADEs^ABCC.BC=2DED.S△./LDUI-E,=-2S.BC

【答案】D

【解析】本題考查了三角形中位線的性質，相似三角形的判定和性質，由三角形中位線性質可判斷

A、C；由相似三角形的判定和性質可判斷B、D,掌握三角形中位線的性質及相似三角形的判定和

性質是解題的關鍵.

【詳解】：點。，E分別為邊AB,4C的中點,

DE//BC,BC=IDE,故A、C正確；

?1,DE//BC,

:.AADEs^ABC,故B正確;

?1,LADEs^ABC，

■-S.ADE=^ABC,故D錯誤;

故選：D.

6.（2024山東威海）如圖，在YABCDdp,對角線/C,BD交于點O,點E在BCk,點F在CD

上，連接AF,EF,EF交4c于點、G.下列結論錯誤的是（）

B.^AEVBC,AFLCD,AE=AF,則￡/〃6。

C.若EF〃BD,CE=CF,則ZEAC=ZFAC

D.AB=AD,AE=AF,則EF//BD

【答案】D

【解析】本題考查了相似三角形的性質與判定，菱形的性質與判定，垂直平分線的性質，全等三角形

的性質與判定；根據相似三角形的性質與判定即可判斷A,根據題意可得四邊形C4是N5CD的角

平分線，進而判斷四邊形48CD是菱形，證明RtANCE也RtA4FC可得CE=C/則ZC垂直平分

EF,即可判斷B選項，證明四邊形48CD是菱形，即可判斷C選項，D選項給的條件，若加上

BE=DF,則成立，據此，即可求解.

【詳解】解：：四邊形4SCO是平行四邊形，

/.AD=BC,AB=CD

CEADCEBC

A.一=一，即一=一，又/ECF=4BCD,

CFABCFCD

：.ACEFsACBD

ZCEF=ZCBD

：.EF//BD,故A選項正確，

B.^AELBC,AFLCD,AE=AF,

...C4是N8CD的角平分線，

ZACB=ZACD

???AD//BC

：.ADAC=ZACB

：.ADAC=ZDCA

：.AD=DC

...四邊形48CD是菱形，

，AC1BD

在RtAZCE,RtA4FC中，

'AE=AF

<AC=AC

/.Rt^ZCE也RtA4FC

CE=CF

又,：AE=AF

：.AC±EF

/.EF//BD,故B選項正確，

C.VCE=CF,

ZCFE=ZCEF

,/EF//BD,

：.ZCBD=ZCEF,ZCDB=ZCFE

：.ZCBD=ZCDB

：.CB=CD

四邊形/BCD是菱形，

ACLBD,

又：EF//BD

ACLEF,

VCE=CF,

：./C垂直平分EF,

AE=AF

：.ZEAC=ZFAC,故C選項正確；

D.^AB=AD,則四邊形/BCD是菱形,

由=N尸，且=9時，

可得/C垂直平分E尸，

?/AC1BD

：.EF//BD,故D選項不正確

故選：D.

二、填空題

1.（2024江蘇鹽城）兩個相似多邊形的相似比為1：2,則它們的周長的比為______.

【答案】1：2#J

2

【解析】本題考查了相似多邊形的性質，根據相似多邊形周長之比等于相似比即可求解，掌握相似多

邊形的性質是解題的關鍵.

???兩個相似多邊形的相似比為1：2,

，它們的周長的比為1：2,

故答案為：1：2.

2.（2024云南省）如圖，N5與S交于點。，且/。〃助.若等黑點=:，則

OB+OD+BD2

AC

【解析】本題考查相似三角形的判定和性質，證明△/COs△5。。，根據相似三角形周長之比等

于相似比，即可解題.

AC//BD,

:.AACOSABDO,

.AC_OA+OC+AC1

"BD~OB+OD+BD2'

故答案為：y.

3.（2024四川成都市）如圖，在RtZk45C中，ZC=90°,2。是的一條角平分線，E為AD

中點，連接8E.若BE=BC,CD=2,則BD=

D

［答案］Vn+i

【解析】連接CE,過E作跖工CD于尸，設8￡>=x,EF=m,根據直角三角形斜邊上的中線性

質和等腰三角形的性質證得C尸=。尸=！(20=1,NEAC=NECA,NECD=NEDC=NBEC,

2

進而利用三角形的外角性質和三角形的中位線性質得到ZCED=2NCAE,AC=2EF=2m,證

明ACBESACED,利用相似三角形的性質和勾股定理得到加2=3+2%；根據角平分線的定義和相

似三角形的判定與性質證明AC48s△必E得到2加2=(x+l)(x+2),進而得到關于X的一元二次

方程，進而求解即可.

【詳解】連接C￡，過￡作￡尸工。￡)于尸，設3O=x,EF=m,

?：N4CB=90。,E為40中點，

CE-AE-DE,又CD=2,

CF=DF=-CD=1,NEAC=NECA,ZECD=ZEDC,

2

ZCED=2NCAE,AC=2EF=2m,

???BE=BC,

:./BEC=/ECB,則Z8EC=NEDC,又/BCE=/ECD,

：.KBESACED,

CECB

——=——，ZCBE=ZCED=2NCAE,

CDCE

：.CE2=C￡>-CS=2（2+x）=4+2x,

則加2=斯2=尊2_52=3+2步

VAD是AABC的一條角平分線，

ZCAB=2NCAE=ZCBE,又ZACB=ZBFE=90°,

△CABs小FBE9

.AC_BC

''~BF~~EF

...2Z!L=￡±Z,則2加2=(x+l)(x+2),

x+1m

：-2(3+2x)=(x+l)(x+2),gpx2-%-4=0.

解得/=舊+1(負值已舍去)，

2

故答案為：MZ±1.

2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形的中

位線性質、三角形的外角性質、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識，是一道填空壓軸題，有

一定的難度，熟練掌握三角形相關知識是解答的關鍵.

4.（2024湖北省）AZ）￡F為等邊三角形，分別延長陽，DE,EF,到點4B,。，使

DA=EB=FC,連接45,AC,BC,連接AF并延長交/C于點G.若AD=DF=2,貝!!

NDBF=,FG=.

【答案】①.30°##30度②.

55

【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，勾股定理.利用三角形的外角性

質結合E8=EF可求得NDAF=30°；作C818G交5G的延長線于點X,利用直角三角形的性

質求得CH=1,FH=日證明A/G/SACG〃，利用相似三角形的性質列式計算即可求解.

【詳解】解：：ADEF為等邊三角形，DA=EB=FC,

：.AD=DF=EB=EF=2,NDEF=ZDFE=60°,

...NDBF=ZEFB=-NDEF=30°,ZAFB=ZEFB+ZDFE=90°,ZEFB=ZGFC=30°,

2

作CHLBG交BG的延長線于點H,

A

：.CH=^CF=1,FH=^^3

,：ZAFB=ZH=90°,

：.AF//CH,

???小AGFs^CGH,

AFFG4FG

?------,即nn二二~尸，

CHGH1y/3-FG

解得EG=36，

5

故答案為：30°,-V3.

5

S]

5.（2024四川樂山）如圖，在梯形/BCD中，/。〃3C,對角線ZC和8。交于點O,若首幽=3,

、ABCD3

【解析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質等知識.熟練掌握平行線間的距離,

相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

s-AD-d

設4D,5c的距離為d,則謂幽2即迎=工，證明△ZOQSACOB,則

,△BCD-BCd3BC3

2

AD2

，計算求解即可.

^/\BOCBC

【詳解】解：設5C的距離為d，

ADd

S*21?n1

...△4BD=4------=-,即——=-,

SABCD-BC-d3BC3

2

AD〃BC,

：.ZADO=ZCBO,ZDAO=ZBCO,

AAODSACOB,

6.（2024河北省）如圖，AA5C的面積為2,為BC邊上的中線，點A,G，C2,C3是線段

的五等分點，點A,D-。2是線段的四等分點，點A是線段3片的中點.

（1）△/GR的面積為；

（2）△與。4。3的面積為.

【答案】①.1②.7

【解析】【分析】（1）根據三角形中線的性質得以4即=；S^BC=1，證明

AAQD^AACD（SAS）,根據全等三角形的性質可得結論；

⑵證明△48。段“B/XSAS）,得S△/2=%9=1,推出G、〃、81三點共線，得

S△陽G-S△陽A+黑/馬一2,繼而得出S△陽。4一4s△叫G一8,S△陰％=3s△典n=3,證明

4

^C3AD3^CAD,得/3功3=984^=9,推出S△仁烏=§8根3皿=12,最后代入

~SMC4D3+844與鼻即可.

【詳解】解：（1）連接用A、為口、4G、4c3、C3D3,

A45c的面積為2,為5C邊上的中線,

S&ABD-S—CD-QS&ABC-萬2-1,

.?點A,G，G，G是線段的五等分點，

AC=AC]=GG=C2c3=c3c4=1cc4)

.?點A,A，3是線段的四等分點,

AD=AD1=DQ、=DH3=—DD3,

.?點A是線段AB1的中點,

?.AB=AB.=-BB.,

121

在A4CQ和AZCD中,

AC,=AC

<NGg=ZCAD,

AD,=AD

：.AAQD^AACD(SAS),

,=S“CD=1，NC]D/=NCDA,

A4G。的面積為1,

故答案為：1;

(2)在△/耳A和△45。中,

ABX=AB

</B]AD]=ABAD,

ADX=AD

：.AABD(SAS),

S△典A=S￡ABD=1，NBRA=ABDA,

??,/&M+/S4=180。，

???ZBlDlA+ZC1D1A=180°f

???G、⑸三點共線,

S△陽G一§△陽A+-1+1—2,

AC,=GG=c2c3=c3c4,

'''S△陽c4=4s△陽G=4'2=8,

>=DQ2=D2D3,sAABR=i,

'''S△用A=3s△陽4=3x1=3,

在△/。3。3和△ZC￡>中，

?.?g=3=也，ZC.AD.=ACAD,

ACAD33

/."AD3s'AD,

=坐［=32=9,

S.CADIACJ

??%G/Z)3=^^ACAD=9x1=9,

AC,=GG=c2c3=c3c4,

44

x

,,S△g△=-^AC3AD,=y9=12,

?,^ABtc4D3=S△ACR+SAABR-SAAB1c4=12+3-8=7,

△用。4。3的面積為7,

【點睛】本題考查三角形中線的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等分點

的意義，三角形的面積.掌握三角形中線的性質是解題的關鍵.

7.(2024武漢市)如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由

四個全等的直角三角形和中間的小正方形"AP。拼成的一個大正方形48CD.直線"P交正方形

45CD的兩邊于點E,F,記正方形48CD的面積為E，正方形"AP。的面積為邑.若

5,

BE=kAE(k>1),則用含左的式子表示吩的值是

A

E

F

B*C

k2+\

【答案】

(1-IP

【解析】作EG_LNN交ZN于點G,不妨沒MN=a,設￡G=1,通過四邊形MVP。是正方形,

推出NEMG=NPAW=45°,得到EG=MG=1,然后證明AZEGSA/BN,利用相似三角形對

Ap1/G1

應邊成比例，得到一-=—=--=——，從而表示出ZG,"N的長度，最后利用

ABBNANk+1

s

2222

E=AB=BN+AN和S2=MN=/表示出正方形ABCD和MNPQ的面積，從而得到.

【詳解】解：作EGLNN交ZN于點G,不妨設MN=a,設EG=1

?.?四邊形MAP。是正方形

ZPMN=45°

NEMG=NPMN=45°

EG=MG=1

在△NEG和A/BN中，ZEAG=ZBAN,ZAGE=ZANB=90°

:.AAEG^AABN

AEEGAG

"AB~BN~AN

?/BE=kAE(k>1)

:.AB=AE+BE=AE(k+l)

.AE1-AG1

"AB~BN~AN^k+\

:.BN=l+k

由題意可知，AABNdDAM

:.BN=AM=l+k

:.AG=AM-GM=l+k-X=k

.-GAGk1

"AN^AM+MN~k+l+a~k+1

a—k~—1

AN^AG+GM+MN=k+l+k2-l=k2+k

：.正方形ABCD的面積E=AB-=BN2+AN2=（k+1）2+（V+kf=（k+1）2（k~+1）,

正方形MNPQ的面積邑=MN2=/=（公一i）2=（左+1）2*—ip

.E二（左+1）2街+1）

-

■-52（左+1）2（A—1）2

'：k>\

k+1）2WO

,HF+i

?瓦一（01）2；

k-+\

故答案為：rr-

（I）

【點睛】本題考查了弦圖，正方形的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，正方形的

面積，勾股定理，熟練掌握以上知識點并能畫出合適的輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

三、解答題

1.（2024湖北省）小明為了測量樹N5的高度，經過實地測量，得到兩個解決方案：

方案一：如圖（1）,測得。地與樹48相距10米，眼睛。處觀測樹Z5的頂端A的仰角為32。：

方案二片如圖（2）,測得C地與樹Z5相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達點E,眼睛。

在鏡子C中恰好看到樹N5的頂端A.

已知小明身高1.6米，試選擇一個方案求出樹22的高度.（結果保留整數，tan32°a0.64）

【答案】樹45的高度為8米

【解析】本題考查了相似三角形的實際應用題，解直角三角形的實際應用題.

方案一：作DEJ.AB，在Rta/r>￡中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射規律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.

【詳解】解：方案「：作DEJ.AB,垂足為E,

則四邊形BCQE是矩形，

￡>￡=8C=10米，

在Rtz\ZD￡中，ZADE=32°,

AAE=DE-tan32°?10x0.64=6.4（米），

樹48的高度為64+1.6=8米.

方案二：根據題意可得N/CB=/DCE,

ZB=ZE=90°,

：.AACB^DCE

ABBCAB10

——=——，即an——=——

DECE1.62

解得：AB=8米，

答：樹48的高度為8米.

2.（2024武漢市）問題背景：如圖（1）,在矩形48CD中，點E,E分別是48,BC的中點，

連接AD,EF,求證：ABCDS^FBE.

問題探究：如圖（2）,在四邊形/BCD中，AD//BC,/BCD=90。,點E是N3的中點，點尸

在邊上，AD=2CF,EF與BD交于點、G,求證：BG=FG.

EG

問題拓展：如圖（3）,在“問題探究”的條件下，連接NG,AD=CD,AG=FG,直接寫出一

GF

的值.

A_____________D4________DX__________D

FF/E/\

CB

圖⑴圖(2)圖⑶

【答案】問題背景：見解析；問題探究：見解析；問題拓展:

5

【解析】【分析】問題背景：根據矩形的性質可得48=CD,ZEBF=ZC=90°,根據點E,F分

BEBF1

別是25,的中點，可得一=—=—,即可得證;

ABBC2

問題探究：取5。的中點〃，連接EH,HC,得￡女是△48。的中位線，根據已知條件可得9平

行且等于尸C,進而可得ERC"是平行四邊形，得EF〃HC,則NGFB=NNC8,根據直角三角

形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出=進而可得=,等量代換可得

NGBF=NGFB,等角對等邊，即可得證；

問題拓展：過點下作則四邊形VFCD是矩形，連接/尸，根據已知以及勾股定理得

出0竺=正；根據色）的結論結合已知可得GZ=GP=G3,證明ER垂直平分25,進而得出

AF5

FA=FB,證明A4FG之ABFG,進而證明ABEGSAEA",進而根據相似三角形的性質，即可

求解.

【詳解】問題背景：??,四邊形4SCO是矩形，

/.AB=CD,ZEBF=ZC=90°,

,:E,E分別是48,5C的中點

?BEBF_1

"AB~BC~2'

BEBF1

即nn---=----=—,

CDBC2

：.ABCDs^FBE；

問題探究：如圖所示，取5。的中點〃，連接EH,HC,

是48的中點，〃是的中點,

/.EH=-AD,EH//AD

2

又：AD=2CF,

：.EH=CF,

,ZAD//BC,

J.EH//FC

，四邊形E/fCF是平行四邊形，

EF//CH

/.ZGFB=ZHCB

又?.?/8Cr>=90°,a是8。的中點,

HC=-BD=BH

2

：.ZHBC=ZHCB

ZGBF=ZGFB,

：.GB=GF,

問題拓展：如圖所示，過點歹作JWLZ。，則四邊形MFCD是矩形，連接4F，

AM=MD=FC=-AD,

2

設ZD=2a,則“=CD=2a,AM=a

在RtA/A/F中，AF=b+（2a）2=氐，

,:AG=FG,由（2）BG-FG

/.AG=BG,

又,：E是AB的中點，

EF垂直平分AB

AF=BF,ZBEG=90°,

在AAFGQBFG中，

AG=BG

GF=GF

FA=FB

AAFG^BFG（SSS）

設ZGBF=ZGFB=a,則ZGAF=AGFA=a

ZBGE=ZGBF+NGFB=2a,

又：AD//BC

NMAF=NAFB=AGFA+ZGFB=2a

/.NMAF=ZEGB

又；ZBEG=ZAFM=90°

ABEGSAFMA

.EGEGZMa

,?布一瓦一而一甚一『

【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，直角三角形

中斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解

題的關鍵.

3.（2024四川廣元）數學實驗，能增加學習數學的樂趣，還能經歷知識“再創造”的過程，更是培

養動手能力，創新能力的一種手段.小強在學習《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基

本圖形（如圖1）產生了如下問題，請同學們幫他解決.

C

A

AD匕DB

圖1圖2

C

ADB

圖3圖4

在“BC中，點D為邊4B上一點連接3.

（1）初步探究

如圖2,若/ACD=/B,求證：.4c2=AD?AB:

（2）嘗試應用

如圖3,在（1）的條件下，若點。為N3中點，BC=4,求3的長;

（3）創新提升

如圖4,點E為CD中點，連接BE,若NCDB=NCBD=30。