6.3實數（壓軸題綜合測試卷）

學校:姓名：班級：考號：

題號一二三總分

得分

評卷人得分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.（3分）（23-24八年級下?山東荷澤?階段練習）已知3機-1和-2爪-2是某正數。的平方根，則。的值是

（）

A.3B.64C.3或一：D.64或旅

2.（3分）（23-24七年級下?福建福州?期中）若爪=6n（小〃是正整數），且10<而<12,則與實數低

的最大值最接近的數是（）

A.3B.4C.5D.6

3.（3分M24-25七年級上?浙江寧波?期中）對于實數a、6,定義min{a,6}的含義為：當a<b時,min{a,b}=a：

當a>b時，min{a,b]=b,如：min{l,—2}=—2.已知min{-a}=a,min{-\/40,b}=—\/40,且a和

6為兩個連續整數，貝U4a+6b的立方根值為（）

A.3B.-2C.-3D.-4

4.（3分）（23-24七年級下?湖北武漢?階段練習）已知衣一100）2+（798-xf=200,y=Vm+24+

Vm-1+V1-m,y-%的平方根是（）

A.±V3B.±2C.±V5D.±V6

5.（3分）（2023九年級下?山東棗莊?專題練習）設魚的整數部分是a,小數部分是6,豆的整數部分是c,

小數部分是d,若m=ad-be,則下列結論正確的是（）

A.—2<m<—1B.—1<m<0C.0<m<1D.1<m<2

6.（3分）（24-25八年級上?全國?期中）設S]=1+*+蠢,S2=1+蠢+專,S3=1+專+專，…,Sn=1+

*+（二）,則++…的值為（）

A.上B.叵C.24蘭D.23史

2552524

7.（3分）（23-24七年級下?湖北武漢?期中）若用田表示任意正實數的整數部分，例如：[2,5]=2,[2]=2,

[V2]=1,則式子—[遮]+[V4]-[V5]+???+[V2022]-[V2023]+[同方]的值為（）（式子中的

“-”依次相間）

A.22B.-22C.23D.—23

8.（3分）（24-25七年級上?重慶萬州?階段練習）下表記錄了一些數的平方：

X1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918

X2289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324

下列結論：①V302.76=17.4；②24-麗的整數部分為7；③30976的平方根是±176；④一定有4個整

數的算術平方根在17.4?17.5之間.其中正確的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.（3分）（23-24七年級下?安徽合肥?期中）對于任意實數x,y均能寫成其整數部分區與小數部分{行的和，

即x=[燈+{久},其中田稱為尤的整數部分，表示不超過x的最大整數，{行稱為x的小數部分.如7.12=

[7.12]+{7.12]=7+0.12,[7.12]=7,{7.12]=0.12,則下列結論正確的有（）

@[V15]=3；

②若x=8+=2+貝!j{x}xy=-1；

③若㈤=4,[y]=2則[x+y]所有可能的值為6和7；

?[x+y]<[x]+[y].

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.（3分）（23-24八年級上.福建泉州?期中）如圖是用4個相同的長方形與1個正方形鑲嵌而成的正方形圖

案.已知該圖案的總面積為機，小正方形的面積為小若用x、y表示長方形的兩邊長（光〉y）,請觀察圖

案，指出下列關系式：①x+y=yG4、②2y=4一低、③xy="二？、④若x=2y,則m=3n.這四個

4

A.1個B.2個C.3個D.4個

評卷人得分

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）

11.（3分）（23-24七年級下?湖北荊州?期中）在下列五個數中：①限;②俘;③弊@；@VZ25；⑤俘嫖，

71002V10000

介于魚及舊之間的無理數有.（填序號）

12.（3分）（24-25七年級上?重慶萬州?階段練習）已知數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡：后-

Vb^—J（a—b—c）2+g+c[=.

______iii1A

ab0c

13.（3分）（23-24八年級上?四川內江?階段練習）已知|5—3al+（b+2尸+5=3a—J（c—5）b,貝|c—

2b=.

14.（3分）（2024七年級上?全國?專題練習）任何實數a,可用⑷表示不超過a的最大整數，如⑷=4,[百]=1,

現對72進行如下操作，這樣對72只需進行3次操作后變為1,只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，

最大的是.

第一次,_第二次「第三次「

727[V72]t[V8]=2-[V2]=1

15.（3分）（23-24七年級下.廣西南寧?期末）在信息技術課上，好學的小明制作了一個關于實數雙因＜20）

的運算程序如圖所示，若輸出的y值為應時，則輸入的實數尤可取的負整數值是.

/輸入H7A計算|L21M金算數平方根^輸出y/

評卷人得分

三、解答題（本大題共8小題，滿分55分）

16.（8分）（24-25七年級上?山東淄博?期末）計算:

(1)V25+^^64+7(-2)2-|V3-2|；

(2)-12024+(-2)3X--

(3)(%-2)2=9；

(4)8(x+l)3—27=0.

17.（6分）（24-25七年級上?浙江杭州?期中）已知正數x的兩個平方根分別是3a-1和a+5,近的整數部分

為6,機和w互為相反數，p和q互為倒數.

（1）求a和b值.

（2）求等一pq+x的值.

18.（6分）（23-24八年級上.全國?單元測試）如圖，在數軸上點。、B、C所表示的數分別為0,1,V3,點B到

點C的距離與點。到點力的距離相等，設點4所表示的實數為x.

------------O1---------B-1-------C-1--->

o1JT

（1）求出實數久的值

（2）求k—V3|+\x+1|的值.

19.（6分）（24-25八年級上?四川甘孜?期中）大家知道應是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此魚的

小數部分我們不可能全部寫出來，于是小明用近-1來表示/的小數部分，因為迎的整數部分是1,將這

個數減去其整數部分，差就是其小數部分.請解答：

（1）舊的整數部分是，小數部分是;

（2）如果花的小數部分為°,后的整數部分為6,求a+b-有的值；

（3）已知：10+8=尤+外其中x是整數部分，y是小數部分，求孫的值.

20.（6分）（24-25八年級上?山西臨汾?階段練習）先閱讀材料，再回答問題:

/P=g=1

Vl3+23==3

Vl3+23+33==6

“3+23+33+43=/1Q2=10

（1）請根據以上規律寫出第七個等式；

（2）根據以上規律，若一個等式的最右邊的值是55,請寫出這個等式；

（3）根據以上規律，寫出第〃個等式.（用含有〃的式子表示，〃為整數，且九之1）

21.（6分）（23-24七年級下?全國?單元測試）根據所學知識，我們通過證明可以得到一個定理：一個非零有

理數與一個無理數的積仍為一個無理數，根據這個定理得到一個結論：若%+yy[m=0,其中%,y為有

理數，Vm是無理數，則%=0,y=0.

證明：???％+ySS=0，x為有理數，

???yy/m是有理數.

y為有理數，而是無理數，

y=0.

???x+OVm=0.

?,?%=0.

（1）若x+V2y=V2（l-V2）,其中x,y為有理數，則x=y=_；

（2）若x+yy[m=a+by[m,其中x,y,a,b為有理數，y/m是無理數，求證：x=a,y=b；

（3）已知后的整數部分為a,小數部分為b,x,y為有理數，a,b,%,y滿足17y+V17y+

V17（y-2V17X）=2ay/17+by/17,求％,y的值.

22.（8分）（23-24七年級下?福建福州?期中）單項式“次”可表示邊長為〃的正方形的面積，這就是數學中的

數形結合思想的體現.康康由此探究魚的近似值，以下是他的探究過程：

面積為2的正方形邊長為魚，可知/>1,因此設a=1+廠，畫出示意圖：圖中正方形的面積可以用兩個

正方形的面積與兩個長方形面積的和表示，即S正方形=/+2xr+l,另一方面S正方形=2,則V+2xr

+1=2,由于r2較小故略去，得2r+B2,則r=0.5,即魚切.5

（1）仿照康康上述的方法，探究近的近似值.（精確到0.01）（畫出示意圖，標明數據，并寫出求解過程）；

（2）繼續仿照上述方法，在（1）中得到的舊的近似值的基礎上，再探究一次，使求得的近的近似值更加

準確，精確到0.001（畫出示意圖，標明數據，并寫出求解過程）；

（3）綜合上述具體探究，已知非負整數"，m,b,若"<VF<“+1,且》=/+機，試用含相和”式子表

示VF的估算值.

23.（9分）（23-24七年級下?湖南長沙?階段練習）任意一個無理數介于兩個整數之間，我們定義，若無理數

T：m<T<n,（其中6為滿足不等式的最大整數，n為滿足不等式的最小整數），則稱無理數7的“麓外區間”

為（m,n）,如1<魚<2,所以魚的麓外區間為（1,2）.

（1）無理數-近的“麓外區間”是；

（2）若其中一個無理數的“麓外區間”為（爪，n）且滿足0<根+低<12,其中。匚乃是關于尤，y的二元

一次方程租％-ny=C的一組正整數解，求C值.

（3）實數x,y,加滿足關系式：J2%+3y—zn+,3%+4y—27n=+y—2023+J2023—%—y,求

TH的算術平方根的“麓外區間”.

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.（3分）（23-24八年級下?山東荷澤?階段練習）已知3爪-1和-2m-2是某正數。的平方根，則a的值是

（）

A.3B.64C.3或一1D.64或||

【思路點撥】

3爪-1與-2n1-2相等或者互為相反數，分別求出山的值，再求出37n-1的值，最后求出a的值.

【解題過程】

解：I.當3m—1和—2m—2相等時，3zn—1=-2zn—2,

解得：m=-

ry8

3m—1=——,

5

64

???a=—；

25

IL當3zn—1和—2m—2互為相反數時，3m-1+（-2血—2）=0,解得：m=3,

3m—1=8,

???a=64；

綜上所述：。的值是64或黑

故選：D.

2.（3分）（23-24七年級下?福建福州?期中）若m=6九（小〃是正整數），且10<<12,則與實數傷

的最大值最接近的數是（）

A.3B.4C.5D.6

【思路點撥】

本題考查算術平方根，無理數的估算，根據小的取值范圍確定"的取值，再根據機、71為整數，確定n的最大

值，再估算即可.解題的關鍵是掌握算術平方根的意義是正確估算的前提.

【解題過程】

解：10<y/m<12,

100<m<144,

50m,Q4

,?—<—<24,

36

Vm=6n,貝!JTI=—

6

即又<n<24,

3

又幾是正整數，

???幾的最大值為23,

???25比16更接近23,

???迎的最大值比較接近后，即比較接近5,

故選：C.

3.（3分）（24-25七年級上?浙江寧波?期中）對于實數a、6,定義min{a,6}的含義為：當a<b時,min{a,b}=a；

當a>6時，min{a,b}=b,如：min{l,—2]=—2.已知min{—"U,a}=a,min{—\/40,b]=—\/40,且a和

b為兩個連續整數，貝|4a+66的立方根值為（）

A.3B.-2C.-3D.-4

【思路點撥】

本題考查新定義下的實數運算、無理數的估算，求一個數的立方根；根據新定義求出a,b的范圍，進而求

得小。值，然后再代入求出4a+66的值，再求立方根即可.

【解題過程】

解：min{-V40,a}=a,min{—V40,b]=—V40

a<—V40<b

XV-V49<-V40<-V36,即一7〈一同〈一6

：a和b為兩個連續整數，

.,.a=—7,b=—6

4a+6b——28-36=-64

V—64=—4

.?.4a+66的立方根值為一4,

故選：D.

4.（3分）（23-24七年級下?湖北武漢.階段練習）已知衣一（00）2+（迎8-1=200,y=Vm+24+

Vm-1+V1-m,y-x的平方根是（）

A.±V3B.±2C.±V5D.±V6

【思路點撥】

本題考查了算術平方根的非負性以及有意義的條件、求一個數的平方根，先因為—100）2+

（V98-x）=200,得出xW98,%-100<0,即可化簡得=100-％+98-久=200,算出刀的值，因為

y='Jm+24+Vm—1+V1—m,得m=1,求出m的值、y的值，代入y—x,即可作答.

【解題過程】

解：*/J（x-100）2+"98一X）=200,

'.X<98,x—100<0,

則原式=io。-X+98-X=200,

解得久=一1，

Vy=7m+24+7m—1+—m,

m-1>0,1—m>0,

'.m=1,

則y=VI+24+Vl^l+Vl^l=V25=5,

".y—x=5—（—1）=6,

則y—x的平方根為±乃，

故選：D.

5.（3分）（2023九年級下?山東棗莊?專題練習）設班的整數部分是a,小數部分是b,it的整數部分是c,

小數部分是d,若m=ad-be,則下列結論正確的是（）

A.—2<m<—1B.—1<m<0C.0<m<1D.1<m<2

【思路點撥】

本題考查了無理數整數部分的有關計算，無理數的大小估算，實數的混合運算，熟練掌握實數的混合運算法

則及無理數的估算是解題的關鍵.先求無理數應和n的整數部分和小數部分，得出a,b,c,d的值，然后

代入m=ad-be中計算，求得zn=n-3魚，再進行實數的估算得出答案.

【解題過程】

解：???金的整數部分是。，小數部分是b,

a=1,b=V2—1,

???IT的整數部分是C,小數部分是d,

???c=3,d=ir—3,

m=ad-he=1x（Ti—3）—（V2—l）x3=ir—3—3V2+3=n—3A/2,

???n?3.14,3V2?3x1.414=4.23,

m=n-3V2?3.14-4.23=-1.09,

—2<m<—1.

故選A.

6.（3分）（24-25八年級上全國.期中）設品=1+1+套，$2=1+圭+,S3=1+翥+Sn=l+

專+（二廣，則J司+J扁+…+J跖的值為（）

A.—B.—C.24—D.23—

2552524

【思路點撥】

本題考查的是算術平方根及數字算式的變化規律，觀察式子的結果，得出一般規律.

【解題過程】

解：由題意得：A/^1=+1+7=|=1+1—

42

痘=/111Z=1-

++=F---,

、zq49623

醫=小+旨,=ii=:1+工—工，

34

醫=小+卜+0=葛=

45

一,

??圖-Jl+nz+（n+i）z-=1+i———,

nn+1

???7^1+------7^24

1111

=1+1--+14----+-…+1+———

1

=24+1--

故選：c.

7.(3分)(23-24七年級下?湖北武漢?期中)若用田表示任意正實數的整數部分，例如：[2.5]=2,[2]=2,

[V2]=1,則式子[/]一[遍]+[V4]-[V5]+-+[V2022]-[V2023]+[同的值為()(式子中的

“-”依次相間)

A.22B.-22C.23D.-23

【思路點撥】

本題主要考查了算術平方根的意義，本題是閱讀型題，正確理解新定義的含義是解題的關鍵.利用題干中

的新定義依次得到各數的整數部分，計算即可得出結論.

【解題過程】

解：???I2=1,22=4,

???魚與百之間共有2個數，

v22=4,32=9,

???必與展之間共有(2x2+1)個數，

v32=9,42=16,

①與舊之間共有(3x2+1)個數，

…，

2

???44=1936,452=2025,

內費與同方之間共有(2X44+1)個數，

[V2]-[V3]+[V4]-[V5]+■■■+[V2022]-[V2023]+[V2024]

=(1-1)+(2-24-2-2+2)+(-3+3—3+―?+3—3,)+…+(44-44+-+44)

5個27個389個44

=0+2—3+4—5+…+44

=2+1+1+-+1

21個1

=23.

故選C.

8.(3分)(24-25七年級上?重慶萬州?階段練習)下表記錄了一些數的平方：

1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918

X2289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324

下列結論：①4302.76=17.4；②24-所的整數部分為7；③30976的平方根是±176；④一定有4個整

數的算術平方根在17.4?17.5之間.其中正確的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【思路點撥】

本題考查的是平方根與算術平方根的含義，無理數的整數部分的含義，結合表格信息，根據平方根與算術

平方根，整數部分的含義逐一分析即可.

【解題過程】

解：V17.42=302.76,

.W302.76=17.4,故①正確；

?/17.32=299.29,,299,29<V300<4302.76

/.17.3<V300<17.4,

；.17<V300<18,

：.6<24-V300<7,

24-百面的整數部分為6,故②錯誤；

：17.62=309.76,

.1.1762=30976,

,（±176）2=30976,

...30976的平方根是±176,故③正確；

：17.42=302.76,17.52=306.25,

/.303,304,305,306的算術平方根在17.4?17.5之間.故④正確；

綜上：正確的有①③④.

故選：C

9.（3分）（23-24七年級下?安徽合肥?期中）對于任意實數x,y均能寫成其整數部分區與小數部分｛%｝的和，

即久=[燈+｛久｝,其中田稱為x的整數部分，表示不超過x的最大整數，｛久｝稱為光的小數部分.如7.12=

[7.12]+｛7.12]=7+0,12,[7.12]=7,｛7.12｝=0.12,則下列結論正確的有（）

①M虧|=3；

②若％=8+逐,丫=2+4，貝Kx｝xy=-1；

③若田=4,[y]=2則氏+y]所有可能的值為6和7；

?[x+y]<[x]+[y].

A.1個B.2個C.3個D.4個

【思路點撥】

本題考查了實數的運算.根據田表示不超過x的最大整數，{燈稱為》的小數部分，計算，再逐一判斷即可.

【解題過程】

解：VV9<V15<V16,

，3<V15<4,

???鹿]=3,①正確；

?/V4<V5<V9,

2<V5<3,

/.10<8+V5<11,

.\{x}=8+75-10=75-2,

?,?{%）xy=（V5-2）（2+V5）=1,②錯誤；

'/[x]<x<[x]+1,[y]<y<[y]+1,

[x]+[y]<x+y<[x]+1+[y]+1,

6<%+y<8,

6<[x+y]<8,

+所有可能的值為6和7,③正確；

若x=4.6,y=5.7,那么[x+y]=[4.6+4.7]=9,

[x]+[y]=[4.6]+[4.7]=4+4=8.

[x+y]>[x]+[y],故④不正確；

故選：B.

10.（3分）（23-24八年級上?福建泉州?期中）如圖是用4個相同的長方形與1個正方形鑲嵌而成的正方形圖

案.已知該圖案的總面積為相，小正方形的面積為若用x、y表示長方形的兩邊長（x〉y）,請觀察圖

案，指出下列關系式：①x+y=Sii、②2y='\/而一遍、③xy=攵3④若％=2y,則m=3n.這四個

結論中正確的有（）個

X

y

A.1個B.2個C.3個D.4個

【思路點撥】

根據該圖案的總面積、正方形的面積公式即可判斷①；根據小正方形的面積、正方形的面積公式可得返，

從而可得x—yW，再結合①即可判斷②;根據四個長方形的面積等于兩個正方形的面積之差即可判斷③;

先將用含的式子表示出來，由此即可判斷④.

【解題過程】

解：?.?該圖案是正方形，且該圖案的總面積為小，邊長為x+y,

x+y=Vm,結論①正確；

???小正方形的面積為n,邊長為x-y,

■■■x—y—迎，

由x+y=得：x—Vm—y,

則—y—丫=迎，§P2y=Vm—y/n,結論②正確；

???四個長方形的面積等于兩個正方形的面積之差，

4xy=m—n,即xy=結論③正確；

由結論②可知，y=標;赤,

代入%-y=迎得：x=而;而,

若x=2y,則疝;赤=y/m—Vn,BPVm=3瓜,

?1.m=9n,結論④錯誤；

綜上，這四個結論中正確的有3個，

故選：C.

評卷人得分

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）

H.（3分）（23-24七年級下?湖北荊州?期中）在下列五個數中：①后;②悟;③出等;④立至耳;⑤聯I，

71002710000

介于企及班之間的無理數有.（填序號）

【思路點撥】

本題主要考查了無理數的定義、無理數的估算等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵.根據無理數的定義

和無理數估算方法，逐一分析判斷即可.

【解題過程】

解：V2<2.5<3,

.-.V2<VZ5<V3,且虎豆是無理數；

???立盧是或及舊的平均數，

二”也介于企及苗之間，且為無理數；

VVZ25=1.5,

而不是無理數；

..,23409_153

*[loooo-100J

府不是無理數.

綜上所述，介于企及舊之間的無理數有生，雪.

故答案為：①③.

12.（3分）（24-25七年級上?重慶萬州?階段練習）已知數服b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡：后-

Vb^—個（a—b—c）2+\b+c\=.

______iiii.

ab0c

【思路點撥】

本題考查算術平方根和立方根，整式的加減，數軸和絕對值的性質，根據數軸上點的位置判斷各項的符號

并化簡是解題的關鍵.

根據a、b、c在數軸上的位置可得，a<b<0<c,\b\<\c\,進而得到Q-b-cVO,ZJ+c>0,然后對

原式進行化簡即可.

【解題過程】

解：根據a、b、c在數軸上的位置可得，a<b<0<c,\b\<\c\

ci-b—c<0,b+c>0

—J(a—b—c)2++c|

=-a—b—(—a+b+c)+b+c

=-CL—b+a—b—c+b+c

=-b.

故答案為：—b.

13.(3分)(23-24八年級上?四川內江?階段練習)已知|5—3al+(b+2>+5=3a—J(c-5)b,貝！|c—

2b=.

【思路點撥】

本題主要考查了非負數的性質，先根據題意得到|5—3al+(6+2尸+J(c—5)b=3a—5,再由非負數的

性質3a—520,據此化簡絕對值推出(b+2尸+J(c-5)6=0,貝肥+2=0,(c-5)6=0,求出b、c

的值即可得到答案.

【解題過程】

解：:|5—3al+(b+2￥+5=3a—J(c—5)6,

15—3al+(6+2尸+J(c-5)b=3a—5,

V|5-3a|>0,(6+2尸NO,J(c-5)bN。

15—3al+(b+2尸+J(c—5)b=3a—520,

3a-5+(b+2/+J(c—5)b=3a-5,

；.(6+2尸+J(c—5)6=0,

.,.(6+2)2=J(.5)b=0,

:?b+2=0,(c—5)b=0,

b=—2,c=5,

Ac-26=5-2x(-2)=9,

故答案為：9.

14.(3分)(2024七年級上?全國?專題練習)任何實數a,可用⑷表示不超過a的最大整數，如⑷=4,[V3]=1,

現對72進行如下操作，這樣對72只需進行3次操作后變為1,只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，

最大的是.

第一次,_第二次l第三次「

727[V72]t[V8]=2-[V2]=1

【思路點撥】

本題主要考查了新定義下的實數運算，根據算術平方根的意義得到[每可=15,[V256]=16,進而得到對

255只需進行3次操作后變成1,對256只需進行4次操作后變成1,據此可得答案.

【解題過程】

解：22=4,42=16,162=256,

[V256]=16,[V16]=4,[V4]=2,[V2]=1,

[V255]=15,[VT5]=3,[V3]=1,

...對255只需進行3次操作后變成1.

"[V256]=16,[V16]=4,[V4-]-2,[V2]=1,

...對256只需進行4次操作后變成1.

只需進行3次操作后變成1的所有正整數中，最大的正整數是255.

故答案為：255.

15.（3分）（23-24七年級下?廣西南寧?期末）在信息技術課上，好學的小明制作了一個關于實數式因＜20）

的運算程序如圖所示，若輸出的y值為迎時，則輸入的實數尤可取的負整數值是.

輸出y/

【思路點撥】

本題考查了實數的運算，理解程序的運算步驟是解題的關鍵.

按照程序的運算步驟進行計算，即可解答.

【解題過程】

解：若1次運算輸出的值是世時,

—2|=2,

x—2=±2,

解得：x=4或％=0；

若2次運算輸出的值是魚時,

???|%—2|=4,

???%—2=±4,

解答：x=6或％=-2；

若3次運算輸出的值是企時,

|x—2|=16,

x—2=±16,

解答：%=18或%=-14；

|%|<20,且無取負整數，

?1.x=-2或-14,

故答案為：-2或-14.

評卷人得分

三、解答題(本大題共8小題，滿分55分)

16.(8分)(24-25七年級上?山東淄博?期末)計算：

(1)V25+V^64+V(-2)*12-|V3-2|；

(2)-l2024+(-2)34X-7^27X|-；

(3)0—2)2=%

(4)80+17-27=0.

【解題過程】

本題考查實數的混合運算，根據平方根和立方根的定義解方程:

(1)先進行開方，去絕對值運算，再進行加減運算即可；

(2)先進行乘方，開方，去絕對值運算，再進行乘法運算，最后進行加減運算即可.

(1)根據平方根的定義解方程即可；

(2)根據立方根的定義解方程即可.

【解題過程】

⑴解：V25+7=64+7(-2)2-|V3-2|

=5+(—4)+2-(2—V3)

=3-2+V3

=1+V3；

11

=-1+(-8)x--(-3)x-

O3

=-1-1+1

=-1.

(3)解：(X—2)2=%

x—2=±3,

?\x=5或％=—1；

(4)解：8(%+1)3—27=0,

???8(%+1)3=27,

，(%+1)3=(,

??%+1=一,

2

?1

2

17.(6分)(24-25七年級上?浙江杭州?期中)已知正數尤的兩個平方根分別是3a-1和a+5,77的整數部分

為6,相和”互為相反數，p和g互為倒數.

C1)求a和b值.

(2)求等一pq+x的值.

【解題過程】

本題考查了平方根，整數部分的含義，相反數，倒數的含義，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

(1)根據正數x的兩個平方根分別是3a-1和a+5得到3a-1+a+5=0,求出a,根據V7的整數部分為

b,而2＜近＜3,可得b的值；

(2)根據相反數的定義，倒數的含義可得巾+n=0,pq=1,結合(1)求出x,再代入求值即可.

【解題過程】

(1)解：?正數x的兩個平方根分別是3a-1和a+5,

**?3CL—l+a+5=0,

解得：a=-1,

???夕的整數部分為4而2＜近＜3,

b=2.

（2）解：和〃互為相反數，p和q互為倒數，

.'.m+n=0,pq=1,

'：a=-1,

?.a+5—4,

".x=42=16,

------pq+x=0—1+16=15.

18.（6分）（23-24八年級上.全國.單元測試）如圖，在數軸上點0、B、C所表示的數分別為0,1,百，點B到

點c的距離與點。到點a的距離相等，設點a所表示的實數為x.

OBC

--------1-------1-----1-->

014T

（1）求出實數X的值

（2）求|%-百|+忱+1|的值.

【解題過程】

本題主要考查了實數與數軸，實數的運算，化簡絕對值，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵.

（1）先求出BC=V3—1,再根據題意可得|久|=73—1,則x=V3—1或x=1—V3；

（2）分x=1和尤=1-百兩種情況，去絕對值求解即可.

【解題過程】

（1）解:B,C,表示的數分別為1,V3,

：.BC=yj3-l,

?.?點4表示的數為x,且點B到點C的距離與點。到點4的距離相等，

\x\=V3—1,

.,.x-V3-1或x=1—V3；

（2）解：當％=百一1時，

\x-V3|+|x+1|

=|V3-1-V3|+|V3-1+1|

=I-H+|V3|

=1+A/3;

當x=1-百時，

\x-V3|+I久+1|

=|1-V3-V3|+|1-V3+1|

=|1-2V3|+|2-V3|

=2V3-1+2-V3；

=V3+1；

綜上，原式的值為百+1.

19.(6分)(24-25八年級上?四川甘孜?期中)大家知道魚是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此魚的

小數部分我們不可能全部寫出來，于是小明用a-1來表示/的小數部分，因為a的整數部分是1,將這

個數減去其整數部分，差就是其小數部分.請解答：

(1)內的整數部分是，小數部分是；

(2)如果麻的小數部分為mg的整數部分為6,求a+b-有的值；

(3)已知：10+百=龍+丫，其中尤是整數部分，y是小數部分，求xy的值.

【解題過程】

本題主要考查了無理數整數部分和小數部分的計算，解題的關鍵是熟練掌握無理數的估算方法.

(1)先用夾逼法估算VT7,即可解答；

(2)先用夾逼法估算隗和得出a和6的值，即可解答；

(3)先得出舊的取值范圍，再得出10+百的取值范圍，進而得出尤和y的值，即可解答.

【解題過程】

(1)解:V16<17<25,

.?.V16<V17<V25,即4<舊<5,

?..”7的整數部分是4,小數部分是“7-4；

故答案為：4,V17—4；

(2)解：?--4<5<9,9<13<16,

???V4<V5<炳，對<V13<V16,

2<V5<3,3<V13<4,

的小數部分為a,屬的整數部分為b,

a=V5—2,b—3,

a+b—V5=V5—2+3—V5=1.

(3)解:VI<3<4,

A1<V3<V4,即1<2,

???11<10+V3<12,

是整數部分，y是小數部分，

???x=11,y=10+73-11=V3-1,

xy=11x(V3-1)=11V3-11.

20.(6分)(24-25八年級上?山西臨汾?階段練習)先閱讀材料，再回答問題:

尸=斤=1

V13+23==3

V13+23+33==6

713+23+33+43=V1Q2=io

(1)請根據以上規律寫出第七個等式；

(2)根據以上規律，若一個等式的最右邊的值是55,請寫出這個等式；

(3)根據以上規律，寫出第〃個等式.(用含有w的式子表示，〃為整數，且n21)

【解題過程】

本題考查了實數的規律探究.根據題意推導出一般性規律是解題的關鍵.

(1)由題意知，Vl3+23+33+43+53+63+73=V282=28；

(2)由1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,可求當一個等式的最右邊的值是55的等式;

(3)由題意可推導一般性規律為，第n個等式為U13+23+33+43+53+個+……+標=

J(l+2+3+4+……+n)2==也羅，然后作答即可.

【解題過程】

(1)解：vVI?==1,

Vl3+23=+2'=3,

Vl3+23+33=V62=J(1+2+33=6,

J13+23+33+43=V1Q2=“1+2+3+4尸=10,

???第七個等式為413+23+33+43+53+63+73=V282=28；

(2)解：71+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,

???當一個等式的最右邊的值是55,這個等式為“3+23+33+43+53+63+73+83+93+103=7552=

55；

(3)解：由題意可推導一般性規律為，第n個等式為VV+23+33+43+53+第+……+沖=

J(l+2+3+4+……+n)2=J吟邛=中，

第“個等式為V13+23+33+43+53+63+……+幾3=="羅.

21.(6分)(23-24七年級下.全國.單元測試)根據所學知識，我們通過證明可以得到一個定理：一個非零有

理數與一個無理數的積仍為一個無理數，根據這個定理得到一個結論：若x+y4m=0,其中%,y為有

理數，Vm是無理數，貝!Jx=0,y=0.

證明：?.?％+八府=0,x為有理數，

???yVm是有理數.

??,y為有理數，標是無理數，

???y=0.

???x+OVm=0.

?,?%=0.

(1)若x+V2y=V2(l-V2),其中x,y為有理數，貝！J%=_,y=_；

(2)若x+yy/m=a+byjm,其中x,y,a,b為有理數，y[m是無理數，求證：x=a,y=b；

(3)已知的整數部分為a，小數部分為b，x,y為有理數，a,b,x,y滿足17y+V17y+

V17(y-2V17x)=2aV17+hV17,求X,y的值.

【解題過程】

本題考查了實數的運算，解題的關鍵是讀懂材料內容.

(1)將式子化為1+亦斤=0的形式，結合％,y為有理數，即可求解；

(2)將式子化為％+y亞=0的形式，結合％,y,a,b為有理數，即可證明；

(3)先根據無理數的估算求出a、b的值，再將所給的等式化簡為17y-34%+2gy=17+4g,然后

根據題意列出方程即可求解.

【解題過程】

(1)解：%+V2y=V2(l-V2),

%+2+V2(y—1)=0,

,?,%,y為有理數，

?,?%+2=0,y—1=0,

x=—2,y=1,

故答案為：-2,1；

(2)證明：??,x+yy[m=a+Z?Vm,

???x—a+(y—b)y1m=0，

???％,y,a,b為有理數，

???x-a,y—b都是有理數，

?,?x—a=0,y—b=0,

???x=a,y=b；

（3）解：:4<V17<5,

???舊的整數部分a=4,小數部分b=V17-4,

???17y+V17y+T17（y-2V17x）=2aV17+Z）V17,

???17y+V17y+V17（y-2717%）=8V17+V17（V17-4）,

???17y-34%+2V17y=17+4^17,

???x,y為有理數，

{fl7y—2y34=%4=1，7

解得：卜=3,

ly=2

1c

???％=-,y=2.

217

22.（8分）（23-24七年級下?福建福州?期中）單項式“次”可表示邊長為。的正方形的面積，這就是數學中的

數形結合思想的體現.康康由此探究魚的近似值，以下是他的探究過程：

面積為2的正方形邊長為VL可知魚>1,因此設夜=1+廠，畫出示意圖：圖中正方形的面積可以用兩個

正方形的面積與兩個長方形面積的和表示，即S正方形=/+2xr+l,另一方面S正方形=2,則/+2xr

+1=2,由于，較小故略去，得2r+l*2,則a0.5,即V^=1.5

（1）仿照康康上述的方法，探究舊的近似值.（精確到0.01）（畫出示意圖，標明數據，并寫出求解過程）;

(2)繼續仿照上述方法，在(1)中得到的V7的近似值的基礎上，再探究一次，使求得的V7的近似值更加

準確，精確到0.001(畫出示意圖，標明數據，并寫出求解過程)；

(3)綜合上述具體探究，已知非負整數“相，b,若且6="2+機，試用含相和”式子表

示聲的估算值.

【解題過程】

(1)設b=2.6+r,面積為7的正方形由一個邊長為2.6的正方形和一個邊長為廠的正方形以及兩個長方

形組成，根據圖形建立等式即可得到答案；

(2