大學物理習題及解答

習題一

drdrdvdv

1-1|Ar|與4有無不同？仁和d/有無不同？d/和dt有無不同？

其不同在哪里?試舉例說明.

解：（1）M是位移的模，是位矢的模的增量，即加上匕一川，

4=1引一回.

drdrds

（2）由|是速度的模，gp|d/|\v\=~dt.

dr

不只是速度在徑向上的分量.

drdr.dr

???有r=”（式中，叫做單位矢），則df

d/

式中出就是速度徑向上的分量,

dr—dr尸

丁與丁

?dtdz不同如題1-1圖所示.

dv同嘲dv

（3）d，表示加速度的模,即，出是加速度。在切向上的分量.

?.?有”V4亍表軌道節線方向單位矢），所以

dvdu-df

——=-r+v——

drdrdt

dv

式中力就是加速度的切向分量.

dr（.df

（「正月17的運算較復雜，超出教材規定，故不予討論）

1-2設質點的運動方程為x=x（。，y=y（/）,在計算質點的速度和加

速度時，有人先求出r=+y2,然后根據丫=山，及。=山2而求得

結果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結果，即

你認為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？

解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量，在平面直角坐標

系中，有尸=行+力，

drdr-dy:

—=—i+—/

drdzdz.

故它們的模即為

dx

At

2

V\71d/J

而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、

加速度定義作

dr

At

dr

其二，可能是將d/d/2誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明d/

d2r

不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，薩也不是加速

d2r

度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分L'dr或

者概括性地說，前一種方法只考慮了位矢尸在徑向（即量值）方面隨

時間的變化率，而沒有考慮位矢不及速度戶的方向隨間的變化率對速

度、加速度的貢獻。

1-3一質點在平面上運動，運動方程為

x=3/+5,y=2t2+3t-4.

式中，以S計，X,y以m計.（1）以時間/為變量，寫出質點位置矢量

的表示式；（2）求出仁1s時-亥！J和/=2s時刻的位置矢量，計算這1

秒內質點的位移；（3）計算，=0s時一刻到r=4s時刻內的平均速度；

（4）求出質點速度矢量表示式，計算/=4s時質點的速度；（5）計算/

=0s至卜=4s內質點的平均加速度；（6）求出質點加速度矢量的表示

式，計算/=4s時質點的加速度（請把位置矢量、位移、平均速度、

瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標系中的矢量

式）.

r=(3/+5)z一+(-1/92+37—4)/-

解：⑴2m

⑵將"1,"2代入上式即有

>87-0.57m

=1V+4；m

△尸=弓一次=37+4.5/m

%=5]-4朋=177+16]

二ArE-E12F+207

y=---=------=--------3-z-+5Jm-s-1

A/4-04

一dr

V=——3Z+(r+3)7ms"

(4)At

V=3/+7；.-'

則4MS

⑸v0=3F+3/,V4=3：+7j

旌竺=3=3=。m.s-2

△t44

a=-=1Jm-s-2

(6)d/

這說明該點只有六方向的加速度，且為恒量。

1-4在離水面高h米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，

如題1-4圖所示.當人以心（m?尸）的速率收繩時，試求船運動的速

度和加速度的大小.

圖1-4

解：設人到船之間繩的長度為人此時繩與水面成。角，由圖可知

j=h2^-s2

將上式對時間，求導，得

2/-=25—

AtAt

&。

根據速度的定義，并注意到/,s是隨/減少的，

d/ds

...^=--=v0,vffiS=--

dsIdl1%

即"船"一山"7了=?°=G

將v船再對/求導，即得船的加速度

§d//小

S

〃dv船dt~dtv+

4=F=----2Vo=----2---%

d/ss

(-S+^M,22

______s_"%

1-5質點沿x軸運動，其加速度和位置的關系為q=2+6x=a的單位

為m§2,X的單位為m.質點在x=0處，速度為10m.s\試求質點

在任何坐標處的速度值.

dvdvdxdv

Q------------V--

解：d/dxd/dx

分離變量：udu=adx=(2+6x2)dr

兩邊積分得京J2X+2/+'

由題知，》=0時，vo=lO,,,.c=50

?v=2五3+x+25m-s-1

1-6已知一質點作直線運動，其加速度為。=4+3/m§2,開始運動

時，x=5m,v=0,求該質點在/=10s時的速度和位置.

dv.

a=—=4+3/

解：；d/

分離變量，得dv=(4+3/)d/

積分，得21

由題知，/=0,丫。=°,.”1=0

,32

v=4，+—廣

故2

V=—=4/+3〃

又因為由2

39

八一―zdx=(4/+—z2)dz

分離變量，2

X=2Ct24--1t3+Cy

積分得22

由題知才=0,%=5,。2=5

,,x=2『+-/3+5

故2

所以"10s時-

2-1

vl0=4xl0+-xl0=190ms

23

x.io=2xl0+2-X10+5=705m

1-7一質點沿半徑為Im的圓周運動，運動方程為。=2+3-，。式

中以弧度計，，以秒計，求：(1)，=2s時-，質點的切向和法向加

速度；(2)當加速度的方向和半徑成45°角時，其角位移是多少？

d?八2cd6y

CD=——=9尸，萬=——二18/

解：dtdr

⑴”2s時,aT=7?尸=1x18x2=36m?s'

222-2

an=Ra)=lx(9x2)=1296ms

tan45°=—=1

⑵當加速度方向與半徑成45。角時，有明

即Reo2=R/3亦即(9/2)2=18/

22

——0=2+3/3=2+3x—=2.67rad

則解得9于是角位移為9

1-8質點沿半徑為R的圓周按5=""2'2的規律運動，式中s為質點

離圓周上某點的弧長，%,人都是常量，求：(1M時刻質點的加速度；

(2)，為何值時，加速度在數值上等于6.

-v---ds-v-bt

解：⑴d/n°

a=一=-D

rd/

22

_v_(v0-bt)

an—一

"RR

則

加速度與半徑的夾角為

a-Rb

(p=arctan—=-------r

a〃(y.-btY

⑵由題意應有

b2=b2+(%/)~bt)4=0

即

.?.當b時，，a-b

1-9半徑為火的輪子，以勻速％沿水平線向前滾動：（1）證明輪緣上

任意點5的運動方程為x=R3-sinm）,了=火（1—cos。/）,式中

啰=%/氏是輪子滾動的角速度，當8與水平線接觸的瞬間開始計時,此

時8所在的位置為原點，輪子前進方向為x軸正方向；（2）求8點速度

和加速度的分量表示式.

解：依題意作出下圖，由圖可知

、、、、、、、、()、、、、、、、、、

題1-9圖

x=vJ-2Rsin—cos—

°22

=vQt-Rsin6

=R(a)t-Rsincot)y=27?sin—sin—

22

=7?(1-cos。)=J?(l-coscot)

⑵

dr

vx=——=7?69(1-coscot)

<

v=—=Rsintvf)

-vd/

2

ar=Ra>sina）t=--

*At

2dv

a、>=Ra>coscut=--

I，dr

1-10以初速度%=20m.sT拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60。

的夾角，

求：（1）球軌道最高點的曲率半徑為；（2）落地處的曲率半徑&.

（提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關系）

解：設小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示.

題1-10圖

（1）在最高點,

V]=vt=v0cos60°

=g=10m-s-2

%

%=一

又,?，P\

V.2(20Xcos600)2

自=不一L

*

??=10m

（2）在落地點,

v=v=",

2o20m.s

而=gxcos60°

只二RO)?

Pi=80m

a10xcos60°

〃n2

1-11飛輪半徑為0.4m,自靜止啟動，其角加速度為￡=0.2

rad-s-2,求/=2s時邊緣上各點的速度、法向加速度、切向加速度

和合加速度.

施軍：當，二2s日寸，co—pt=0.2x2=0.4radas-1

則v=Reo-0.4x0.4=0.16m-s-1

2-2

an=Rco~=0.4x(0.4)=0.064m.s

az-R[3—0.4x0.2=0.08m.s

a=加+"=’(0.064)2+(0.08)2=0.102m-s-2

1-12如題「12圖，物體/以相對3的速度丫=歷沿斜面滑動，y

為縱坐標，開始時Z在斜面頂端高為〃處，8物體以〃勻速向右運動,

求Z物滑到地面時的速度.

解：當滑至斜面底時，y=h,則吟=屈，“物運動過程中又受到8的

牽連運動影響，因此，/對地的速度為

/地=力+力

=(“+y]2ghcos￡z)z+Q2ghsina)./

1-13一船以速率匕=30km?力沿直線向東行駛，另一小艇在其前方

以速率匕=40km?h1

沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又

為何？

解：(1)大船看小艇,則有h=4-%,依題意作速度矢量圖如題1-13

題1-13圖

v=qv；+v；=50km-h1

由圖可知21

0=arctan—=arctan—=36.87°

方向北偏西v24

⑵小船看大船，則有%=%-%,依題意作出速度矢量圖如題1-13

圖⑹，同上法，得

vi2=50km-h-1

方向南偏東36.87°

1-14當一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2m的

甲板上，篷高4m但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻

在篷前3m,如雨滴的速度大小為8m-s1,求輪船的速率.

解：依題意作出矢量圖如題1T4所示.

中用郵/\夕聞地

4K

題1-14圖

*/%船="雨一"船

”雨=，雨船+”船

由圖中比例關系可知

n船=丫雨=8m-s-'

習題二

2-1一細繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質量為町的物體，另一

邊穿在質量為巧的圓柱體的豎直細孔中，圓柱可沿繩子滑動.今看到

繩子從圓柱細孔中加速上升，柱體相對于繩子以勻加速度。'下滑，求

叫，叫相對于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力（繩

輕且不可伸長，滑輪的質量及輪與軸間的摩擦不計）.

解：因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為卬，其對于啊則為

牽連加速度，又知外對繩子的相對加速度為"，故叫對地加速度，由

圖（b）可知，為

a2=Q]-a

①

又因繩的質量不計，所以圓柱體受到的摩擦力/在數值上等于繩的張

力T,由牛頓定律，有

Wjg-T=mxa}

②

T-m、g=m2a2

③

聯立①、②、③式，得

（加1-m）g+

a\~2；

叫+m2

_（加]-m）g-mar

a2=2；}

mx+m2

f=T=町-20g—"）

mx+m2

討論（1）若=0,貝IJ《=%表示柱體與繩之間無相對滑動.

⑵若"=2g,則T=/=0,表示柱體與繩之間無任何作用力,此時如，

%均作自由落體運動.

3J|

(a)(b)

題2_1圖

2-2一個質量為P的質點，在光滑的固定斜面（傾角為。）上以初速

度%運動，%的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這

質點的運動軌道.

解：物體置于斜面上受到重力〃宿，斜面支持力N.建立坐標：取環方

向為x軸，平行斜面與x軸垂直方向為y軸.如圖2-2.

題2-2圖

匕=0X=v/

X方向：0

①

F、=mga=ma

丫方向：,sinv

②

E=0時歹二0vv=0

1?2

y=-gsmar

由①、②式消去/,得

]■2

y=-^gsma-x

2%

2-3質量為16kg的質點在x。），平面內運動，受一恒力作用，力的

分量為人=6N,A=-7N,當，=0時，x=y=0,匕=-2m?s\。

=0.求

當，=2s時質點的（1）位矢；（2）速度.

f63

a=—x=—=一m?s-

解:Ym168

fy-7-2

a、，=一=——m-s

m16

c3c_5

adJt——24—x2ms-1

x8一一4

A-77

，="+"4=^x2=-m-s-1

8

于是質點在2s時的速度

一5-7-

v=——i——j

48

⑵

22?

13-1-7一

=(_2x2+4xix4)/+-(-^)x4j

2o21o

13.7=

=---z—/m

48

2-4質點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力后(左為常數)

一(,一k)、/

作用，上0時質點的速度為%,證明(1)/時刻的速度為-=%e"；

(2)由0至V的時間內經過的距離為

嗎小心(二)

x=(k)[1-e根];(3)停止運動前經過的距離為"；(4)證明

]_

當/=時速度減至％的e,式中加為質點的質量.

-kvdv

a=---=一

答：⑴：mdt

分離變量，得

dv-kdt

vm

cdv-kdt

即?*<>Vm

1v1一區

In—=Inew

vo

_k_t

v=voe

7,1

x=jvd/=Jvoe(I-e~)

⑵k

(3)質點停止運動時速度為零，即t~8,

7

x=ivQe~'At=

故有小k

m

(4)當土=不時，其速度為

v=ve-'y**=vet=匕—）

ooe

￡

即速度減至％的上

2-5升降機內有兩物體，質量分別為叼，/，且叱=2叫.用細繩連

接，跨過滑輪，繩子不可伸長，滑輪質量及一切摩擦都忽略不計，當

升降機以勻加速a=5g上升時，求：（1）叫和叫相對升降機的加速

度.（2）在地面上觀察犯，巴的加速度各為多少？

解：分別以犯，叫為研究對象，其受力圖如圖⑹所示.

⑴設性相對滑輪（即升降機）的加速度為。'，則性對地加速度

%="一。；因繩不可伸長，故叫對滑輪的加速度亦為"，又”在水平

方向上沒有受牽連運動的影響，所以町在水平方向對地加速度亦為

。'，由牛頓定律，有

f

m2g-T=m2（a-a）

T=mxa

題2-5圖

（2）%對地加速度為

a、—a'—a——,,

■2方向向上

叫在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽連加速度,即和牽

.勾=+/=Jg?+『=-yg

0-arctan—=arctan—=26.6°，-

優2,左f偏上t.

2-6一質量為優的質點以與地的仰角。=30。的初速%從地面拋出，若

忽略空氣阻力，求質點落地時相對拋射時的動量的增量.

解：依題意作出示意圖如題2-6圖

y

題2-6圖

在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相

同，與軌道相切斜向下，

而拋物線具有對歹軸對稱性，故末速度與x軸夾角亦為30。，則動量的

增量為

醞=mv-mvn

由矢量圖知，動量增量大小為何叫，方向豎直向下.

2-7一質量為機的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發

生彈性碰撞.并在拋出1s,跳回到原高度，速度仍是水平方向，速

度大小也與拋出時相等.求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的

沖量的大小和方向.并回答在碰撞過程中，小球的動量是否守恒？

解：由題知，小球落地時間為65s.因小球為平拋運動，故小球落地

的瞬時向下的速度大小為匕=g，=S5g，小球上跳速度的大小亦為

險=0為.設向上為V軸正向，則動量的增量

醞=加2-西方向豎直向上，

大zj、|△司=加彩~（一加玉）=mg

碰撞過程中動量不守恒.這是因為在碰撞過程中，小球受到地面給予

的沖力作用.另外，碰撞前初動量方向斜向下，碰后末動量方向斜向

上，這也說明動量不守恒.

2-8作用在質量為101^的物體上的力為尸=（10+2/）7帥式中/的單位

是s,（1）求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的

沖量.（2）為了使這力的沖量為200N-s,該力應在這物體上作用多

久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度-67m的物體，回答

這兩個問題.

解：（1）若物體原來靜止，則

醞1=(卻/=J,(10+2/)Fd/=56kg-m's~'T

沿x軸正向,

Avj=——L=5.6m-si

tn

/j=邸、=56kg?m?s-7

若物體原來具有-6m.s」初速，則

1觸一叫+!＞于是

Po=-mv0,p=m(-v0+

醞2=P-Po=［戶由=綠］

同理，八當=,『2=7］

這說明，只要力函數不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，

也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量（亦即沖量）就一定

相同，這就是動量定理.

⑵同上理，兩種情況中的作用時間相同，即

1=＞［（10+2/）d/=10/+Z2

亦即/2+10/-200=0

解得"10s,（/'=20s舍去）

2-9一質量為加的質點在x。平面上運動，其位置矢量為

r=acosMi+bsinMj

求質點的動量及f=0至『2。時間內質點所受的合力的沖量和質

點動量的改變量.

解：質點的動量為

p=mv=m（x）（-asma）ti+bcoso"）

_兀

將"0和"三分別代入上式，得

p}=mcobjp2=-mcoai

則動量的增量亦即質點所受外力’的沖量為‘

7=醞=/2-2=-nia）（ai+bj）

2-10一顆子彈由槍口射出時速率為％m-s,當子彈在槍筒內被加速

時，它所受的合力為歹=（a-^）N"/為常數），其中/以秒為單位:

⑴假設子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長

所需時間；（2）求子彈所受的沖量.（3）求子彈的質量.

解：（1）由題意，子彈到槍口時一，有

_a

尸=(4_4)=0,得/一3

(2)子彈所受的沖量

I-=at—gb/

a

將代入，得

a2

2b

⑶由動量定理可求得子彈的質量

2-11一炮彈質量為加，以速率v飛行，其內部炸藥使此炮彈分裂為兩

塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為T,且一塊的質量為另一塊

質量的左倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為

mv-\km

證明：設一塊為巴，則另一塊為嗎，

加］=km2及加］+相2=相

于是得

①

又設g的速度為看,%的速度為匕，則有

T=—+一加2?；——mv

mv=加]%+加2v2

聯立①、③解得

v2=(k+l)v-kv]

④

將④代入②，并整理得

將其代入④式，有

［2kT

v2=v±—

}Vm

又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取

\2kT2T

—，匕=丫一

km

證畢.

2-12設凡=7>6，N.⑴當一質點從原點運動到產=-3『+4_7+16定m

時，求戶所作的功.（2）如果質點到廠處時需0.6s,試求平均功率.（3）

如果質點的質量為1kg,試求動能的變化.

解：(1)由題知，心為恒力，

=F-r=(7F-6；)-(-37+4；+16^)

=-21-24=-45J

P=—=—=75w

(2)A/0.6

(3)由動能定理，3=，=-45J

2-13以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘進入木

板內的深度成正比，在鐵錘擊第一次時，能將小釘擊入木板內1cm,

問擊第二次時能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時的速度相同.

解：以木板上界面為坐標原點，向內為V坐標正向，如題2-13圖，

則鐵釘所受阻力為

題2-13圖

f=-ky

第一錘外力的功為4

4=[f'^y=卜.?=/ky^y=|

①

式中/'是鐵錘作用于釘上的力，/是木板作用于釘上的力，在由->o

時，f'=~f.

設第二錘外力的功為則同理，有

4=『如砂=；柄

/22

②

由題意，有

③

1,2k_k

即2^-2=2

所以，丁2=五

于是釘子第二次能進入的深度為

Ay=y2-yx=V2-1=0.414cm

2-14設已知一質點(質量為加)在其保守力場中位矢為〃點的勢能為

Ep⑺二-尸，試求質點所受保守力的大小和方向.

方向與位矢產的方向相反，即指向力心.

2-15一根勁度系數為占的輕彈簧力的下端，掛一根勁度系數為心的

輕彈簧8,8的下端

一重物c,。的質量為加，如題2T5圖.求這一系統靜止時兩彈簧

的伸長量之比和彈性勢

能之比.

解：彈簧力、8及重物。受力如題2T5圖所示平衡時，有

Ug

題2-15圖

FA=FB=Mg

又FA=k^

FB=k2^x2

所以靜止時兩彈簧伸長量之比為

AX]_k2

AX2k]

彈性勢能之比為

2-16(1)試計算月球和地球對根物體的引力相抵消的一點產，距月球

表面的距離是多少?地球質量5.98X1024kg,地球中心到月球中心的

距離3.84X10%,月球質量7.35X月球半徑1.74XlO'm.(2)

如果一個1kg的物體在距月球和地球均為無限遠處的勢能為零，那么

它在P點的勢能為多少？

解：(1)設在距月球中心為"處丹引=%引，由萬有引力定律，有

加M地

經整理，得

=75.98xlO24+47.35x1()22x3.48x10"

=38.32x1()6m

則P點處至月球表面的距離為

h=r-r月=(38.32-1.74)x106=3.66xl07m

⑵質量為1kg的物體在P點的引力勢能為

usmu7.35xl022.di5.98xl024

=—6.67x10x-----------6.67x10x

3.83xl07(38.4-3.83)x107

=1.28x106J

2-17由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑

輪以及質量為必和性的滑塊組成如題2-17圖所示裝置，彈簧的勁度

系數為％,自然長度等于水平距離8C,叫與桌面間的摩擦系數為〃，

最初叼靜止于4點，AB=BC=h,繩已拉直，現令滑塊落下阿，求它

下落到5處時的速率.

解：取3點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則由功能

原理，有

1,1

-jLtm2gh=—(/Wj+m2)v-[fn]gh-^-—k(Al)]

式中△/為彈簧在Z點時比原長的伸長量，則

M=AC-BC={41-Y)h

聯立上述兩式，得____________________

[2(加]—〃加2)gh+(后一

'mx+

題2T7圖

2-18如題2-18圖所示，一物體質量為2kg,以初速度%=3m?si從

斜面/點處下滑，它與斜面的摩擦力為8N,到達8點后壓縮彈簧20cm

后停止,然后又被彈回，求彈簧的勁度系數和物體最后能回到的高度.

解：取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點，彈簧原

長處為彈性勢能零點。則由功能原理，有

12

-frs-gkx?-(y/wv+agssin37。

2

—mv~+mgssin370-frs

k=Z-----------j-----------------

-Ax2

2

x=0.2m,再代入有關數據，解得

左=1390N-m」

再次運用功能原理,求木塊彈回的高度"

-frs'=mgs'sin37°

代入有關數據，得s'=1.4m

則木塊彈回高度

〃'=s'sin37°=0.84m

〃功—題2-19圖

2-19質量為M的大木塊具有半徑為R的四分之一弧形槽,如題2-19

圖所示.質量為機的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水

平面上，二者都作無摩擦的運動，而且都從靜止開始，求小木塊脫離

大木塊時的速度.

解：機從加上下滑的過程中，機械能守恒，以能，加，地球為系統,

以最低點為重力勢能零點，則有

112

mgR=~^mv2

又下滑過程，動量守恒，以%M為系統則在加脫離時瞬間，水平方

向有

mv-MV=0

聯立，以上兩式，得

\(m+M)

2-20一個小球與一質量相等的靜止小球發生非對心彈性碰撞，試證

碰后兩小球的運動方向互相垂直.

證：兩小球碰撞過程中，機械能守恒，有

；哂=

2,2-

即vo=vi+說

①

(a)(b)

題2-20圖(a)題2-20圖(b)

又碰撞過程中，動量守恒，即有

mvQ=mv,+mv2

亦即%=%+%

②

由②可作出矢量三角形如圖⑹，又由①式可知三矢量之間滿足勾股

定理，且以環為斜邊，故知弓與弓是互相垂直的.

2-21一質量為機的質點位于5，必)處,速度為"=匕:+匕乙質點受到

一個沿x負方向的力/的作用，求相對于坐標原點的角動量以及作用

于質點上的力的力矩.

解：由題知，質點的位矢為

r=xj+yj

作用在質點上的力為

f^-Ji

所以，質點對原點的角動量為

Lo=rxmv

=(xj+yj)xm(vj+vyj)

-(匹加匕,-y[mvx)k

作用在質點上的力的力矩為

=rxf=(xj+yj)x(-fi)=yljk

2-22哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓.它離太陽最近距離為

0=8.75X10%時的速率是h=5.46X10"m?s'它離太陽最遠

時的速率是匕=9.08Xl（）2in?s-1這時它離太陽的距離G多少？（太陽

位于橢圓的一個焦點。）

解：哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力——即有心力的作用，所

以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠日點時的速度都與軌道

半徑垂直，故有

0加％=r2mv2

r.v.8.75xlOlox5.46xlO4….

r.=-=-------------；-----=5.26x11（Z）1122m

22

jv29.08xl0

2-23物體質量為3kg,UO時位于尸=47m,v=F+6；m-s-',如一恒力

/=5"作用在物體上，求3秒后，（1）物體動量的變化；（2）相對z軸

角動量的變化.

△p=J,油=f5/d/=15jkgms-1

解：（1）

x=x+vt=4+3=7

⑵解（一）QQx

12,c15_2cl-.

y=u()J4—at~=6X3H—x—x3—25.5j

223

即6=4,，r2=li+25.5j

匕==1

v?=v,+<7/=6+—x3=ll

yn°i)3

G"+6],v=r+nj

即2

L}=r}xmv}=4fx3(/+6j)=12k

L2=r2xmv2=(7z+25.5J)x3(/+11))=154.5左

21

AL=Z2-Zj=82.5^kg-m-s-

M上

解（二）dt

AZ=JAi-d/=1(rxF)dt

2

=1(4+/)7+(6/+1)x|/)Jx5jd/

J5(4+t)kdt=82.5kkg-m2-s-1

題2-24

2-24平板中央開一小孔，質量為根的小球用細線系住，細線穿過小

孔后掛一質量為必的重物.小球作勻速圓周運動，當半徑為？時重物

達到平衡.今在M的下方再掛一質量為M的物體，如題2-24圖.試

問這時小球作勻速圓周運動的角速度〃和半徑/為多少？

解：在只掛重物時"i,小球作圓周運動的向心力為Mg,即

①

掛上%后，則有

2

（M+M2）g-mr'co'

②

重力對圓心的力矩為零，故小球對圓心的角動量守恒.

即與"7Vo-尸配M

=>4必=r

③

聯立①、②、③得

2-25飛輪的質量加=60kg,半徑R=0.25m,繞其水平中心軸。轉動,

轉速為900rev,min現利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎

直方向的制動力可使飛輪減速.已知閘桿的尺寸如題2-25圖所

示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數〃=0.4,飛輪的轉動慣量可按勻質圓

盤計算.試求：

（1）設廠=100N,問可使飛輪在多長時間內停止轉動?在這段時間里

飛輪轉了幾轉？

（2）如果在2s內飛輪轉速減少一半，需加多大的力產？

解：（1）先作閘桿和飛輪的受力分析圖（如圖（b））.圖中N、M是正

壓力，工、號是摩擦力，工和心是桿在力點轉軸處所受支承力，R是

輪的重力，。是輪在。軸處所受支承力.

桿處于靜止狀態，所以對4點的合力矩應為零，設閘瓦厚度不計，則

有

F(/1+l2)-N'l}=0N'=-^-F

對飛輪，按轉動定律有〃=一尸小〃，式中負號表示a與角速度。方向

相反.

Fr=pN