1、矩陣理論講義第四章內積空間第1頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五4.1 實內積空間定義.設V 是一個實線性空間，R為實數域，2若a, b V, 存在唯一的 rR與之對應，記作(a, b ) = r, 并且滿足(1) (a, b ) = (b, a ) (2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g )(3) (ka, b ) = k(a, b )(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a = 0則稱 (a, b ) 為a 與b 的內積，V 為實內積空間。實內積空間也稱歐幾里得(Euclid)空間。對稱性線性性非負性第2頁，共63頁，2022年

2、，5月20日，9點19分，星期五3定義內積(內積的離散形式)例. 線性空間稱為內積空間 的標準內積。第3頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五4定義內積（ 內積一般形式）A為 n 階實正定矩陣，例. 線性空間第4頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五5定義內積（內積的連續形式）例. 線性空間Ca, b，f , gCa, b第5頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五6由定義知（關于第二個元素的線性性質）(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g )(6) (a, kb ) = k(a, b )第6頁，共63頁，2022

3、年，5月20日，9點19分，星期五向量長度, Cauchy-Schwarz不等式定義. 設V 為實內積空間，稱 為向量a 的長度，記作 |a |。定理. 設V 是實內積空間，a , b V , k R ，則等號成立當且僅當a , b 線性相關；Cauchy-Schwarz不等式三角不等式正定性齊次性第7頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五第8頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五第9頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五第10頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五11例：利用Cauchy-Schwaz不等式證明第11頁，

4、共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五向量的夾角由Cauchy-Schwaz不等式可知第12頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五向量的正交定義. 設V 是實內積空間，a , b V , 若 (a , b ) = 0 , 則稱 a 與b 正交，記作 a b 。a 與b 正交這就是實內積空間中的勾股定理。第13頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五第14頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五15向量a 與b 在該基下的坐標為第15頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五16第16頁，共63頁，2022年，5月20

5、日，9點19分，星期五度量矩陣矩陣 A 稱為基的度量矩陣。即 A 為實對稱矩陣。即 A 為實正定矩陣。第17頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五定理：設內積空間V 的兩個基是：它們的度量矩陣分別為A與B，則A與B是合同的，即存在可逆矩陣P ，使得其中可逆矩陣P 是由前組基到后組基的過渡矩陣。第18頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五4.2 標準正交基若它們兩兩正交，則稱其為一個正交向量組。定理：正交向量組必是線性無關的。第19頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五20且其中每個向量的長度都是 1，注意：(1) 標準正交基的度量矩陣是單位

6、矩陣，即(2) 向量在標準正交基下的坐標是該向量在對應的基向量上的正投影，即第20頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五Gram-Schmidt 正交化過程Gram-Schmidt 正交化過程：設是內積空間V 中線性無關的向量組，使得則V 中存在正交向量組第21頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五Gram-Schmidt 正交化過程 圖解第22頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五23令是正交向量組，并且則第23頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五記第24頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五或注意到

7、K是可逆矩陣，因此第25頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五是正交向量組下面用歸納法說明由歸納法假設可知是正交向量組。即第26頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五矩陣A的QR分解推論1：n 維實內積空間V 必存在標準正交基。推論2：n 維實內積空間V 中任一正交向量組都可擴充成V 的一個正交基。推論3: 設A為可逆陣，則存在正交陣Q和可逆上三角陣R使得 A = QR ，稱為矩陣A的QR分解。第27頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五28設A為 n 階可逆陣，則利用Gram-Schmidt正交化過程，第28頁，共63頁，2022年，5月

8、20日，9點19分，星期五29第29頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五30例: 求矩陣A的QR分解，第30頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五第31頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五第32頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五第33頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五第34頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五4.3 正交子空間定義: 設W, U是實內積空間V 的子空間，(1) a V , 若b W, 都有(a, b ) = 0, 則稱a 與W 正交，記作a W ;(2) 若

9、a W, b U, 都有(a, b ) = 0, 則稱W 與U 正交，記作W U ;(3) 若W U，并且W + U = V, 則稱U 為W 的正交補。注意：若W U，則 W與U 的和必是直和。第35頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五正交補的存在唯一性定理: 設W 是實內積空間V 的子空間，則W 的正交補存在且唯一，記該正交補為 ，并且第36頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五向量的正投影定義: 設W 是實內積空間V 的子空間，則稱向量b 為向量a 在W上的正投影，稱向量長度|g |為向量a 到W 的距離。WdbOag第37頁，共63頁，2022年，5

10、月20日，9點19分，星期五垂線最短定理定理: 設W 是實內積空間V 的子空間，aV , b 為a 在W上的正投影，則 dW, 有并且等號成立當且僅當 b = d。Wdba第38頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五最小二乘法 問題提出:實系數線性方程組（1） 即任意 都可能使 （2） 不等于零可能無解，第39頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五 設法找實數組 使（2）最小, 這樣的 為方程組（1）的最小二乘解， 此問題叫最小二乘法問題.最小二乘法的表示:設 （3） 第40頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五用距離的概念，（2）就是 由

11、（3）, 設 則要找 使（2）最小，等價于找子空間 中向量 使 到它的距離 比到 中其它向量的距離都短. 第41頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五設這等價于 （4） 即 這樣（4）等價于（5） 為此必或這就是最小二乘解所滿足的代數方程. 第42頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五 已知某種材料在生產過程中的廢品率 與某種 化學成份 有關下列表中記載了某工廠生產 中 與相應的 的幾次數值：找出 對 的一個近似公式.例題第43頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五把表中數值畫出圖來看，發現它的變化趨勢近于一條直線 因此我們決定選取 的一次

12、式 來表達當然最好能選到適當的使得下面的等式解：都成立.第44頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五實際上是不可能的任何 代入上面各式都發生 些誤差. 于是想找到 使得上面各式的誤差的平方和最小， 即找 使 最小.易知 第45頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五 最小二乘解 所滿足的方程就是 第46頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五解得（取三位有效數字）.即為 第47頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五4.4 正交變換定義: 設T 是實內積空間V 的線性變換，若aV 有則稱T 為V 的正交變換。第48頁，共63頁，

13、2022年，5月20日，9點19分，星期五正交變換的特征刻畫定理: 設T 是實內積空間V 的線性變換，a, b V ，則下列命題等價，第49頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五50推論：(1) 兩個正交變換的積仍是正交變換；(2) 正交變換的逆變換仍是正交變換。第50頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五Householder 變換構造 的正交變換討論正交變換H 的幾何意義。第51頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五故H(a)是a關于子空間的反射，dagbwO-g矩陣H 稱為Householder矩陣，變換H 稱為Householder

14、變換，變換H 也稱初等反射變換。第52頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五53求一個初等反射變換H，使H(a)=b。只需求一個w 使得b 是a 關于子空間 的反射，于是w 與a - b 平行，故可取第53頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五4.5 復內積空間定義.設V 是一個復線性空間，C 為復數域，54若a, b V, 存在唯一的 cC與之對應，記作(a, b ) = c, 并且滿足(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g )(3) (ka, b ) = k(a, b )(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a =

15、 0則稱 (a, b ) 為a 與b 的內積，V 為復內積空間。復內積空間也稱酉空間。對稱性線性性非負性(1) (a, b ) = (b, a ) 第54頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五55定義內積例. 線性空間稱為復內積空間 的標準內積。第55頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五56在復內積空間中還有(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g )(6) (a, kb ) = k(a, b )(8) Cauchy-Schwaz不等式且 (a , b ) = 0 a 與b 正交(10) Schmidt正交化過程把線性無關的向量組

16、變成正交組第56頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五57向量a 與b 在該基下的坐標為第57頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五58第58頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五度量矩陣矩陣 A 稱為基的度量矩陣。，即 A 為復正定矩陣。，則稱 A 為Hermite矩陣。，即A 為Hermite矩陣。稱 A 為復正定矩陣。第59頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五設T 是復內積空間V 的線性變換，若aV 有則稱T 為V 的酉變換。第60頁，共63頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五定理: 設T 是復內積空間V 的線性變換，a, b V ，則下列命題等