目錄

前直

1復變函數論基礎

1.1復數及其運算.....:..........................(1)

1.2復變函數?函數的極限?函數的連續...........⑸

1.3基本超越函數...............................(8)

1.4函數的導致..................................(9)

1.5保角映射《保角變換).......................UO

1.6積分.........................................(25)

1.7級數.........................................“2》

1.8留數及其應用................................《49)

2平面彈性理論宣變函數解法的基本知識

2.1平面彈性理論概要............................⑹)

2.2平面彈性理論的復變函數解法.................(75)

2.3保角映射.............(83)

3漸開線齒輪齒鄢的保角映射函數

3.1漸開戰齒輪的齒形坐標和映射函數.............《9)

3.2各種漸開線齒輪齒廓的保角映射函數-(92)

3.3會田一寺內式映射函數的性質.....:(99)

3.4映射函數的計算機求解...........(105)

4漸開線齒輪的應力和位移

4-1概述......................................(107)

4.2集中力作用下的應力函數的表達.............(108)

4.3赫茲(HettZ)分布壓力作用于齒面時

的應力函數........(116)

4.4漸開線齒輪的齒根應力分布和最大應力.....(122)

4.5漸開線齒輪接觸工區中點的位移和剛度計算…(129)

4-6漸開線直面輪的齒廊修形....................(132)

附錄漸開線齒輪齒廓保角映射函數表.............(142)

2

1復變函數論基礎

1.11數及其運其

1.1.1定義

1.復數

Z=z+jy

稱為復數，其中，和）為任意實數,［二稱虛單位中稱為

復數z的實部，記為Rez”稱為復數石的虛部，記為Im2o

2.紅數相等

兩復數的實部和虛部分別相等，則兩度數相等.即若

STT7

或?+厲|=/z+i弱

則

9\=yt

1.1.2復數與平面上點的聯系

復數與平面上的點i一對應，因而可以互相表示.，軸表

示復數的實部,y軸表示復數的虛部，乂稱H軸為實軸4軸為

虛軸.平面上任何一點zO,y）都對應著一個發數2=工+對，又

稱才四平而為復平面，也叫z平面（如圖hl）.

點Z又與矢量荔---對應。即攵散右KZ十力也與矢量

1

前一一對應。夫量荔的模即復數Z的模的幅角d也即復數

Z的幅角.

|z|-r=//+j

Argz=G

困LI

除z=0外，幅角都是確定的，但不是唯一的.故規定

-n<O^n為復數。的幅角的主值argz.

Argz=argz+*2kn*—0?±1,±2?.........

11-3復數的三種表示方式

L直角坐標形式z=工+叨

2?,三角形式2—r(cos<?4-isinP)

3.指數形式

由歐拉公式eJ~cos"+i6in0

可得

z-re

2

1.L4共弱復數

實部相同虛部相反的兩個（一對）或數稱為彼此共施的，

記為z和式見度1.2）.

圖1.2

z=2+iy

z—z-iy

點Z與點工對稱于實軸,模相等但幅角相反.

|z|=|c|=匕阡—

argz=-argz

11.5復數的運算

復數的加減可看作矢盤的加減法運算，設

?=Tl+j料

則向+5=（陽士一）+建孫士力）

3

復數的乘除法，如上面所設

2］當=（zj+iyi）（.x2+ijz）

==——Vi夕？+1（力力+竊打）

￡i_zi+iyi_（與+-3—必）

公工？+i"A+城

=工1科+的如+i（zz如一與力）

譴+ift

用指數形式與三角形式進行運算較為方便，設

51=JC4

z>=rje',1

則

ZiZ：=力“"。+，’

=52186（。1+優）+isinS+%）〕。

可見兩個復數的積的模等于模的積，兩個復數積的幅角

等于兩幅角響和。同樣可得，兩復數的商的模等于模的商，商

的幅角等于而角的差.

復數的乘方可看作乘法的推廣

2*—（，?"）■

=rB(cos?W+isinM)

4

也即是

1

Arg（2"）Zkn

更數的開方可由乘方反椎用，設

z=re

-1■1陽如

"（小紇匕5+⑻口旺的）

H口

1.2復變函數、函數的極根、函數的連度

1.2.1函數的概念、平面到平面的映射

定義：如果對于復數集月中，每一數￡都有某--復數徵與

之對應，就說在片上定義了一個復變數z的曳函數：

u>—/（c）

規定：以工和y表示02=工+%

以“和”表示叫

以r和。表求Z,Z-re9i

以〃和W表示叫卬=/，。

幾何意義：以r曲平面表示2,以皿?'平?表示，，以平面上

的集E中的每一點Z在u，平而上都仃對應的一點叫",叫做二

的像,，尸/⑴使々平面的集合片映射到“，平面上的集合品,

品是￡的像（見圖1.31.

5

圖1.3

w—f(z)

u+iv=f(z+iy)

＜例＞設w=(z+『)+iw，K在全2平面上，求用.

即

[M=x+g

；a=工￥

則有x——??＜=-4-y

，y

整理得

jr1—ny4-M=0

v土-

——2-

，有.實根的條件是:

/_?4好》0

6

即V

函數UH（H+y）+i可把點

集以即全Z平面映射到外平面

上的機，即拋物線”=1下'面

2

的域（見圖1.4〉&==彳時，y=

4

可得k-5，即工;人故該函

數將（直線）映射為￡二手

（拋物線）.

I.2.2復數序列和極限圖L4

復數序列：有序的一列復數匕＞=的1,……，&稱為亞依

序列。

有界序列：若有正數M存在?能夠使對于?一切”都

有liVM，就說序刊｛幻是有界的。

一個發數序列有界相當于兩個實數序列有界。

幾何解釋：若以原點為中心，以M為半徑作一四，能夠他

序列中的所有的項表示的點都包含在圓周的內部，則稱序列

上I是有界的.

。是㈠.｝的極限：任給心＞0,存在正整數N,只要"八,總

有|1一』|＜3則稱名是（z"的極限，記為hmm.或工《?”“

■▼、、

幾何解釋?若以之為中心，以任較小的iF數c為半倫，不

論C如何小.總能以序列H；'中伐到?.、.辿：.、口后的切項衣

示的點落在圓周的內部,則稱復數X是序列（子的板限，

7

｛&｝的極限是8：任給加＞。，存A：正整數M只要"〉押

就有以＞〃，則稱匕.｝以g為極限，或說趨」?無窮，記為

lim^koo,或;.-*ooc

注意：復數中只有一個9，不像實數中有二+8,而且以復

數的觀點來看K｝行極限，在實數中則認為沒有極限,

1-2.3函數的極限

定義：任給。＞0,存在正數公當0＜|z—比IV。時就有

I八力八|J,則稱當…為時〃=」（功的極限為工,記作

limj（s）—Ae

幾何解釋：若點~足夠接近.時，對應的點?'便任意接近

點4則稱，:f時/（z）f4.

注意t實函數中方是沿數軸變化的，復函數中z的變

化是沿任意方向和任意曲線趨近于備，"z＞趨于同一個復數

兒

1.2.4函數的連續

定義：設“力在4的鄰域|2—玄|＜〃內有定義，若

1而/（切=/（而），就稱“切在點連續。

…。2ft

定理：若函數/（2＞=”和八+6（2,歹）在2c=Zo+iyo連續.

則”（了,〃）在（外,如）連續，”（r.y）在（桁.如）連續。

1.3基本超越函數

1.3,1指數函數

8

C—C'e"-?、'(cosy+isiny)

指數函數有如下性旅；

(J)e，ex?=el+F：

(2)e,是個周期函數，周期為

證：e‘?e*1'—e~(cos2n+isjn2n)-e5

(3)e，與c；共姬。

1.3.2三角函數

1.3.3雙曲函數

1.3.4對數函數

若則始稱為2的對數，記為w-Lnz

Lnz=7」n|z|-f-iArgz=In\z\+iargz+2Hi

(比=0.士！,+2,.......)

主值為：Inz=In|;：|+iarg￡

1.4函數的導致

b4.1定義

設單侑函數，『="切是定義在飛平而上區域。上的函數，

當自變量。在點二處有?改變吊k時，函數相應地有改變量

Au；(z-F9)—,如果

f(2+Au)-f(z)

lirn-=Km

Ar-*OAx~?0

存在，就稱u=，G）在點a處可導，并稱這個極限值是吁f

（7）的導數，記為r（2），"，，孚.￥，r（z）==Jim

dedswoAZ

復變函數求導的步驟、方法和法則與實變函數一致，因而

有許多與實變函數求導相似的公式。

1,九2函數的導數馬函數連續的關系

函數的導數存在則函數一定連續,但連續函數不?定可

＜例＞函數a，=Rez在*平面上處處連續，但此函數處處

無導數。

證：卬=f（￡）=Rez—x

兩邊對Z求偏導數

az=a(x-Fiy)

又兩邊對夕求偏導數

＜f（￡）

10

=K±Q=o

ay

.二r（2）=0

兩者矛盾，故ra）不存在.

1.4.3柯西一黎曼條件（C—R條件）

函數切=，（切=雇工〃）+迎（/“）在點2=z+iy處可導的

必要條件是

"BVBV

az叫‘aray

1.4.4函數M="Z）在z處可導的充分條件

若函數《;=f（2）=xQ,,）+ie（*y）滿足。一R條件且

“，切和”（*y）在點z處有全微分，則函數在z點處可導.

1.4.5解析函數

定義?在一區域。內，每一點都可導的函數s=fG）稱為

。域內的解析函數。

解析函數又稱為正則函數、全純函數等.

如果f（Z）是點為的一個鄰域內的解析函數，就稱“外在

點笈處解析。

所有的基本初等超越函數都是其定義域內的解析函數，

且其求導公式與實數域中的求導公式有相同的形式。

凡由基本初等超越函數經有限次復合的函數均為初等超

11

越函數。

一切初等超越函數都是其定義域內的解析函數，且其求

導公式有與實數域中的求導公式相同的形式.

＜例＞＞設眇=“(八")+岳"?)是。域I:的解析函數，試

證明在域。上二曲線族,

=4|

=k：

是正交的曲線族。

證：該題的核心是證明交點處切級的斜率互為負倒數。

=tj

dM（f,y）=（―）dx+（巴）dy—0

些

ar

au

V

這里條件是分子和分母不同時為零。

”(p)—kz

d”Q,y)—(-)dx4-(-)dy

由解析函數的柯西一黎曼條件。八條件），有

3V琬

az_ay

故

9V9U

ayar

證畢。

注意：這里要求r?）關0.

1.4.6解析函數與調和函數

（1）調和函數

凡滿足拉普拉斯方程

ar1"

的函數稱為調和正數。

（2）解析函數與調和函數的關系

解析函數一定滿足C-8條件

W9UW

—?*———

驅刊.ayaz

對此二式再求一次導數（若導數存在），得

3%a%6,廿

9Z2agjH'a，ajray

因此

士+，0

kay

13

同理營段工。,

所以，解析函數的實部與虛部若有二階連續偏導數，則它

們都是調和函數.

后面可知,解析函數在其定義域內有任意階導數存在，上

面的條件總可以滿足.因此，任意一個域。內的解析函數的

實部和虛部都是D內的調和函數。

注意：實部“04）與虛部乂上療）是調和函數時，八切=

M（z,y）+i〃（￡4）不一定是調和函數。

知道解析函數的實部，可以求其虛部，反之亦然.

1?5保角映射（保角變換）

若解析函數，。="弱在Z平面上點2c處有導致f（2o）

K0,則在M="N）映射下通過點玄的任意二光滑曲線的夾

角的大小和指向均保持不變.如圖1.5所示,a=/?.

75）的模1/（20）I表示30處無窮小線段經切映

14

射后伸長或縮短的倍數。因而也稱為線性放大系數或伸縮系

數等.

「S)的幅角arg/，表示過分點的任意曲線經吁

映射后，其切線轉動了這個角度，又稱這個角度為映射小

=“外在點0處的轉動角。

說的無窮小鄰域內，各方向的導數值相同，就是說各方向

的伸縮系數相同.因此,在無窮小鄰域內的圖形經映射形狀相

似，故又稱保形映射、共形映射等。

下面介紹幾種有關的保角變換.

(1)整式線性變換.

w=az+b

該變換由于

養=。=0

也

因而在全平面處處可導，故處處保角.該變換由三個簡單變換

復合而成；

15

這一變換把￡平面上的工點平移一個矢量b得到平面

上的":點（見圖1.6），也就是把？平而上的任一國形平移矢

量［得到“，平面上的映射圖形（象）。

＜例＞求在映射，”f+i卜圓周|z|=l的象。

圓周bl=1上的短一點、.經，r=r+i映射到if'平面后平

移一個虛單位i（見國1.7）.

圖1.7

這一變換又稱平移變換。

這一變換把2平面上的N點繞原點旋轉B角得到?■平而

16

上的〃；點（見國L&），也就是將右平面上的任一圖形繞原點

旋轉P角得到"平面上的映射由形（象九

設z~reM

則w=e,N=rK"十0'

＜例＞求在映射"g。’''卜，一周I11h1的家。

圜周|z-l|=l上的用一點經一上映射到，，,平面后

旋話/3角（見圖L9）。這一變換乂稱為旋轉變換。

圖1.9

圖1.10

17

③，。=。句。為正實數。

這一變換把z平面上的點z的模放大。倍得到"，平面上

的“，點（見圖LI。）,也就是將工平面的圖形以原點為中心放

大（或縮小）得到n，平面的映射圖形.

設t-re'0

則

〈例〉求在映射w-CIZ下，圓周|z--11=J的象。

圓周|Z-1|KI上每一點的模變為原來的二倍得到3平

面上的相似的圖形（見圖1.11）,這一變換又稱為相似變換.

設a=rte'1*

則整式線性變換的一般形式可寫為：

〃j=oz+b=b

設z'=e'，2………(4)

............(/?>

2，=Z"+5(C)

則4為旋轉變換,，，為相似變換,C為平移變換；M=

18

(2)反演變換.

1

切田一

Z

設2=re1*

則w=-L??-"

設劃=d”

則p=-”=一日

T

因此反演變換可看作由兩個對稱變換復合而成，其模互

為倒數，幅角相反.

①對于圓周的對稱變換

圖1.12

如圖L12所東，一般情況下，圓周為上一明=*.若

|Z1--ZcI?IZj—So|=/f2

這兩個點牙,與叫做對圓周上一』I=R的對低點.在我仃的討

論中，將兩個坐標系重合在一起研究。

0?T-1

即是相對于單位圓周的對稱變換。

②對子坐標軸的對稱變換

如圖L13所示。

也就把說，反演變換?將Z平面上的￡點通過相對于

圓粉⑶=1的對稱變換及對乳的對稱變換得到平面的

象?*.

〈例>求在映射k；卜.圓周3=2及|"<2的區域

20

的象0

解對「卜：|一2,?：zr2c”（0〈Y2Ji）

則，，'-！r]e-，故映射儲的象仍為圓（虬國LJ4），但

,中=一〃

（2對J!，卜2,由于|力行|一1

故"I、、1,11當|.：!不0時，1"“一8.即映射后的象為

單位網以外的區域。

當把懺線看作半徑為無窮大的M周時，變換妙=；具有

保圓性，即把二平面的H線或網周變換成“，平面上的直線或

圓周。

現在花們對此加以訐明。

設二丁7+i0,〃=〃+m

_y

rTy

u*+J"

2i

則一+「=目『

故/+M=（j）z

XV

＜例＞設點2在圓周/+/.一“工一助一。=0上。S+彳+

：＞0）,試分析在變換吁士下,z映射在“平面的象的情況。\

解I根據上述論證，則有點U,在曲線.

uU

7Tp0……(1)

eKO時，上式可整理為

("於+5—Q=^+%+今

=弘+7+V>3

故曲線（1）是圓周.

r=0時.有

1?一m一尿=0

則曲線（1）為直線。

3,分式線性變換

"=_一1'（必一秘）工0

22

分式線性變換是線性變換和反演變換復合而成.

(abe-ad

%?n=+6—一7--?'-+-------?1

cz+4c、ccz+d

設

ZfKt1，+d(4)

(?)

「?=”二生/+?(C)

cc

4C為整式線性變換,。為反演變換

w=zm

分式線性變換與整式線性變換及反演變換同樣具有保圓

性及在擴充平面上具有保角性（包括無窮起點的平面稱為擴

充平面）。

＜例〉求把點和.力，方變換為助=0,*=l.g=00的分

式線性變換.

弗依題意，當

z—Zi時，to=t?i=0

z-Zj時?tr=西=1

2=￡j時，物H"3=8

由第1和第3個條件可以看出所求分式變換應有如下形

式：

式中為為待定系數.由條件2可知

23

所⑶所求分式變換為

K一八￡一：；3

v例?正明，"一2"4"戶三'一￡［是將

（er??四）（">—M?1）（乙一7〉（7't）

O—.：1,二,，T變換為上一明.嶺的分式就件變換出數“

證：依題意.當

二=苞時,W'—W|

二rZt時，”=Wz

Z-Zz時??-Wj

下面的分式餞性變換滿足第1,3條件，

是分式線性變換.由第2條件有

故有

—W|)(w—Wj)(z-S|)(z—為)

,1-_，.—??2-4z0.?'—■??———1.—?-2—

(w--U,5)(?2—U?l)("一為)(％-Si)

該例題可作為公式，已知時應他三個點求其分式變換.

1.6積分

i.6.i，a）沿曲線弧c的積分的意義

設2平面上有一曲線弧C,起點為I,終點為九曲線是光

滑的或分段光滑的。并設由知到2為弧的正方向C,則由z到

二。的方向為“一。。設”2）在。上是連續的.將C分為幾個子

弧（見圖1.⑸，其分點為由，而……,j則記

5=為一比

)

r

25

江出“〃，，.……，小分別為訐段弧上的也。做和式〃川）\%

?v--i........+/（”.）\..三￡八〃.）\:■,令H?g（即,廣弧

<=I

收無限增93則|\二/…、（即r弧長7）?則

?

v'

tim_//（八）\.i

?'-'*Jfa-{

稱為閑故八.：）沿曲線（’的也分，記為［7（9-

1.6.2積分的主要性質

I.[/.(=)+J2(；JM=J八(；”1.4J

2.JZJ<)d--*j(A為常數)

3.JJ⑴d:--J/(>ck

$.若，?”,+(,?+....卜3,則

|=|f(.)d74-[/(:)dr.■+......4

7

7(=)dcv

?r?

5.J<1.-i

G?IjjJf(r.)||dc|

7.若「泊K度為石俅K，,在C上切點處|〃二)|&財,

則

||/(世|〈”/

26

1.6.3積分（J（z）d;.的計算

函數”）沿曲f的積分川當于兩個實變函數的曲線

枳分，設

；■:ig,J（工）=忖+i八

則其中〃力分別為八〃的函數

u=〃（」?夕）

r--r（^

由于

d二一：d】：id”

則

Jcf（Gd2=j（、”+i”〉（dr+idy）

［（ndr-id//）+i（rdi+〃dg）］

-J（iJilz+iJ（rd/T〃dy）

〈例〉計并枳分［Re4,］［中C為

（J）連拉-0到Ll+i的電線

<?>連接；=0到--J和由3Hli；lJ.=1-ri的

仃線段所組成的折線

解式1）曲線（?的力慳為

（Oy，41）

由于

在C上有

Zhr+II

k(]+i)7

五=(]+i)dr

又由于

Re^^z

Readk=JE(1+i)dr

-<l+i)yl；

(2)積分曲線「由兩段直線g和g蛆成，其中a的方

程為

28

1)

dz=dz

5的方程為

z—1+iy1)

dz=idy

則積分

ReHz=ReHz+

Jri

xdx+

=4+'

由此可以看出函數Rez的枳分是與路徑有關的.

x

圖1.17

〈例〉計算積分S一出一，「兄中心為2?=。+仍,半徑

JcZ一%

為r的圓周，方向為逆時針。

解：如圖L17所示曲線q的方程可以表示為參數形式：

z-"二寸c”

式中￡為參數2n

d，=re”?W

則職分

=2ni

由此可見，$［虹沿圓周C的積分與。的半徑無關。

JC-F

1.6.4柯西定理

阿西定理：若函數“外在單連通域〃內解析，目r(切為

連繪函數，則f")沿域。內任何分段光滑閉曲線的積分為

零。

證明：如圖1.18所示，設“2〉在〃域內解析，域"在0

內?邊界為C

/(i)=?4-ir

式中H和，'為］,y的函數，即

?=u（7,y）

30

V=o（T,y）

X

圖1.18

由于

2二7+iy

Az-dz+idy

則有

,f(￡)dz=§(bdx-tidy)+if(JXJZ+ndy)

利用格林公式得

￡“幻擊=+可e一爭ds

由條件八外在域/>.內也解析,應滿足柯西一黎曼條件.

au_0r

所以

31

$f（2）dz=0.

柯西定理推論:若函數“外在域D內除一點2。處是單值

解析的，則沿著所有圍境證的。域內的閉曲線的同方向積分

必相等.

證明：如圖1.19所示設有兩條圍繞為的閉曲線和月和

"MN,連接加，則域為--單連通域，而且不包括

備點,所以有

（Df（￡）dz=0

J4CKAB!tMBA

也即

L*粒+J/a粒+心,j⑸丁+J/⑺山

=0

由于

f(z)dz=—/(￡)dz

ABB.4

所以

/(?)ds+Q>JG)dz=0

4C84J

32

if(z)dz=—(p

JACfiAJ0"6

(Lf")d2=Q)/(2〉d;

JACfiAJBMKfi

y

圖1.19

柯西定理推論擴充:若在域D中有有限個不解析點內,

備，……,二,G,“，……,G分別為包圍這些不解析點的閉曲

線/為域，的邊界，則有

圖120

33

?f(z)(Jz=:f(z)dz++“z)dz

見圖L20.證明以略。

＜例＞試證積分“一備）；=。’其中“在閉曲線’的

內部，"為不等于I的整數，參見圖1-21.

證明：若"為負整數或零，則被枳函數

“2）=昌*"”

其中￡=一人為正整數或零，“口為一多項式，在全2平面處

處解析，所以

卜泮^二0

若比為不等于1的正整數?則被枳函數

有唯一的不解點之二2。

.以“為例心，以r為半在撕網g根據加西定理推論，沿

H1曲線i和沿剛闔（'函也JJ）的枳分相等

34

(—生—=?

I(--Q”J。

將被積函數寫成指數函數形式，由于

re

「小?加

r'e‘“

則有

re”?id〃

一?，，dO

--e?叫。

1-W

?"?”,一]]

一R

而當＞?=1時，，應用柯西推論

同樣可得

35

由此,我們可以得到一個重要的結論，當菊在I內時，積

分

2m(?=1)

0Gr0)

而當的在*外部時，由于函數在2內部處處解析，則有

1-6.5柯西積分公式

若函數”切在一條閉曲線，內的區域〃上及￡上是解析

的，且為為/內任意一點,則

?圖1.22

證明：這個公式的求證可以歸結為下式的求證。

J":9—^―--/(Co)=0

Zn?Jizzo

由于

36

所以，可以有

于是.我們所要證明的關系變為

如圖1.22所示以2。為圓心，以r為半徑作網周,山柯

西定理推論可以得到

小改＞二,5幾=$四2二山也

j?z一譏Jrz一為

這里需要說明的是，所求積分是確定的復數值，并不I目圓周「

的大小而變化,即與，無關。由于小外在/)域內解析?所以其

導數r(沅)存在，也即

hm—------------J'5)

-DN一%

存花，所以它們的模

.../(-)/(2)I[J

-****0

37

有界，設

I笑二空當〈人一

**“U

其中A-為有界數，有

I<f,l<K￡|ds|

=K?2nr

不管r多么小，我們都有上式存在?所17

Jr2-20

于是有

若將面看作動點￡,便得到下式

這就是柯西積分公式，右面的積分稱為柯西積分，柯西積分公

式建立了解析函數在域內各點的函數值和邊界上各點函數值

的關系。

<例>求枳分￡—三一五的值/為由工=土2及"=士

''2+3」

2圍成的閉曲線。

解：在所求的積分電一0：不比中

?在所給定的用曲線所圍成的域內是解析的，—淮域內的

-一點，由柯西枳分公式對

k2川*（一1）

="2n

1.6.G解析函數的高階導數

在:實變函數中一個一數的階導效苗住，乂高階S數不

-定。花.1（1］住址變函數中，解析由我的任何高階的導致總是

存在的.運用軻西公式川小說明這個事實U

.JL）為用曲線/I.及，斯圍成的域內的解機?函數.二為

域內的乩則按阿西也分公，弋

39

,⑶=白￡鋁業

按導致的定義

..，仁+，\2》一“2》

79)=HUI——"""**J-----------------

At-*0

而

仆+M)7(2)=白?「((2\

2mJ：々…(z+\z)2川)遙一之

_1J；/⑷心也

2niJ<(t,-?-z—七)?—z)

所以有

也可以寫成為

/s)=.￡.”W

dmQZL?￡

由此形式可以看出，解析函數的導函數可以用其柯西積分對

Z求導得到,而這個求導過程可以在積分號內進行。

同樣可以得到其二階及高階導函數

「⑺=白￡/里產

40

f⑺一2ni*?—切田國

由此，可以得到這樣的結論：解析函數在其閉曲線內任意

點z處的任意階導數存在，解析函數的導函數仍為解析函數。

上面的公式均稱為柯西積分公式，在理論上和實際計算

上都是很有用處的.

￡口為尸必，為圓心在一、半徑為

〈例〉計算積分21

的圓周。

解：如圖】.24所示。函數e,在所給定的域內是解析的，用

阿西積分公式有

e

4但+2Y

棄”)

2%-2

3}

ni

圖1.24

L6.7沿無限直線的柯西積分

以上討論的都是有限閉域內的情況，而半無限平面域的

情況下的柯西極分對于我們所將要研究的問題來說是很有意

義的。這里，給出幾個有用的結論,詳細的證明請讀者參閱文

獻［2］第四章的內容.

設函數人切在上半I7面解析?」￡在上半平面及實軸，，上

41

連續,當二4人，時/（z）=a,則當z在上半平面時

而當之在下半平面時

=——--a

若雨數八~）在F半平面內解析」［在下半平面及實軸L

上連續,當*—時f（2〉=a,則當Z在下.半平面內時

口"dJ/（，）+，

J,八3十2

當Z在I.半平面內時

圖1.25

1.7級數

級數是研究而數的重要工U,用簡單的函數（如嘉級數,

'：角由數級數）束衣達亞雜的由故,這桿就可以由＜1簡單函數

的研競來研究匕雜的函數。

42

這一節將介紹臺勞(Taylor)級數和羅朗(Laurent)級數。

1.7.1解析函數的臺勞級數

我們來研究解析函數”￡)在2=之點附近的臺勞級數展

開式。

如圖1.26所示,設“z)在四周G的內部所有點處是解析

的.二。為4的中心，則在4內任意點z處有

圖1.26

f(z)=/(%)+7(%)(2%)+—20)'+.........+

r-u)

J,.一(2-Zo)'+...........

?!

證明1由于”2)在C內解析，我們在4內以為為中心作

圓周,把工包含在內，則圓周2的'K徑P>“|N-備|eQ.所以

八0在以［為邊界的閉域上解析二乂在/內，根據河西積分公

式

:儂業

作如下空攢

1

%)

1

,一

為1—A

式中

而且

由于E是無窮等比級數…的和式,由下

式可以看出t

1=(1—4)(1+同+⑷+....+*T)+#

-：-=(1+A+/+........+4*T〉+丁<,人

L—AJ-A

式中最后一項稱為余項,因此?我們可以寫

1一1riZ一為（z一/）2J1（￡-%）?一、,

;一^=L-一tuf。++77g」+

C一￡5%+々L一-比+代N一￡。）?一~比）

（::一為）'1

（一0）n”

1z-（2—^o）：

十

（2一a）1（￡一為）’

（。一為＞（C一方）Yt—z）

冷空+盧幼⑷+■?）+……+

（Z-ZQ）*

（L2。）（匕-Z。

1￡0*（"z。）…”

而

余項

然=而￡，-2）?-丁心”一

由柯西積分公式可以得到

，€=）="知）+「（備）（名一備）+l"；；）Q-曲）'+…-+

由于

m=~2AlJf，7（74~-~z祟）（《~一~A）^ddk-SoP

，為，《）所在解析域的邊界有最大值，設〃為|『（z）|

在亡匕的最大值，又有

IC--z\=|（C-z?）—（ss?）l3〃一r

所以

）貼…

l?.）<LXl?

2nJ（|t,-a||t,—^o|

45

2nJi{p--r)p*

Mr*￡

=1，?.—??--—?■>*w-①QT

2n(p--r)p*J/

=.%L(二)?

p-rp

顯然

lim|".|nlim——（二），=0

■—F??、>/>Tp

所以函數f（￡）可以展開成臺勞級數

/（?）=，（片）+7（Z°）（Z—a）十符產（吁20尸+…”?+

?!

這里特別要指出的是當比=0時，得到馬克勞林

（Maclaurin）級數展開式，這是臺勞級數的特例

f（z）=f（O）+r（0）汗陰1+……+……

〈例〉試求e,的馬克勞林級數。

解：函數/（z）=e，在金z平面解析，且2=0時

"2)=J(O)=1

P(0)=r<0)=…=/!,>(0>=…=I

所以

e=[+z+^y+/+...+三十......

2J3；*】

46

＜例＞試求sinz的馬克勞林級數.

解；函數，a)=8iCK在全Z平面解析，且/(0)=0

ff(0)—cos(0)—1

r(0)=—)n<0)r0

/*(0)---CQS(0)=~1

等等,所以

a

(7)…京F。

h7.2解析函數的羅朗級數

設有兩個同心圓周，硼心為曲，如圖1.27所示.

口：化一方|二，1(2：憶一口！=7*2

若函數八二)。一和5上以及的陽周之間的環杉區域內

是解析的,則在該K域內，八力可以川.的|1群勺仇解的

收斂級數發表示

47

8B

/<2)=4)*+2廠公￡

?-0I-Zc)

c為C|,G之間的以比為心的圓周。

這就是羅朗級數.臺勞級數是羅朗級數的一定條件下的

特例，與證明臺勞級數存在一樣我們也可以證明羅朗級數存

在。

可以把系數。?，