S市高一學生函數解題錯誤的實證研究目錄TOC\o"1-2"\h\u177621.選題背景 197522.相關概念 1128042.1.解題錯誤的概念 1200422.2.解題錯誤的類型 268592.3.解題錯誤歸因 2279023.研究方法與過程 5154093.1.研究方法 5303063.2.研究對象 694424.高一學生函數解題錯誤的實證研究 7176314.1.問卷調查結果分析 7231354.2.測試卷結果 12269044.4.訪談結果分析 19310435.相關建議 2089925.1.鼓勵學生勇于發現錯誤并提出疑難 20191005.2.設計適應高中生認知發展水平的教學活動 2021445.3.注重培養學生在數學學習過程中的反思習慣 2120716.結語 2173867.反思 2297418.參考文獻 23272519.附錄 2566439.1.高一函數測試試卷 25301789.2.高一函數解題錯誤調查問卷 29224499.3.高一函數解題錯誤訪談提綱 31摘要:函數是高中數學學習的重要內容之一.高一函數在抽象性、難度以及題目的綜合度高于初中,是學生學習的難點,學生在新知識的習得過程中,發生一定的解題錯誤是不可避免的.本研究選取高中數學教材《高一數學必修1》中有關函數概念、函數表示、函數性質的知識,主要通過問卷調查、測試卷測試、訪談法等方法進行研究,指出目前高一學生函數解題錯誤的類型以及原因,給出針對性的意見,期望對于S市和我國的教育事業的發展助力.關鍵詞:高中數學;函數教學;解題錯誤;S市選題背景高一階段函數的學習是建立在初中數學理解“函數是兩個變量之間的依賴關系”基礎上,學習用集合的語言來刻畫函數,體會對應關系在刻畫函數概念的學習和運用,是初中學習向高中學習的一個過渡階段,高一函數在抽象性、難度以及題目的綜合度高于初中,是學生學習的難點,解題錯誤率高,對于剛剛升上高一的學生由于心理因素和函數知識的特點,更是加重了函數解題的錯誤率.國內外學者從認知結構分析和心理因素分析兩個方面分析了錯誤產生的原因.也有很多學者對錯誤的類型進行了研究,大多數學者認為錯誤的類型可以分為四種:知識性錯誤、策略性錯誤、邏輯性錯誤和心理性錯誤.從學生數學學習的整體過程來看,數學學習中的錯誤,包括解題錯誤在一定程度上是不可避免的,因此,在數學學習過程中,難免會出現解題失誤.但是,從教學的角度來看,我們希望學生能夠順利掌握數學知識,避免在解題時重復錯誤.因此,研究學生在數學學習過程中的問題解決錯誤,進行科學合理的歸因,以及研究如何有效避免或糾正學生問題解題錯誤的方法具有重要意義.相關概念解題錯誤的概念國內外的學者對解題錯誤的研究的分析非常多,其中行為主義者認為解題錯誤是學習中解題訓練強度不夠引起的;認知主義者的解題錯誤是指學生對所學知識進行識別、辨別和理解后所獲得的認知結構進行組織和重構,認為學習是內在的、主動的、完整的.該學派認為,知識是以組塊的形式儲存在大腦中,知識塊的組織和訓練強度的不足會導致錯誤,通過大量的重復訓練可以實現條件反射,加強知識與問題之間的聯系,但是對于解題出現錯誤收效不明顯.在解題的過程中,如果沒有充分理解題意,忽視條件,也會造成解題錯誤.解題錯誤的類型錯誤的出現可能引起主要是從兩個方面進行,認知結構角度分析、心理因素分析角度分析.主要將錯誤類型分為知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤、和疏忽性錯誤等四類.知識性錯誤是學生對于數學概念、公式、定義和和一些基本內容沒有掌握,在解題是不能對知識再認,提前知識解題的導致解題錯誤.邏輯性錯誤其實算知識錯誤的一種,但是邏輯錯誤不是沒有掌握知識,而是對知識掌握不牢,知識之間不能整合應用,出現解題邏輯上的錯誤策略性錯誤是讀懂題后,找到解題的知識,但解題的過程中方法不正確,導致解題錯誤,還有一種情況是解題方法正確,但是解題過程復雜且給解題帶去障礙,這樣就容易出現解題效率低或者解題過程中計算錯誤和條件混亂,以至于解題錯誤.疏忽性錯誤是心里因素的一種,這種錯誤主要是學生在解題過程中沒有正確的心里意識造成的,其中表現為不能理解題意或者讀題不準確以及忽略題目條件和解題粗心大意等,還有就是緊張,焦慮,認為自己不能解題等.解題錯誤歸因在數學函數解題中,學生出現的錯誤各式各樣,并且原因復雜,為了有效地防止解題錯誤的發生,很多學者都對數學解題錯誤進行了大量的研究,利用這些錯誤從中找出避免解題錯誤的發生的方法,以達到提高教學質量,幫助學生提高解題有效性和解題的效率.但是由于解題錯誤的原因復雜多,因此按不同的標準對解題錯誤做出不同的歸因.馬文杰在《高一函數教學中學生數學解題錯誤的實證》中通過開發的《高一學生數學學習問卷》和七套《高一數學測試卷》集中具體地研究高一學生在數學解題中出現的錯誤,分析錯誤的主要類型,以及導致錯誤的主要直接原因等.對解題錯誤的分析主要從兩個層面展開,在一般層面上主要是以知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤和疏忽性錯誤為研究的基本工具進行分析,除了一般層面分析學生解題錯誤之外,同時還具體分析學生群體解答某一個題目時出現的解答錯誤,并采用錯誤模式和錯誤復現率這兩個概念進行分析;最后又設計調查問卷,問卷中設計的項目主要圍繞高一學生的數學解題錯誤展開.主要從高一學生的視角,研究解題錯誤的主體（即學生）對數學解題錯誤、數學解題錯誤的主要類型、導致數學解題錯誤的主要原因,以及如何有效地矯正解題錯誤等一系列問題的具體看法和基本觀點[1].吳丹丹在《高一學生函數錯題訂正的研究》中的采用定性與定量相結合的混合研究方法將高一學生函數錯誤分類為基礎知識薄弱、數學思維局限、策略選擇不當和計算錯誤四類,而通過問卷調查的結果發現學生在錯題訂正方面存在問題,教師也沒有科學可操作的錯題訂正策略,對學生的指導不到位;對此提出學生的錯題訂正需要教師對學生指導,師生共同參與[2].任利萍在《高一學生函數學習的障礙及其成因的調查研究》中通過問卷調查與測試卷的分析,得出學生學習函數的障礙主要來源于理解障礙、思維障礙、學習策略障礙以及學習情感障礙這四方面.針對學習函數的障礙進一步分析,得出理解障礙是由于對概念的深層意思不能夠完全把握以及對函數性質的抽象表現形式不能夠理解而產生的;情感障礙的產生主要與學生自身因素、教師等因素有關;學習策略障礙主要是學生的元認知能力差、知識遷移能力弱、學習解答策略缺失所引起.基于研究,對學生的學習障礙和成因提出策略[3].李艷芳在《基于錯題管理培養高中生數學反思能力的個案研究》應用問卷調查法、訪談法、和個案研究法等方法得出結論:高中生對錯題資源的重視程度較高,持有積極的改正水平,但缺乏行之有效錯題管理行為策略.數學反思能力處于中等水平,具備初步反思意識,大多數學生沒有良好的反思習慣與明確的反思技能[4].原守甲在《高一學生函數解題錯誤與非智力因素關系研究》中采用文獻分析、文本分析以《高一函數測試卷》為工具對學生進行測試,然后采用問卷調查并對教師進行訪談對收集的資料和文獻研究得出結論,第一,高一學生整體上出現函數解題錯誤中,知識性錯誤最多,疏忽性錯誤其次,邏輯性錯誤主要是知識性錯誤和疏忽性錯誤;第二,不同層次的高一學生,低錯組學生函數解題錯誤主要是知識性錯誤和疏忽性錯誤,中錯組學生主要知識性錯誤和疏忽性錯誤,而高錯組學生主要是知識性錯誤;第三,高一學生的非智力因素平均分與函數解題錯誤頻次之間是負相關的關系;第四,對于解題錯誤較多的高一學生,針對性的培養學生的非智力因素,可以減少解題錯誤的出現.基于研究結果,為了減少高中學生數學解題錯誤,作者對教學提出以下建議[5].曹瑜,張玉娟,呂謙在《例談高中生數學解題錯誤心理性研究錯誤》中指出高中學生數學解題錯誤存在心理性原因,其中包括第一,心理原因不足,心理能力即人們從事心理活動所需要的能力;第二,錯誤的心理勢態,其中又分為順序心理導致的錯誤、停留性錯誤、忽視隱含條件、潛在假設;第三,其他心理錯誤.對于這些原因都給出了分析和建議[6].Radatz經過研究后,認為:高中上在語言困難容易產生,做題導致的錯誤.對許多學生而言,學習數學的概念、符號、詞匯就相當于學習一門陌生的語言.在解決文字題的過程中,學生必須避免受一個詞匯在自然語言中眾多背景語義的影響.對數學文本語義的錯誤理解常常是學生錯誤的根源.在解決文字題的過程中,學生從自然語言語義向數學語言語義轉換時更容易發生錯誤.Radatz得出結論:①學生在數學學習中出現的錯誤并不是簡單地缺少正確答案,或是不幸的偶然事件,學生在數學學習中出現的錯誤是確定的過程的結果,這些確定的過程的本質必須要弄清楚;②通過個體信息加工的機制來分析學生錯誤的本質,及其隱藏在背后的原因是可能的;③對學生數學學習錯誤的分析提供了理解學生數學學習過程的新觀點;④目前流行的量化測試,以及類似的測量學生成就的方法,并不能為有效教學提供充足的標準,而對學生數學學習錯誤,及其錯誤原因的深思熟慮,可以把數學課程知識和關于學生個體的知識結合在一起,這樣就可以為數學教師提供特別的幫助;⑤由于錯誤原因之間相當密切的相互作用,要把錯誤的原因截然分開是相當困難的[7].戴再平認為:在數學教育發展過程中,學生出現錯誤的類型發生變化,反映了人們數學學習方法與觀念的轉變.從學生的錯誤類型來看,數學學習不應建立在“概念、定理—例題—練習”的知識傳授型模式之上,而應建立在鼓勵學生創造新的模式上[8].羅增儒認為:學生解題的錯誤,很多時候是沒有對一般思維規律進行總結,沒有形成固定的解題方法,如:歸納、演繹、分析等.在具體解題中,學生如果理清解題思路,對解題的正確率有極大的幫助[9]. 研究方法與過程研究方法試卷測試分析法通過分析專門設計的作業與試卷,以及多樣化的評估任務等研究高一學生數學解題錯誤的主要類型與基本特點.用專門設計的作業與試卷分析高一學生解題錯誤是可行的,也是有效的,問題解決中使用合適的策略的能力反映了學生的數學熟練程度.測試卷中學生所使用的解題方法以及方法是否正確可以反應高一學生函數解題的策略和邏輯以及知識的掌握情況.問題的表征反映了學生們處理問題的過程和他們交流數學思想和思維的過程.而對數學錯誤的研究則提供了錯誤的特征和處理,以及學生如何改正他們的錯誤.根據這些認知方面,用一個具體的定性的編碼圖式,可以對每個問題的解答策略、數學錯誤以及數學表征進行檢驗.這樣的認知分析在先前的研究中已經證明有很高的信度,并且提供了關于學生思維、推理的重要信息”、“對解題策略的研究可以揭示學生數學思維及推理的定性的方面”,并認為“復雜問題非常適合評估和喚起學生高水平的數學思維能力”.問卷調查法對于高一學生的文字理解和對自己函數掌握的程度,制作問卷并向S市具有代表性的高中發放進行調查,以問卷調查初步了解當地高一學生關于函數知識和自己函數解題錯誤的基本認識.初步的問卷調查的內容是學生對函數學習以及函數解題錯誤的認識.訪談法通過向學生發放測試卷進行測試和問卷調查的方式可以了解到學生對于知識的掌握程度,也可以了解到學生在函數這一紙識點上常犯的錯誤,但是也可以通過對老師進行訪談,了解到實際的教學過程中學生的反應和老師的教學方式.訪談的目的主要有:①了解和核查學生在學習過程中的困難,以便整理與進一步分析;②了解學生在學習過程中何種教學方式能夠幫助其更好地掌握知識,降低錯誤率;③通過對于教師的訪談可以發現教師在教學過程中可能存在的一些偏頗和錯誤,能夠幫助教師及時的糾正錯誤,提升教學質量;④充分利用訪談過程中即時生成的資源,揭示有關學生思維過程、解題錯誤等方面的更多信息.確定選題研究路線確定選題收集閱讀相關文獻收集閱讀相關文獻制定研究計劃制定研究計劃訪談法問卷調查試卷測試調查訪談法問卷調查試卷測試調查策略性錯誤疏忽性錯誤策略性錯誤疏忽性錯誤知識性錯誤邏輯性錯誤錯誤分析錯誤分析整理分析數據整理分析數據提出解決建議提出解決建議得出結論得出結論研究對象本研究的調查對象是抽取了S市市里代表高中縣上代表高中以及鄉鎮高中高一學生參加,共計150名,發放問卷和測試卷150份,收回有效問卷測試卷150份.我們在咨詢了教學經驗豐富的一線數學教師意見后,參考大量教學用書和練習冊,完成了對預測試調查問卷的編寫任務,并選取S市學校高一共150名學生參與課題的預研究.時間安排在2020年10月,此時學生剛完成高中數學必修一函數學習內容.測試卷的設置和原因:整套調查問卷共10道題.由于本論文主要研究高中生在函數學習過程中,存在哪些學習困難,因此試卷可以反應學生解函數的實際情況.高一學生函數解題錯誤的實證研究問卷調查結果分析2020年10月共150人參與了問卷調查,調查的結果如下:你認為函數在高中數學中的地位（）A很重要B重要C不太重要D不重要表4.1-1調查問卷第1題選項ABCD頻次99（66%）34（22.7%）17（11.3%）0（0%）通過分析表可知:回答問卷的高一學生普遍地認為:函數在高中數學中的地位很重要99（66%）或重要34（22.7%）,并有近90%的學生認為函數在高中數學中的地位很重要.經過這一階段的學習,你覺得高中數學（）A很難B有點難C沒有感覺D不難表4.1-2調查問卷第2題選項ABCD頻次33（22.0%）97（64.7%）15（10%）5（3.3%）通過分析表可知:回答問卷的高一學生認為數學很難的有22.0%人,而大多數參加問卷的高一學生64.7%認為高中數學“有點難”.我們認為回答問卷的高一學生對高中數學難度的認識與高中數學的絕對難度較為一致.筆者認為高中數學是有一定難度的,這也是導致高中學生數學解題錯誤的一個基本原因,另一方面,與高中其它科目相比,尤其其它理科科目相比,高中數學的內容又不是難度最高的,也不是學習起來最困難的.經過這一階段的學習,你覺得高中數學（）A很有趣B有趣C沒有感覺D枯燥選項ABCD頻次24（16%）78（52%）38（25.3%）10（6.7%）表4.1-3調查問卷第3題通過分析表可知回答問卷的高一學生認為高中數學很有趣或有趣的人有102（68%）,而對高中數學很感興趣,這說明在回答問卷的高一學生當中,多數學生對數學學習具有較高的興趣,同時也有48（32%）的學生對數學學習的興趣并不濃厚.對于自己數學作業中的錯誤,你的態度是（）A不能容忍自己的錯誤B有點難為情C不在意D出錯正常,訂正就行表4.1-4調查問卷第4題選項ABCD頻次35（23.3%）60（40%）7（4.7%）48（32%）通過分析表可知:回答問卷的高一學生僅4.7%“不在意”自己在數學作業中的錯誤,有60（40%）人對自己數學作業中的錯誤感到難為情,不好意思,有48（32%）人認為“出錯是正常的,訂正就行了”.這說明絕大多數學生對自己的解題錯誤的態度是較為積極,較為可取的.另外有人“不能容忍自己的錯誤”,我們認為這種對待錯誤的態度未必可取,無論是在學習上,還是在生活中,可能都需要適度容忍錯誤,容忍模糊,而不能過分地“求全責備”.你會經常犯同樣的解題錯誤嗎？（）A肯定不會B有時會C沒有在意D經常犯同樣的錯誤表4.1-5調查問卷第5題選項ABCD頻次8（5.3%）94（62.7%）13（8.7%）35（23.3%）任何一個有一定解題經驗的人都知道,解題出錯是常有的事情,幾乎沒有人敢說自己肯定不犯解題錯誤,或肯定不犯同樣的解題錯誤.根據分析:如我們所料,參與問卷調查的一年級學生中沒有一個人選擇“絕對不會”犯同樣的解題錯誤.絕大多數的學生認為他們“有時解決問題犯同樣的錯誤,一些人認為他們經常犯同樣的錯誤”,在教學過程中,我們發現確實是解決問題的一部分錯題屬于重復的持久的錯誤.你有專門的收集與整理自己的數學解題錯誤的錯題本嗎？（）A沒有B有,有時會利用錯題本整理自己的解題錯誤C有,經常會利用錯題本整理自己的解題錯誤D有,每次出現解題錯誤都利用錯題本進行整理表4.1-6調查問卷第6題選項ABCD頻次32（21.3%）93（62%）19（12.7%）6（4%）通過分析表可知:回答問卷的高一學生有118人有錯題本,專門用于收集,分析與整理自己的解題錯誤,但對錯題本使用的頻率分歧較大,大部分學生是“有時會利用錯題本整理自己的解題錯誤“,而“經常會利用錯題本整理自己的解題錯誤”的只有19（12.7%）人.這說明參加問卷的高一學生對錯題本可能并沒有充分地利用,錯題本的功能可能也沒有得到全面而有效地發揮.如何引導學生充分利用錯題本,全面發揮錯題本的教育功能,應該是一個值得思考的研究課題.后續的題目為排序題,其基本目的在于從學生的視角了解高一學生數學解題錯誤的主要類型,導致解題錯誤的主要原因,在教學過程中教師常用的處理學生數學解題錯誤的方式及其效果在學習過程中學生常用的處理自己的數學解題錯誤的方式及其效果,以及影響學生訂正自己的數學解題錯誤的主要原因等等.在問卷設計過程中,如果設計成多選題,在回答問卷的時候,可能會出現有些學生由于不認真,或認識的片面等原因而只選擇其中的一項或數項,這樣就可能遺漏某些重要的信息,因此,最后我們確定運用排序題的形式,把每個問題涉及的主要因素一一羅列出來,然后請回答者根據一定的標準對它們進行排序,由于排序過程具有不重不漏的基本特征,這樣即可較好地保有所需要的相應信息,但隨之而來的一個問題是:在排序題中羅列的項目越多,對排序的干擾越大,排序的困難也越大,這也在一定程度上會影響排序結果的可信程度.因此,在分析過程中,我們既注重排序結果的“序列”特征,同時更關注排序結果的權重特征,把在每一排序中出現在前數位的各項目（因素）作為重點分析對象,主要分析每一排序結果中前數位中各個項目（因素）出現的頻次.7、你覺得自己經常犯哪一類型的數學解題錯誤？A知識性錯誤B運算性錯誤C疏忽性錯誤（粗心大意造成）D未按要求解答導致錯誤E、題意理解錯誤F、其它錯誤對于以上各類錯誤,按照自己解題中出現的頻率由高到低進行排序:選項ABCDEF頻次8499120789636表4.1-7調查問卷第7題在表中我們統計的是在每一排序結果的前四位中各項目（因素）分別出現的頻次,通過分析可知:在該排序中位于前四位的項目（因素）依次是:粗心大意導致的疏忽性錯誤、運算錯誤、題意理解錯誤、知識性錯誤,這與我們教學觀察的結果,以及對測試卷的分析是基本一致的.8、你認為導致自己數學解題錯誤的主要的原因是什么？A數學知識難度大,系統性較強B老師上課存在一定的問題C自己聽課不認真D練習做的不夠,方法掌握不牢E自己數學基礎差,底子薄F數學枯燥乏味,不感興趣根據你自己解題出錯的主要原因,由主要到次要對以上原因進行排序:表4.1-8調查問卷第8題選項ABCDEF頻次1433298993625通過分析可知:回答問卷的高一學生所認為的導致自己數學解題錯誤的主要原因可以歸結為兩類:（客觀因素.即與數學科目直接相關的一些因素.主觀因素.即主要與學生自身直接相關的一些因素,而很少有學生認可老師課堂講解存在一定問題.9、對你數學作業中出現的錯誤,老師通常會怎么處理？A只是在作業本上打XB會在作業本上指明錯誤之處C會在課堂上講解（如果人多犯錯）D會對我個別輔導E要求自己訂正解題錯誤F、其它方法根據老師在教學中對以上方法的使用的頻繁程度,由高到低對它們進行排序:選項ABCDEF頻次941081173812437表4.1-9調查問卷第9題通過分析可知:各項目（因素）按出現的頻次由高到低排序依次:是會在課堂上講解（如果人多犯錯）、其它方法、會在作業本上指明錯誤之處、只是在作業本上打X、要求自己訂正解題錯誤、會對我個別輔導.你一般是如何處理自己數學作業中的解題錯誤的？A分析錯誤的原因并且進行訂正B參考別人的解答或者老師的講解進行訂正C不訂正,下次注意就行D不太在意,就當沒有發生過E、其他方法對你以上這些處理自己數學作業中的錯誤的方式,按照收效由好到一般進行排序:表4.1-10調查問卷第10題選項ABCDEF頻次2113311210912334這說明高一學生訂正自己的解題錯誤時最常用的方式是:參考別人的解答或老師的講解進行訂正,或分析錯誤的原因并且進行訂正.在該排序中“不訂正,下次注意就行啦”出現的頻次是92次,這說明有相當一部分學生對自己的解題錯誤,及其對解題錯誤的訂正并沒有引起足夠的重視.測試卷結果測驗共有19道題,由選擇題、填空題和綜合大題構成.通過分析可知,絕大多數學生按照答卷要求,寫出了自己的解題過程,但也有少數學生在解答選擇題與填空題的時候,只是簡單地寫了個答案.因次在分析其解題出錯的人數,以及錯誤率之外,對于有解題過程的還對學生在解題過程中出現的解題錯誤的類型做進一步的分析.學生對函數定義域的掌握情況分析表4.2-1高一學生函數定義域錯誤統計圖題號16710錯誤率18.7%72.6%53.4%48.3%通過統計表可以知道高一學生對函數的定義域的只掌握了基本的定義,但是對利用函數定義域概念解題的能力差.第一題只有幾個學生出現知識性錯誤,主要是對集合概念和運算規則掌握不足導致解題錯誤,還一些學生是由于題簡單,沒有認真讀題出現疏忽性錯誤;第六題考察反函數,而反函數主要考察定義域和值域的轉換,錯誤率超過七成,由分析知道錯誤的學生中62.3%是由于知識性錯誤,主要是不理解反函數的概念以及對反函數定義域與值域的轉換后取值范圍的不掌握而造成的,其余學生主要是疏忽性錯誤造成,解出答案后因為忽略定義域取值范圍而出現錯誤正確答案選B而疏忽性錯誤學生大多選擇了A選項;第七題是考察由函數定義域反解參數,本題解題錯誤超過六成是知識性錯誤,主要是由根據二次根式有意義的條件,對m進行分類討論,而大多學生不能掌握定義域概念下反解參數需要分類討論的知識,其余學生主要是疏忽性錯誤,其中有一部分沒有看清題目條件,而大部分是忘記討論,因此錯選了答案A;第十題考察根據函數定義域對應多層求值問題,主要由疏忽性錯誤引起,學生沒有注意自變量的值所在范圍出現解題錯誤,少部分是由于策略性錯誤引起,主要是在解題過程中沒有按照由里到外的順序逐層求值,解題策略不正確.學生對函數概念和公式的掌握情況分析表4.2-1高一學生函數定義域錯誤率統計表題號891416錯誤率78.8%53.4%41.6%71.5%從統計圖表中可以看出高一學生對于函數概念和公式的應用情況比較差,錯誤率高的第八題和第十六題主要考察學生對函數概念的混合應用,可以看出學生概念不清的情況.第八題主要的錯誤率主要超過七成是知識性錯誤,主要是對函數周期性和和函數奇偶性概念的不能掌握,其余學生主要邏輯性錯誤,不能靈活的運用函數周期性和奇偶性解決問;第九題考察對數函數公式,這里錯誤的大多學生是因為疏忽性錯誤,計算錯誤和公式混淆以及對數函數的定義域的范圍忘記討論而出現錯誤,其余同學是知識性錯誤,不理解對數函數的公式,以及不能應用對數函數公式;第十四題主要是知識性錯誤,學生不能識別指數函數過定點的知識;第十六題考察根據函數奇偶性求解析式,有六成多學生知識性的錯不能理解奇函數的定義,不能應用奇函數,其余學生則是疏忽性的錯誤,讀題不準確和帶入出錯.學生對函數單調性以及含參數復雜單調性的應用情況分析表4.2.3-1高一學生函數定義域錯誤率統計表題號2341315錯誤率18.2%23.3%28.4%44.8%31.6%由統計表看出高一學生對函數簡單單調性概念掌握情況比較好,其中第二題和第三題主要是疏忽性錯誤;第四題考察的是利用二次函數單調性求參數,學生的錯誤主要是知識性錯誤,學生不能很好的掌握開口向上的二次函數在區間上單調遞減,對稱軸應該位于單調遞減區間的右邊,錯選了答案A,還有部分同學出現疏忽性錯誤,沒有考慮到取等號,錯選了答案B;第十三題考察復合函數單調性,學生解題主要是知識性錯誤,學生對于復合函數單調性求解同增異減原則不能掌握;第十五題情況和第四題類似.學生函數的圖像的掌握情況分析.表4.2.4-1高一學生對函數圖像的掌握情況統計表題號51112錯誤率63.8%72.5%52.4%從統計表可以看出高一學生對函數圖像的認識欠缺,側面也反映出學生的數形結合能力弱.第五題考察指數函數與對數函數的圖像,其中需要對底數分類討論,但是大部分出錯的學生都沒有分類討論,這歸為學生疏忽性的錯誤,而剩下的學生主要是知識性錯誤,對函數圖像沒有掌握而出錯;第十一題錯誤率很高,這一題主要考察指數函數的圖像與性質,必須有數形結合的思想,大多數學生出現知識性錯誤主要是應用指數函數的性質,知道性質不會應用與進行比較,其次解題過程中學生缺乏數形結合思想,不能夠分析解決問題這歸為學生邏輯性錯誤;第十二題考察指數型函數圖像的變換,四成多的學生知識性錯誤的是因為不能掌握指數函數的圖像以及函數的性質和變換,而其余則是疏忽性錯誤,沒有看清題目條件是選不經過和圖像變換過程中忘記少過程,導致錯選.第17、18、19是函數知識綜合應用考察,錯誤率高,尤其是最后一個小題,部分學生空題未做.綜合題錯誤類型分析通過分析可知,絕大多數學生按照答卷要求,寫出了自己的解題過程,但也有少數學生在解答選擇題與填空題的時候,只是簡單地寫了個答案.因此,我們在本研究中,對選擇題與填空題,只是分析解題出錯的人數,以及錯誤率,而對于解答題,即第17、18、19題,在分析其解題出錯的人數,以及錯誤率之外,還對學生在解題過程中出現的解題錯誤的類型做進一步的分析,其中空題的視為知識型錯誤.17．已知函數 (Ⅰ)證明在上是增函數;(Ⅱ)求在上的最大值及最小值．表4.2.5-1《高一函數測試試卷》第17題錯誤類型分析統計表錯誤類型知識性錯誤邏輯性錯誤策略性錯誤疏忽性錯誤頻數380053通過對17題統計的數據分析可以知道學生知識性錯誤和疏忽性錯誤比較高,從解題過程分析解題錯誤主要出現在第一問,學生第一問做不出,基本第二問也不能做出來,但是部分學生第一問沒有證明,第二問直接帶入區間斷點求出值比較大小得出結果,但是這樣的情況只能在簡單題中,因此這一部分學生也視為出現知識性錯誤,其中學生出現的知識性錯誤是學生只是知道函數單調性,但是不能理解單調性定義以至于不能應用實際問題的證明中;疏忽性錯誤是對于要求證明上的增函數,但是學生忽略了要求,也忽略了函數解析定義域的取值范圍.從以下典型的解題過程就可以分析出.18．設函數,其中∈R.(1)若＝1,的定義域為區間,求的最大值和最小值;(2)若的定義域為區間,求的取值范圍,使在定義域內是單調減函數．表4.2.5-2《高一函數測試試卷》第18題錯誤類型分析統計表錯誤類型知識性錯誤邏輯性錯誤策略性錯誤疏忽性錯誤頻數10227089通過對18題統計數據分析可以知道學生解題的過程中主要出現是的是知識性錯誤和疏忽性錯誤,對于第一問的知識性錯誤是學生不能利用單調性定義證明函數在區間上的單調性而是直接帶入區間端點求出值比較大小得出最大值和最小值,但是在復雜或者有陷阱的題解題的過程需要根據函數單調性才能求出最值,因為有時候最值不是在區間端點處取得,邏輯性錯誤是學生對函數單調性性定義掌握不牢,理解不清導致的.再求第二問過程也不能夠根據函數的單調性解決的取值范圍;疏忽性錯誤主要是學生在解題過程中對于函數解析式分解錯和函數的定義域忽略以及沒有看清題目而出錯,如以下典型解題.19．已知函數的定義域是,對定義域內的任意都有,且當時,,.(1)證明:是偶函數;(2)證明:在上是增函數;(3)解不等式.表4.2.5-3《高一函數測試試卷》第19題錯誤類型分析統計表錯誤類型知識性錯誤邏輯性錯誤策略性錯誤疏忽性錯誤頻數1731137696第19題是測試卷中比較難的題,從統計數據的分析可以知道學生知識性錯誤出現最高,知識性錯誤是由于學生對偶函數的定義和單調性定義不能理解應用而導致,其次就是解題過程出現邏輯混亂,對于第三問求解時與一般的解題思維和過程不相同,對基礎知識掌握不牢而出現錯誤,這里的策略性錯誤是學生在解題的過程中找到了解題的方法,但是沿著方法解題給解題帶來障礙增加了解題的困難程度和解題方法不對導致解題錯誤,而疏忽性錯誤是由于學生粗心大意忽略題目的條件和定義域等要求引起的還有部分學生對于本題函數沒有解析式,不能挖掘題目的條件,即使認識知識也不能應用與解題,沒有正確的解題意識,導致解題錯誤,如以下具體解題錯誤過程.總結:從以上統計分析看,學生經常出現解題的知識性錯誤和邏輯性錯誤以及疏忽性錯誤,并且大部分學生會一而再再而三的犯同樣的錯誤,可以看出,大多數學生并不注意錯誤的問題.即使許多學生使用數學錯題本來記錄錯誤的問題,單這也只是表面現象,許多學生只是將錯誤的問題隨意復制到記錄本上,而根本不注意它.解決問題的過程將在復制后完成了.即使后來去審查它,對于錯誤的問題,您不會研究其中的有用信息,因此您經常會犯同樣的錯誤.所以,學生需要對錯誤的問題有正確的態度.在以上調查中,可以得出學生對錯誤問題的處理方法可以分為以下幾點:(1)學生對錯誤的問題沒有給予足夠的重視.通常,在出現錯誤之后,許多學生的態度隨意,持有這個問題有些錯誤不會對我的成績造成太大的影響,因此,是否正確并不重要;有些是先解決這個問題,明白了,保證下次盡量不重復出錯.但是實際情況和想法有很大的不同,只有把涉及本次錯誤的知識弄明白和多加練習,才能使自己下次不犯同樣的錯;還有一些學生認為這次是粗心犯錯誤,下次可以細心.學生的這些想法足以表明他們對錯誤的問題沒有正確的認識.(2)獨立性不強,他們過多地依賴老師.通常,在犯過錯誤之后,許多學生不會再次思考這些錯誤,而是急切地想看答案或等老師的講.如果老師沒有及時講,那么這些錯誤的問題將被擱置并被遺忘;在老師講解之后,有些學生仍然不理解或者似懂非懂,因此他們沒有解決錯題;數學具有很強的邏輯性,我們必須從實踐的過程中理解解決問題的方法,培養自己的數學思維,因此即使依靠老師和同學來幫助理解錯誤的問題,以后沒有繼續深入學習和加強練習,那么學生的數學思維仍然沒有的提高,數學解題能力依舊保持甚至下降,即使下次遇到,依舊犯錯.(3)自我心理壓力過大.任何學習都是一個不斷積累的過程,并不是短時間內就能夠掌握的,還有做題的技巧和方法,需要不斷練習熟練,做到真正掌握,而不是似懂非懂或者機械套用,才能使解題的能力真正提高.許多學生由于數學邏輯強,知識難以理解或者學習過程中似懂非懂,以至于看見數學題就感覺緊張,不能再認數學知識和找出正確的解題方法.有一些學生則是太過看重成績和家長以及老師的期望或者害怕同學的嘲笑,導致看見數學題恐懼,不能思考,以至于無法正確解題.(4)解題粗心,馬虎.學生經常犯因為粗心導致解題錯誤,他們不完整讀題或者看漏題目信息以及歪曲題意,只有等做題結束后才發現自己因為粗心而導致錯誤,但是又不能及時改正,經常性的犯同樣的錯誤.還有的學生是做題過程中計算或者化解以及題目要求的范圍忽略錯,但是學生總是認為自己下次可以不出同樣的錯誤,并未重視,以至于下次繼續出錯.訪談結果分析從和老師的談話中可以發現,大多數老師對學生的期望很高,所以當他們看到學生的不應該錯誤的題錯誤時,他們會生氣和無奈,認為他們的貢獻與他們的收獲不成比例.在自己的水平上衡量學生的數學解題能力,沒有從學生的位置思考.在課堂上,一些老師會講解和擴展學生的錯誤問題,但是由于時間問題并不能解釋所有學生的錯誤問題,只能針對部分錯題,簡單問題,老師會采取讓學生自己解決,有時候老師還會批評學生不認真,因此造成了學生問題堆積和不敢問老師問題,以至于學生的解題技能沒有提升,知識問題也越來越多.他對于成績好的學生,如果學生犯錯,老師會覺得很可惜,告訴學生下次注意.對于成績較差的學生,一些老師會慢慢教導并鼓勵他們下次加油.另一方面,一些老師脾氣暴躁,會嚴厲批評學生.這種情況下有時會激勵學生,有時會挫敗他們的熱情.因此,對于個性不同的學生,教師應采取不同的處理方法.這是很多老師沒有意識到的.相關建議鼓勵學生勇于發現錯誤并提出疑難通過對學生問卷的分析,我發現很多學生在解決問題時出現錯誤的原因不是因為對功能的理解和應用困難,而是因為對現有知識的掌握不夠.我從這些學生中隨機抽取樣本,以個人訪談的形式對他們進行了采訪.我發現這些學生知道自己在學習功能的過程中遇到了問題,并在老師講解時產生了疑問.但是由于教師的上課進程很快,教學內容安排的也很滿,并沒有給他們留有提問時間.此外,課堂上的其他同學也沒有提出這樣的問題,因為他們擔心自己的問題過于簡單,耽誤了學生寶貴的時間,所以他們把問題放下.事實上,通過調查發現,大多數學生的問題是共同的,但他們習慣了“接受”的學習方式,逐漸失去了提問的能力.因此,在教學功能的過程中,教師應該鼓勵學生說出自己的解決方案想法,并請其他學生幫助分析自己的想法是否正確.如果正確,它能拓展學生解決問題的思路;一旦犯了錯誤,也可以讓學生在試錯的過程中更明確知識的邏輯和思維的方向.教師不應干涉或剝奪學生犯錯誤的權利.當學生在試錯過程中遇到困難時,教師應給予適當的引導和啟發,幫助學生分析失敗原因,避免重復,同時給予學生正確的反應,鼓勵和獎勵,促進學生的學習.設計適應高中生認知發展水平的教學活動高中數學函數知識的教學既有培育學生主體性的任務,又必須發揮學生在數學學習中的主體作用,這是一個矛盾的兩個方面,而且是以高中生的認知水平為前提的.因此在適應高中生認知水平方面,高中數學必修Ｉ函數部分的教材編排并不系統,教師可以根據之前對映射的教學方法,采取類比的方式,對函數進行比較教學,然后幫助學生形成函數的相關知識框架.注重培養學生在數學學習過程中的反思習慣高中數學知識結構復雜,邏輯抽象程度高,但學生的學習時間非常有限.因此,如何在有限的時間內提高學生的學習效率是教師和高中生迫切需要解決的問題.通過對高中一線教師的訪談,結合我多年的輔導經驗,我發現很多高中學生在數學學習上有非常集中和頑固的困難,通常同樣的錯誤會一再發生.造成這種現象的原因是學生沒有及時反思自己的學習活動和學習困難.有的學生可能是由于學習方法不正確,有的學生可能是由于記憶知識點錯誤,而學生在應用知識階段出現困難,以上的一些問題,學生可以通過有意識的反思和總結加以矯正.結語數學是高中的一門重要學科,在高考中占有重要地位.與初中數學知識相比,高中數學知識是抽象的、系統的,而且知識與知識之間的內在聯系,問題的模式和復雜性都較高,尤其是這部分知識的功能,對學生學習更具挑戰性,這就要求學生不僅要有扎實的基礎,還要有較高的學習能力、思維能力和心理素質.這些錯誤產生的原因與我們自身的學習態度和高中數學知識的特點有一定的聯系.在我看來,我們在學習函數的知識時,需要深入學習課本的內容,然后根據課本的內容進行類比,正確鎖定解決函數問題的方法.對于在解決功能問題的過程中出現的一些不經意的錯誤,我們需要在解決功能問題的過程中仔細閱讀題目信息,避免出現這樣的錯誤.本文在實證研究的基礎上給出了鼓勵學生勇于發現錯誤并提出疑難、設計適應高中生認知發展水平的教學活動、注重培養學生在數學學習過程中的反思習慣三條建議,期望對于我國高中教育行業的發展有所幫助.反思本研究選取S市按市里和縣里以及鄉鎮代表高中高一學生參加調查,但是整個S市高中學校眾多,調查的數量龐大,因為能拿到的數據和調查范圍有限,因此本研究的分析結果具有大眾性,若需要深入研究,則需要將調查人數和范圍更加細分或者調查數量增多,其次在問卷調查和測試卷調查過程中存在學生的主觀因素,所以分析的結果與學生的實際情況有小部分差別,只能反應學生的大體情況,若是要能反應更加實際的情況還需要更多樣本以及學生訪談和教師訪談,論文只從四個類型研究學生函數解題的錯誤,但學生解題錯誤心里造成的因素還有其他方面可以分的更細,可以增加其他方面研究,更具當地的教學實際環境以及教師和學生的特點.

參考文獻[1]馬文杰.高一函數教學中學生數學解題錯誤的實證研究[D].華東師范大學博士學位論文,2014:64-67.[2]吳丹丹.高一學生函數錯題訂正的研究[D].蘇州大學,2018:8-12.[3]任利萍.高一學生函數學習的障礙及其成因的調查研究[D].上海師范大學碩士專業學位論文,2019:44-49.[4]李艷芳.基于錯題管理培養高中生數學反思能力的個案研究[D].云南師范大學碩士專業學位研究生學位論文,2019:11-18.[5]原守甲.高一學生函數解題錯誤與非智力因素關系研究[D].天津研究生學位論文,2020:35-35.[6]曹瑜,張玉娟,呂謙.例談高中生數學解題錯誤心理性研究錯誤[J]鞍山師范學院學報,2018:20（2）24-28.[7]Radaz,H(1979).Erroranalysisinmathematicseducation.JournalforResearchinMathematicsEducation,10(3):163-171.[8]戴再平.一組開放型題的試驗與分析[J].數學教育學報,1993:2（2）:15-21.[9]羅增儒.作為數學教育任務的數學解題[J].數學教育學報,2005:14（1）12-15.[10]喬文.三角函數解題錯誤成因的研究[D].南京師范大學教育碩士學位論文,2015:11-13.[11]武楓葉.影響高一學生函數學習成績的個體因素研究[D].河南大學碩士學位論文,2015:31-37.[12]王鳳英.高一年級數學函數學困生教學策略[D],內蒙古師范大學碩士專業學位論文,2016:23-25.[13]王佳麗.高中生函數解題錯誤及歸因的研究[D],閩南師范大學教育碩士專業學位論