高二數學考試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：人教B版選擇性必修第一冊第一章至第二章第6節占，第二章第7節至選擇性必修第二冊第四章第1節占.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某體育用品店有5種不同價格的籃球，4種不同價格的排球，若從中選購1個籃球和1個排球，則不同的選購方法有（）A.9種 B.20種 C.625種 D.1024種【答案】B【解析】【分析】由分步乘法原理可得出結論.【詳解】第一步，從5種不同的籃球中選一個，有5種選法，第二步，從4種不同的排球中選一個，有4種選法，故不同的選法為：種.故選：B.2.現有2臺機床，已知每臺機床不需要照看的概率均為0.9，且互不影響，則2臺機床都不需要照看的概率為（）A.0.81 B.0.9 C.0.1 D.0.09【答案】A【解析】【分析】根據獨立事件的概率乘法公式即可求出.【詳解】2臺機床都不需要照看的概率為，故選：A.3.已知拋物線的頂點為原點，對稱軸是軸，與直線相交所得線段的長為12，則的標準方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設拋物線，根據點在上，代入拋物線方程，求出的值，即可得解.【詳解】由題意，設拋物線，因為拋物線與直線相交所得線段的長為12，所以點在上，所以，解得，所以的標準方程為．故選：B4.將2個相同紅球和2個相同的黑球放入兩個不同的盒子中，每個盒子中至少放1個球，則不同的放法有（）A.5種 B.6種 C.7種 D.8種【答案】C【解析】【分析】先從球的個數分類，再求出每類放球的方法，結合分類加法計數原理可得答案.【詳解】若兩個盒子中都放入2個球，則有3種不同的方法；若一個盒子中放1個球，另一個盒子中放3個球，則有4種不同的方法．故不同的放法有7種．故選：C5.甲、乙，丙3人各自從這3個景點中隨機選1個去旅游，設事件“3個人都沒去A景點”，事件“甲獨自去一個景點”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意結合古典概型求，進而可得條件概率.【詳解】由題意可得：，，所以．故選：B.6.如圖，給編號為的區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，中心對稱的兩個區域（如區域1與區域4）所涂顏色相同．若有5種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）A.60種 B.80種 C.100種 D.125種【答案】A【解析】【分析】根據分步乘法計數原理依次涂色即可.【詳解】由題意可得，只需確定區域的顏色，即可確定所有區域的涂色．先涂區域1，有5種選擇；再涂區域2，有4種選擇；最后涂區域3，有3種選擇．故不同的涂色方案有種．故選：A.7.已知拋物線的焦點為，點，是拋物線上的一個動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點作垂直于準線，垂足為，過點作垂直于準線，垂足為，由拋物線的定義可得，可得出，利用當、、三點共線時，取最小值，即可得解.【詳解】由題意得，準線方程為，過點作垂直于準線，垂足為，過點作垂直于準線，垂足為，由拋物線的定義可得，．當且僅當為線段與拋物線交點時，等號成立，故的最小值為.故選：C.8.已知，直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A.5 B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】將代入直線方程，可得直線恒過點，根據圓的幾何性質可得當時，的值最小，再利用勾股定理可得到答案.【詳解】將代入直線方程，得．令解得故直線恒過點，設，將圓化為標準方程，得．當時，的值最小，因為，，此時．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A.B.C.D.展開式中所有項的二項式系數的和為【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法計算可得A正確，C錯誤，利用通項展開式計算可得B正確，再由所有項的二項式系數的和可得D正確.【詳解】對于A，令，可得，A正確．對于B，展開式中的第二項為，所以，B正確．對于C，令，可得，則，C錯誤．對于D，展開式中所有項的二項式系數的和為，D正確．故選：ABD10.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則（）A.四點共面B.在平面上的投影向量為C.點到直線的距離為D.點到平面的距離為【答案】AB【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求向量的坐標，利用向量方法證明，判斷A，根據投影向量的定義判斷B，求，根據向量方法求點到直線的距離判斷C，求平面的法向量及向量，利用向量方法求點到平面的距離判斷D.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示．A1,0,0，，，，則，，，則，所以四點共面，A正確．由正方體的結構特征，點在平面上的投影為，所以在平面上的投影向量為，B正確．，，，，，，則點到直線的距離為，C錯誤．設平面的法向量為，，則，取x=1，則，所以為平面的一個法向量，又，所以點到平面的距離為，D錯誤．故選：AB.11.已知分別為橢圓的左、右頂點，為的上頂點，為坐標原點，為上一點，且位于第二象限，過點作軸，垂足為，直線分別與軸交于點，則下列結論正確的是（）A.若是的中點，則B.若是的中點，則是的中點C.D.若是的中點，則【答案】BCD【解析】【分析】根據點是的中點得，計算直線的方程，與橢圓聯立可得點坐標，由此可得選項A錯誤；計算直線的方程可得選項B正確；利用可得選項C正確；利用線段比例關系可得選項D正確.【詳解】由題意得，，，，A.∵點是的中點，∴，∴，故直線的方程為，由得，，解得或，將代入，可得，即，，A錯誤．B.由，得，故直線的方程為，令，得，即，∴是的中點，B正確．C.設，直線的斜率分別為，則，，，∴，直線的方程分別為，，分別令得，，，∴，C正確．D.由，得，．∵是的中點，∴．∵，∴，故，D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，則與______．（填“獨立”或“不獨立”）【答案】不獨立【解析】【分析】根據相互獨立事件的概率公式，結合條件概率公式即可判斷.【詳解】與獨立的充要條件為，又因為，所以與獨立的充要條件是，根據已知條件：，所以與不獨立．故答案為：不獨立13.的展開式中，各項系數的最大值是______．【答案】7【解析】【分析】根據二項式展開式通項得到，由求解即可.【詳解】的展開式的通項為，且．設展開式中第項的系數最大，則即，又，所以或6，故展開式中系數最大的項是第6項或第7項，且該項系數為.故答案為：714.某中學正在籌備100周年校慶晚會，原計劃共7個節目，并已排好節目單，為了使晚會節目更豐富，節目組準備增加3個節目，若保持原計劃中7個節目的先后順序不變，則這10個節目的不同排法有______種．【答案】720【解析】【分析】先將10個節目隨意排列，有種排法，再根據相對順序已定的排列模型求解詳解】10個節目隨意排列，有種排法；原計劃中的7個節目隨意排列，有種排法．保持原計劃中的7個節目的先后順序不變，則這10個節目的不同排法有共有種．故答案為:四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.甲、乙、丙、丁、戊五名同學站成一排拍照．（1）甲、乙兩人不相鄰的站法共有多少種？（2）甲不站排頭或排尾，且甲、乙兩人相鄰的站法共有多少種？【答案】（1）72（2）36【解析】【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，結合排列數運算求解；（2）分乙站排頭或排尾和甲、乙都不站排頭或排尾兩種情況，結合排列數運算求解.【小問1詳解】先排丙、丁、戊，有種站法，再插空排甲、乙，有種站法．故甲、乙兩人不相鄰的站法共有種．【小問2詳解】若乙站在排頭或排尾，則有種站法；若甲、乙都不站排頭或排尾，則有種站法；故甲不站排頭或排尾，且甲、乙兩人相鄰的站法共有種．16.如圖，在四棱錐中，底面滿足，，底面，且，．（1）證明：平面平面．（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）法一，根據面垂直的判定定理證明即可；法二，建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明；（2）利用面面角的空間向量求法求解即可.【小問1詳解】方法一，證明：因為平面，平面，所以．因為，，平面，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．方法二，證明：因為，底面，所以以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示．A0,0,0，，B1,0,0，C1,1,0，，，，．設平面的法向量為，則取．設平面的法向量為，則取，因為，所以，所以平面平面．【小問2詳解】方法一，因為，，底面，所以以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示．B1,0,0，C1,1,0，由（1）易得BC=0,1,0是平面因為，，所以，．設平面的法向量為，則取．設平面與平面所成角的大小為，則，故平面與平面所成角的余弦值為．方法二，因為，所以．設平面的法向量為，則取．設平面與平面所成角的大小為，則，故平面與平面所成角的余弦值為．17.已知圓心在軸上移動的圓經過點，且與軸、軸分別交于，兩個動點（點可以重合），記點的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知，，過點的直線與交于兩點，直線與的另一個交點分別為，若直線的斜率為2，求直線的斜率．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）設圓心為，根據題意有，建立方程解出即可；（2）設，，，，，，直線與拋物線方程聯立得，同理可得代入即可得解.【小問1詳解】設動圓圓心為．因為，所以，化簡得，所以的方程為．【小問2詳解】設，，，．直線．由，可得，，．由斜率公式可得，．直線，代入的方程可得，，，所以．同理可得，所以．因為直線的斜率為2，所以直線的斜率為1．18.甲、乙2名同學最近100次的投籃情況如下：甲乙投中5060未投中5040用頻率估計概率，解答下列問題．（1）若從甲、乙2人中隨機選擇1人投籃1次，求投中的概率．（2）設甲、乙進行投籃比賽，約定甲、乙輪流投籃，第一次由甲先投．規定：若其中一人比另一個人多投中2次，則停止比賽（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，則停止比賽，乙不再投第二次），投中次數多的贏得比賽；若甲、乙都投完了5次，則也停止比賽，投中次數多的獲勝，次數相同則平局．甲、乙每次投中與否相互獨立．①求甲投了第3次后停止比賽的概率；②求乙投了第4次后停止比賽的概率．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）利用頻率求出兩人投中的概率，然后根據兩人的投中概率可求答案；（2）①先明確甲投了第3次后停止比賽的所有情況，結合互斥事件的概率求解；②乙投了第4次后停止比賽，說明乙比甲多投中2次，按照輪次情況，分類求解概率即可.【小問1詳解】甲同學的投籃命中率為，乙同學的投籃命中率為．從甲、乙中隨機選擇1人投籃1次，投中的概率為．【小問2詳解】①甲投了3次，則乙投了2次．由題意可得甲比乙多投中2次，有2種情況．第一種情況：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投籃都投中，乙第一次投籃投中，第二次投籃沒投中，其概率為．第二種情況：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投籃投中，第二次投籃沒投中，乙每次投籃都沒投中，或甲第二、三次投籃投中，第一次投籃沒投中，乙每次投籃都沒投中，其概率為，故所求概率為．②乙投了4次，則甲投了4次．記甲、乙各投1次為一輪，則甲、乙共投了四輪．在每輪比賽中，記事件為乙投中的次數比甲多1次，即乙投中，甲沒投中，其概率，記事件為甲、乙投中的次數相等，即甲、乙都沒投中或都投中，其概率，記事件為乙投中的次數比甲少1次，即乙沒投中，甲投中，其概率．投了第四次后停止比賽，即投了四輪后乙投中的次數比甲多2次，有2種情況．第一種情況：四輪比賽中，事件各發生2次，即第一至四輪依次為或，或，其概率為．第二種情況：四輪比賽中，事件發生3次，事件發生1次，即第一至四輪依次為，或，其概率為．所求概率為．19.已知雙曲線的左，右頂點分別為，，左焦點為，O為坐標原點，是線段OM的中點.（1）求雙曲線的離心率.（2）過點M且斜率不為0的直線l與雙曲線的左，右兩支的交點分別為Q，P.①若直線l的斜率為1，，求雙曲線的方程；②連接QO并延長，交雙曲線于點R，證明：.【答案】（1）2（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得參數的等量關系，利用離心率的公式，可得答案；（2）由題意作圖，聯立方程寫出韋達定理，①由直線斜率與弦長公式，可得答案，②利用垂直向量的坐標表達，代入韋達定理，可得答案.【小問1詳解】因為是線段