人教B版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)復(fù)習(xí)課第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)知識(shí)梳理構(gòu)建體系知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理1.根式的性質(zhì)有哪些?2.冪的運(yùn)算法則有哪些?3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),請(qǐng)完成下表.底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域:R值域:(0,+∞),即圖象位于x軸上方過(guò)定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),y>1既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)4.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式是什么?提示:logaN=b?ab=N.5.對(duì)數(shù)的性質(zhì)有哪些?提示:(1)0與負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù);(2)底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1;(3)1的對(duì)數(shù)等于0.6.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有哪些?提示:(1)loga(MN)=logaM+logaN;(3)logaMn=nlogaM.(其中a>0且a≠1,M>0,N>0)7.常用的換底公式有哪些?8.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),請(qǐng)完成下表.底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域:(0,+∞)值域:R過(guò)定點(diǎn)

(1,0),即當(dāng)x=1時(shí),y=0當(dāng)x∈(0,1)時(shí),y<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),y>0當(dāng)x∈(0,1)時(shí),y>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),y<0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是

增

函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是

減

函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)9.冪函數(shù)有哪些性質(zhì)?提示:(1)所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)都有定義,并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1).(2)若α>0,則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn),并且在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).(3)若α<0,則冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右邊趨于0時(shí),圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸;當(dāng)x趨于+∞時(shí),圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸.10.指數(shù)函數(shù)與相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)是什么關(guān)系?互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)?提示:互為反函數(shù);圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).11.指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型、冪函數(shù)模型的特點(diǎn)是什么?提示:(1)指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快,形象地稱(chēng)為“指數(shù)爆炸”.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢.(3)冪函數(shù)模型y=xn(n>0)的增長(zhǎng)速度介于指數(shù)增長(zhǎng)和對(duì)數(shù)增長(zhǎng)之間.【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(3)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)是R上的增函數(shù).(

)(4)30.1>0.20.3.(

)(5)若am=b,則logbm=a.(

)(6)ln6+ln9=ln54.(

)(7)函數(shù)f(x)=log5(x-1)+3在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).(

)(8)常數(shù)函數(shù)在任何給定區(qū)間上的平均變化率都為0.(

)×××√×√×√專(zhuān)題歸納核心突破專(zhuān)題一指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算分析:(1)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)恒等式即可得出;(2)利用冪的運(yùn)算法則求解.求解指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題,要熟練掌握指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算法則,熟識(shí)各種變形,便可順利地化簡(jiǎn)求值.反思感悟?qū)ｎ}二冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例2】

已知函數(shù)f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),0<a<1.(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)若函數(shù)f(x)的最小值為-2,求實(shí)數(shù)a的值.解得-3<x<1,所以定義域?yàn)?-3,1).(2)函數(shù)可化為f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4].因?yàn)?3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4,因?yàn)?<a<1,所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4,由loga4=-2,得a-2=4,含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)最值問(wèn)題,首先考慮函數(shù)的定義域,在函數(shù)定義域的制約之下,利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的最值問(wèn)題.提醒:研究函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)樹(shù)立定義域優(yōu)先的意識(shí).反思感悟【變式訓(xùn)練2】

已知f(x)=

(ax-a-x)(a>0,且a≠1).(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;(3)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)≥b恒成立,求b的取值范圍.分析:(1)先求f(x)的定義域,再判斷f(x)的奇偶性;(2)使用定義判斷f(x)的單調(diào)性;(3)求出f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值,便可得到b的取值范圍.解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以f(x)為奇函數(shù).(2)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.證明如下:(3)由(2)知f(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增,所以在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù),所以要使f(x)≥b在區(qū)間[-1,1]上恒成立,只需b≤-1,因此b的取值范圍是(-∞,-1].專(zhuān)題三比較大小【例3】

(1)若0<x<y<1,則(

)A.3y<3x

B.logx3<logy3C.log4x<log4y

(2)比較0.32,log20.3,20.3的大小.分析:(1)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解;(2)利用y=x2,y=log2x,y=2x的圖象比較.(1)解析:對(duì)于A,因?yàn)楹瘮?shù)y=3x是增函數(shù),所以當(dāng)0<x<y<1時(shí),有3y>3x,所以A不成立;對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x是增函數(shù),所以當(dāng)0<x<y<1時(shí),有l(wèi)og3x<log3y<0,故對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)y=log4x是增函數(shù),所以當(dāng)0<x<y<1時(shí),有l(wèi)og4x<log4y,所以C成立.答案:C(2)解:作出函數(shù)y=x2,y=log2x,y=2x的圖象如圖.作出直線x=0.3,根據(jù)直線與三個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)位置,即可看出log20.3<0.32<20.3.數(shù)的大小比較的常用方法(1)比較兩數(shù)(式)或幾個(gè)數(shù)(式)的大小問(wèn)題是本章的一個(gè)重要題型,主要考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用及差值比較法與商值比較法的應(yīng)用.常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間搭橋法、作差法、作商法.(2)當(dāng)需要比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)均是指數(shù)式或?qū)?shù)式時(shí),可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值,利用該函數(shù)的單調(diào)性比較.(3)比較多個(gè)數(shù)的大小時(shí),先利用“0”和“1”作為中間值,即把它們分為“小于0”“大于等于0,小于等于1”“大于1”三部分,再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.反思感悟【變式訓(xùn)練3】

(1)下列四個(gè)數(shù)中最大的是(

)A.(ln2)2

B.ln(ln2) (2)比較60.6,60.7,0.76,0.66,log0.76,log0.86這幾個(gè)數(shù)的大小.(1)解析:因?yàn)?<2<e,所以0<ln

2<1,從而(ln

2)2<ln

2.根據(jù)y=ln

x是區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的增函數(shù),且

.故四個(gè)數(shù)中最大的是ln

2.(2)解:60.6與60.7可以看成指數(shù)函數(shù)y=6x的兩個(gè)值,而函數(shù)y=6x在R上單調(diào)遞增,又0.7>0.6>0,∴60.7>60.6>60=1.0.76與0.66可以看成冪函數(shù)y=x6的兩個(gè)值,而函數(shù)y=x6在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),又1>0.7>0.6,∴1>0.76>0.66>0.log60.7與log60.8可以看成對(duì)數(shù)函數(shù)y=log6x的兩個(gè)值,而函數(shù)y=log6x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),又0.7<0.8<1,∴l(xiāng)og60.7<log60.8<log61=0.即log0.86<log0.76<0.綜上所述,log0.86<log0.76<0.66<0.76<60.6<60.7.專(zhuān)題四函數(shù)的圖象變換解析:作出f(x)=的大致圖象,如圖所示,先將f(x)的圖象關(guān)于y軸作對(duì)稱(chēng)變換可得到f(-x)的圖象,再把所得的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,即可得到y(tǒng)=f(1-x)的圖象,如選項(xiàng)D所示.答案:D求解圖象問(wèn)題,首先要準(zhǔn)確把握常見(jiàn)的函數(shù)的圖象,其次是掌握平移變換和對(duì)稱(chēng)變換的規(guī)律.反思感悟【變式訓(xùn)練4】

已知函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ex互為反函數(shù),函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),若g(a)=1,則實(shí)數(shù)a的值為(

)解析:由函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ex互為反函數(shù),得f(x)=ln

x,因?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),故有g(shù)(x)=-ln

x,則由g(a)=1,得ln

a=-1,答案:C專(zhuān)題五分類(lèi)討論思想【例5】

已知函數(shù)

(m∈N)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0,且a≠1)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:(1)結(jié)合f(3)<f(5)與f(x)的奇偶性,通過(guò)分類(lèi)討論確定m的值及f(x)的解析式;(2)根據(jù)g(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù),通過(guò)討論a,最后求出a的取值范圍.(2)由(1)知,當(dāng)x∈[2,3]時(shí),g(x)=loga(x2-ax).①當(dāng)0<a<1時(shí),y=logau在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減,要使g(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,則需u(x)=x2-ax在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減,且u(x)>0.②當(dāng)a>1時(shí),y=logau在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,要使g(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,則需u(x)=x2-ax在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,且u(x)>0.解得a<2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為1<a<2.所謂分類(lèi)討論,實(shí)質(zhì)上是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”的策略.分類(lèi)討論時(shí)應(yīng)注重理解和掌握分類(lèi)的原則、方法與技巧,做到確定對(duì)象的全面,明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn),不重不漏地分類(lèi)討論.在初等函數(shù)中,分類(lèi)討論的思想得到了重要的體現(xiàn),可根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分類(lèi)討論,使得求解得以實(shí)現(xiàn).分類(lèi)討論的思想是本單元應(yīng)用頻率較高的一種思想方法.反思感悟高考體驗(yàn)考點(diǎn)一

指數(shù)式、對(duì)數(shù)式求值1.(2022·浙江高考)已知2a=5,log83=b,則4a-3b=(

)A.25 B.5答案:C考點(diǎn)二

大小比較問(wèn)題2.(2021·全國(guó)乙高考)設(shè)a=2ln1.01,b=ln1.02,c=-1,則(

)A.a<b<c B.b<c<a

C.b<a<c D.c<a<b解析:∵a=ln

1.012=ln

1.020

1>ln

1.02=b,∴排除A,D.∴f'(x)≤0,且f'(x)不恒為0.∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(0.02)<f(0)=0,即b-c<0?b<c.當(dāng)0≤x<2時(shí),x2≤2x?1+2x+x2≤1+2x+2x,即(1+x)2≤1+4x,∴g'(x)≥0在區(qū)間(0,2)內(nèi)成立,且g'(x)不恒為0.∴g(x)在區(qū)間[0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,∴g(0.01)>g(0)=0,即a-c>0,∴a>c.綜上可得,a>c>b.∴選B.答案:B3.(2019·全國(guó)Ⅲ高考)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則(

)答案:CA.a>b>c B.b>a>c

C.c>b>a D.c>a>b答案:D考點(diǎn)三

與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問(wèn)題

解析:由題意可得log2x-1≥0,即log2x≥1,∴x≥2.∴函數(shù)的定義域?yàn)閇2,+∞).答案:[2,+∞)∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,∴g(x)為奇函數(shù).∴f(x)=g(x)+1.∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2.∴f(-a)=-2.答案:-27.(2018·全國(guó)Ⅰ高考)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,則a=

.

解析:因?yàn)閒(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.答案:-78.(2016·全國(guó)Ⅱ高考)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和值域相同的是(

)A.y=x

B.y=lgx

解析:y=10lg

x=x,定義域與值域均為(0,+∞).y=x的定義域和值域均為R;y=lg

x的定義域?yàn)?0,+∞),值域?yàn)镽;y=2x的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+∞);答案:D考點(diǎn)四

奇偶性、單調(diào)性問(wèn)題9.(2021·全國(guó)甲高考)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(

)解析:借助函數(shù)的圖形可知,對(duì)于A,函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對(duì)于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對(duì)于C,函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性,不合題意;對(duì)于D,根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),符合題意.故選D.答案:D10.(2021·新高考Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=

.

解析:∵函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.答案:1考點(diǎn)五

函數(shù)的圖象11.(2018·全國(guó)Ⅲ高考)下列函數(shù)中,其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的是(

)A.y=ln(1-x) B.y=ln(2