三角恒等變化試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共10分）

1.在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數是：

A.45°B.60°C.75°D.90°

2.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，且a=3，b=4，則三角形ABC的面積是：

A.6B.8C.12D.16

3.在三角形ABC中，若∠A=50°，∠B=40°，則sinA與sinB的比值是：

A.2/3B.3/2C.5/4D.4/5

4.若在直角三角形ABC中，∠A=30°，則tanA的值是：

A.1/2B.2/1C.√3/1D.1/√3

5.在三角形ABC中，若∠A=45°，∠B=30°，則sinC的值是：

A.√3/2B.1/2C.√2/2D.2/√2

二、填空題（每題2分，共10分）

1.在三角形ABC中，若∠A=45°，∠B=45°，則∠C的度數是________。

2.在直角三角形ABC中，若∠A=90°，且a=5，b=12，則斜邊c的長度是________。

3.在三角形ABC中，若sinA=3/5，∠B=30°，則sinC的值是________。

4.在直角三角形ABC中，若∠A=60°，則tanB的值是________。

5.在三角形ABC中，若∠A=70°，∠B=50°，則cosC的值是________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求sinC的值。

2.在直角三角形ABC中，若∠A=90°，a=6，b=8，求三角形ABC的面積。

3.在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=75°，求sinA與cosB的比值。

四、應用題（每題10分，共20分）

1.在三角形ABC中，已知AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，求∠BAC的正弦值。

2.一根繩子被拉緊后，兩端固定在兩個柱子上，繩子與地面形成30°的角，繩子長度為10米，求繩子與地面接觸點到兩個柱子之間的距離。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

2.證明：在任意三角形中，三個角的正弦值之和等于2。

六、綜合題（每題10分，共20分）

1.在三角形ABC中，已知∠A=40°，∠B=60°，AB=10cm，求BC和AC的長度。

2.在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=90°，∠C=60°，若AB=2cm，求三角形ABC的周長。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題2分，共10分）

1.答案：C

解析思路：三角形內角和為180°，∠A+∠B+∠C=180°，已知∠A=60°，∠B=45°，代入得∠C=180°-60°-45°=75°。

2.答案：C

解析思路：直角三角形的面積公式為S=1/2*a*b，代入a=3，b=4，得S=1/2*3*4=6。

3.答案：D

解析思路：在三角形中，正弦值與角度成正比，已知∠A=50°，∠B=40°，則sinA/sinB=50/40=5/4。

4.答案：A

解析思路：在30°-60°-90°的直角三角形中，tan30°=1/√3，所以tanA=1/2。

5.答案：D

解析思路：在三角形中，sinC=sin(180°-A-B)=sin(A+B)，已知∠A=45°，∠B=30°，則sinC=sin(45°+30°)=sin75°=2/√2。

二、填空題（每題2分，共10分）

1.答案：75°

解析思路：與選擇題1相同，三角形內角和為180°，已知∠A=45°，∠B=45°，代入得∠C=180°-45°-45°=90°。

2.答案：10

解析思路：根據勾股定理，c2=a2+b2，代入a=5，b=12，得c=√(52+122)=√(25+144)=√169=13。

3.答案：4/5

解析思路：在三角形中，sinC=sin(180°-A-B)=sin(A+B)，已知sinA=3/5，∠B=30°，則sinC=sin(45°+30°)=sin75°=4/5。

4.答案：1/√3

解析思路：在30°-60°-90°的直角三角形中，tan30°=1/√3，所以tanA=1/√3。

5.答案：√3/2

解析思路：在三角形中，cosC=cos(180°-A-B)=cos(A+B)，已知∠A=70°，∠B=50°，則cosC=cos(70°+50°)=cos120°=-1/2。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.答案：√3/2

解析思路：在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，sinC=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2*√3/2+√2/2*1/2=√6/4+√2/4=√3/2。

2.答案：24

解析思路：在直角三角形ABC中，∠A=90°，a=6，b=8，根據勾股定理，c2=a2+b2，代入得c=√(62+82)=√(36+64)=√100=10，所以三角形ABC的周長為6+8+10=24。

3.答案：√3

解析思路：在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=75°，sinA/sinB=30/75=2/5，sinA=2/5*sinB，已知sinB=1/2，代入得sinA=2/5*1/2=1/5，所以sinA與cosB的比值是1/5。

四、應用題（每題10分，共20分）

1.答案：√3/2

解析思路：在三角形ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，根據勾股定理，AC2=AB2+BC2，代入得132=52+122，所以AC2=169，AC=13cm，因為AC是斜邊，所以∠BAC是直角，sinBAC=BC/AC=12/13，所以sinBAC的值是√3/2。

2.答案：5米

解析思路：在直角三角形中，sinθ=對邊/斜邊，已知sin30°=對邊/10，代入得對邊=10*sin30°=10*1/2=5米。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.答案：證明如上

解析思路：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以構造一個等腰三角形，證明中位線等于斜邊的一半。

2.答案：證明如上

解析思路：在任意三角形中，三個角的正弦值之和等于2，可以通過三角函數的性質和三角形內角和定理進行證明。

六、綜合題（每題10分，共20分）

1.答案：BC=5√6cm，AC=5√2cm

解析思路：在三角形ABC中，∠A=40°，∠B=60°，AB=10cm，由正弦定理，AC/sinB=AB/sinA，代入得AC/sin60°=10/sin40°，解得AC=5√6cm，同理，BC=5√2cm。

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