……T6…………習DDoALB起6a矩形、菱形、矩形、菱形、正方形果0nmBccBB矩矩形、菱形、正方形DcDc對角線2相等的菱形是正方形有一個角是29直角有一組鄰邊28相等有一個角是29直角有一組鄰邊③相等有一個角是30直角有一組鄰邊③相等A.AC⊥BDB.AC=BDC.AC⊥BD且AC=BDD.3.(2023·東莞市校級模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10,BC=6.E是邊CD的 ∠AFD=∠FCG,則AF的長為 4.(2023·樂清市模擬)如圖，0是□ABCD的對角線的交點，E,F,G分別是OA,OB,CD的中點.(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形.(2)當∠DEF=90°,AB=6,BC=4時，求四邊形DEFG的周長.方法2:正方形中的十字架模型1.(2023·宜城市模擬)七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD別為BO,DO的中點，連接MP,NF,沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，關于該圖形的下列說法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②圖中的四邊形MPEB是菱形；③四邊形EFNB的面積占正方形ABCD面積的正確的有()2.(2023·沙坪壩區校級模擬)如圖，點E、F、G分別是正方形ABCD的邊AD、BC、AB上的點，連接DG,EF,GF.且EF=DG,DE=2AG,∠ADG的度數為α,則∠EFG的度數為()A.αB.2αC.45°-αD.453.(2023·天山區校級二模)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點(不含B,C兩點),將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M,使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N,連接MA,NA.則以下結論中正確的是()①線段AM長度的最小值為5;②四邊形AMCB的面積最大值為10;④當P為BC中點時，AE是線段NP的垂直平分線.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④4.(2023·浙江模擬)如圖，正方形ABCD中，AE=DF,AF與BE相交于點H,點0為BD中點，連結OH,若DG=OG,則的值為()5.(2023·雙峰縣三模)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E,F分別是邊BC,AB的中點，連接AE,DF交于點0,將△ABE沿AE翻折，得到△AGE,延長EG交AD的延長線于點H,連接CG.有以下結論：其中正確的有()6.(2023·金東區二模)如圖，點G是正方形ABCD邊AB上的一點，連結CG,過點C作CE⊥CG,交AD的延長線于點E,過點E作EF⊥CE,過點G作GF⊥CG,EF和GF交于點F,延長CD交EF于點H,連結GH,以HD和DA為邊作矩形ADHI.記△CEH的面積為s?,△GHF的面積為S?,矩形ADHI的面積為S?,若AB=4,S?+S?-S?=3,則CE=7.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E、F分別是邊BC、CD上的一點，且CE=DF,AF、DE相交于點0,BO=BA,則OC的值為_8.(2023·雁塔區校級三模)如圖，在正方形ABCD中，AB=6,E是邊BC的中點，F是正方形ABCD內一動點，且EF=3,連接EF,DE,DF,過點D作DDM=DE,連接CN,MN,CM,則線段CN長度的最小值為9.(2023·南關區四模)【問題提出】如圖①,在正方形ABCD中，點E,F,G分別在邊BC,AB,CD上，GF⊥AE.請判斷AE與GF的數量關系，并說明理由.【類比探究】如圖②,在矩形ABCD中，,將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG,EP交CD于點H,連結AE交GF于點0.則GF與AE之間的數量關系為_【拓展應用】在(2)的條件下，若,GF=3√5,則CE的長為10.(2023·遵義模擬)【問題探究】如圖1,在正方形ABCD中，點E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF,求證：AE=DF.【拓展應用】如圖3,在平行四邊形ABCD中，AB=m,BC=n,點E、F分別在邊AD、BC上，點M、N分別在邊AB、CD上，當∠EFC與∠MNC的度數之間滿足什么數量關系時，有試寫出其數量關系，并說明理由.圖1圖2圖311.(2023·嘉魚縣模擬)【問題探究】如圖1,正方形ABCD中，點F、G分別在邊BC、CD上，且AF⊥BG于點P,求證AF=BG;【知識遷移】如圖2,矩形ABCD中，AB=m,BC=n,點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于點P.求的值；【拓展應用】如圖3,在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,∠BDC=120°,DB=DC,點E、F分別在線段AB、BC上，且CE⊥DF于點P.請直接寫出的值.(圖1)(圖2)(圖3)方法3:四邊形中的對角互補模型1.(2023·寧陽縣二模)在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°,對角線AC平分∠BAD.(1)如圖1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,試探究邊AD、AB與對角線AC的數量關系為 ;(2)如圖2,若將(1)中的條件“∠B=90°”去掉，(1)中的結論是否成立?請說明理由；(3)如圖3,若∠DAB=90°,若AD=3,AB=7,求線段AC的長和四邊形ABCD的面積.2.(2023·雨花區校級二模)在00中，弦CD平分圓周角∠ACB,連接AB,過點D作DE//AB交CB的延長線于點E.(1)求證：DE是00的切線；(3)P是弦AB下方圓上的一個動點，連接AP和BP,過點D作DH⊥BP于點H,請探究點P在運動的過程中，的比值是否改變，若改變，請說明理由；若不變，請直接寫出比值.3.(2023·肥城市校級模擬)定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形.的平分線交00于點D,連接AD,CD.求證：四邊形ABCD是等補四邊形；(2)如圖2,在等補四邊形ABCD中，AB=AD,連接AC,AC是否平分∠BCD?請說明理由.(3)如圖3,在等補四邊形ABCD中，AB=AD,其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F,圖1圖2圖3一.多邊形內角與外角(共2小題)1.(2023·濟寧)一個多邊形的內角和是540°,則這個多邊形是邊形.2.(2023·揚州)如果一個多邊形每一個外角都是60°,那么這個多邊形的邊數為3.(2023·淮安)如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到△ABC,則tan∠ACB的值是·三.平行四邊形的性質(共2小題)4.(2023·福建)如圖，在□ABCD中，0為BD的中點，EF過點0且分別交AB,CD于點E,F.若AE=10,則CF的長為_5.(2023·涼山州)如圖，在oABCD中，對角線AC與BD相交于點0,∠CAB=∠ACB,過點B作BE⊥AB交AC于點E.四.平行四邊形的判定(共1小題)6.(2023·邵陽)如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,平行四邊形，則下列正確的是()A.AD=BCB.∠ABD=∠BDCC.五.平行四邊形的判定與性質(共2小題)7.(2023·自貢)如圖，在平行四邊形ABCD中，點M,N若添加一個條件，使四邊形ABCD分別在邊AB,CD上，且AM=CN.8.(2023·杭州)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,點E,F在對角線BD上，且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形.(2)若△ABE的面積等于2,求△CFO的面積.六.菱形的性質(共4小題)9.(2023·湘潭)如圖，菱形ABCD中，連接AC,BD,若∠1=20°,則∠2的度數為()A.20°B.60°C.70°10.(2023·麗水)如圖，在菱形ABCD中，AB=1,∠DAB=60°,則AC的長為()12.(2023·浙江)如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,連結EF.(2)若∠B=60°,求∠AEF的度數.七.菱形的判定(共3小題)13.(2023·深圳)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=6,將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF,若四邊形ECDF為菱形時，則a的值為()A.114.(2023·齊齊哈爾)如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,ACIBD于點0.請添加一個條件：_,使四邊形ABCD成為菱形.15.(2023·湘西州)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM//DN,且分別交對角線AC于(1)求證：∠DMN=∠BNM;(2)若∠BAC=∠DAC.求證：四邊形BMDN是菱形八.菱形的判定與性質(共1小題)16.(2023·云南)如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE=AF.(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°,△ABE的面積等于4√3,求平行線AB與DC間的距離.九.矩形的性質(共6小題)17.(2023·臺灣)如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,且有一點P從B點沿著BD往D點移動，若過P點作AB的垂線交AB于E點，過P點作AD的垂線交AD于F點，則EF的長度最小為多少()18.(2023·臺州)如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=6.在邊AD上取一點E,使BE=BC,過點C作CF⊥BE,垂足為點F,則BF的長為19.(2023·蘭州)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,CD//0E,直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD,AD于點F,G,連接DE.(1)判斷四邊形OCDE的形狀，并說明理由；20.(2023·懷化)如圖，矩形ABCD中，過對角線BD的中點0作BD的垂線EF,分別交AD,(1)證明：△BOF≌△DOE;(2)連接BE、DF,證明：四邊形EBFD是菱形.21.(2023·溫州)如圖，已知矩形ABCD,點E在CB延長線上，點F在BC延長線上，過點F作FH⊥EF交ED的延長線于點H,連結AF交EH于點G,GE=GH.(1)求證：BE=CF;22.(2023·隨州)如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,DE//AC,CE//BD.(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若BC=3,DC=2,求四邊形OCED的面積.十.矩形的判定(共2小題)23.(2023·上海)在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=CD.下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是()A.AB//CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D24.(2023·新疆)如圖，AD和BC相交于點0,∠ABO=∠DCO=90°,OB=0C,點E、F分別是AO、DO的中點.(1)求證：OE=OF;(2)當∠A=30°時，求證：四邊形BECF是矩形.十一.矩形的判定與性質(共1小題)25.(2023·大慶)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點，連接AC,AE,延長AE,BC交于點F,連接DF,∠ACF=90°.(1)求證：四邊形ACFD是矩形；(2)若CD=13,CF=5,求四邊形ABCE的面積.十二.正方形的性質(共4小題)26.(2023·攀枝花)如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,點P是對角線BD上的一點，PF⊥AD27.(2023·安徽)如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，EF⊥AB于點F,連接DE并延長，交邊BC于點M,交邊AB的延長線于點G.若AF=2,FB=1,則MG=()28.(2023·棗莊)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,E為BC上一點， CE=7,F為DE的中點，若△CEF的周長為32,則OF的長為· 29.(2023·紹興)如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點(與點B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足.連接EF,AG,并延長AG交EF于點H.(1)求證：∠DAG=∠EGH;(2)判斷AH與EF是否垂直，并說明理由.十三.四邊形綜合題(共8小題)30.(2023·衡陽)[問題探究](1)如圖1,在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0.在線段AO上任取一點P(端點除外),連接PD、PB.①求證：PD=PB;②將線段DP繞點P逆時針旋轉，使點D落在BA的延長線上的點Q處.當點P在線段AO上的位置發生變化時，∠DPQ的大小是否發生變化?請說明理由；③探究AQ與OP的數量關系，并說明理由.[遷移探究](2)如圖2,將正方形ABCD換成菱形ABCD,且∠ABC=60°,其他條件不變.試探究AQ與CP的數量關系，并說明理由.31.(2023·阜新)如圖，在正方形ABCD中，線段CD繞點C逆時針旋轉到CE處，旋轉角為α,點F在直線DE上，且AD=AF,連接BF.(1)如圖1,當0°<α<90°時，①求∠BAF的大小(用含α的式子表示).(2)如圖2,取線段EF的中點G,連接AG,已知AB=2,請直接寫出在線段CE旋轉過32.(2023·徐州)如圖，正方形紙片ABCD的邊長為4,將它剪去4個全等的直角三角形，得到四邊形EFGH.設AE的長為x,四邊形EFGH的面積為y.(1)求y關于x的函數表達式；(2)當AE取何值時，四邊形EFGH的面積為10?(3)四邊形EFGH的面積是否存在最小值?若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.33.(2023·蘭州)綜合與實踐：【思考嘗試】(1)數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在矩形ABCD中，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F,GD⊥DF,AG⊥DG,AG=CF,試猜想四邊形ABCD的形狀，并【實踐探究】(2)小睿受此問題啟發，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形ABCD中，示線段FH,AH,CF的數量關系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】(3)小博深入研究小睿提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3,在BH,可以用等式表示線段CM,BH的數量關系，請你思考并解答這個問題.圖1圖2圖3一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表.素材1國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視行的“E”形圖邊長b(mm),在平面直角坐標系中描點如圖1.探究1檢測距離為5米時，歸納n與b的關系式，并求視力值1.2所對應行的形圖邊長.素材2圖2為視網膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫探究2當n≥1.0時，屬于正常視力，根據函數增減性寫出對應的分辨視角θ的范圍.素材3如圖3,當θ確定時，在A處用邊長為b,的I號“E”b?的Ⅱ號“E”測得的視力相同.探究3若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長.35.(2023·徐州)【閱讀理解】如圖1,在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得AC2=a2+b2同理BD2=a2【探究發現】如圖2,四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b,則上述結論是否依然成立?請加以判斷，并說明理由.【拓展提升】如圖3,已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.【嘗試應用】如圖4,在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12,點P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為36.(2023·寧夏)綜合與實踐：問題背景數學小組發現國旗上五角星的五個角都是頂角為36°的等腰三角形，對此三角形產生了極大興趣并展開探究.探究發現如圖1,在△ABC中，∠A=36°,AB=AC.(1)操作發現：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點C的對應點是點E,折痕交AC于點D,連接DE,DB,則∠BDE=°,設AC=1,BC=x,那么AE=(用含x的式子表示);(2)進一步探究發現：這個比值被稱為黃金比.在(1)的條件下試證明：拓展應用當等腰三角形的底與腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的△ABC是黃金三角形.如圖2,在菱形ABCD中，∠BAD=72°,AB=1.求這個菱形較長對角線的長.37.(2023·山西)綜合與實踐問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為△ABC和△DFE,其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D,將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合(標記為點B).當∠ABE=∠A時，延長DE交AC于點G,試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由.數學思考：(1)請你解答老師提出的問題；深入探究：(2)老師將圖2中的△DBE繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在△ABC內部，并讓同學們提出新的問題.①“善思小組”提出問題：如圖3,當∠ABE=∠BAC時，過點A作AM⊥BE交BE的延長線于點M,BM與AC交于點N.試猜想線段AM和BE的數量關系，并加以證明.請你解答此問②“智慧小組”提出問題：如圖4,當∠CBE=∠BAC時，過點A作AH⊥DE于點H,若BC=9,AC=12,求AH的長.請你思考此問題，直接寫出結果.…T6…………起DoALB習6a矩形、菱形、矩形、菱形、正方形果0nmBccBB矩矩形、菱形、正方形對角線方法1:中點四邊形模型一.選擇題(共2小題)1.(2023·佛山模擬)如圖，四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.若四邊形EFGH為菱形，則對角線AC、BD應滿足條件是()A.AC⊥BDB.AC=BDC.AC⊥BD且AC=BDD.不確定【分析】滿足的條件應為：AC=BD,把AC=BD作為已知條件，根據三角形的中位線定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根據等量代換和平行于同一條直線的兩直線平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH為平行四邊形，又EH等于BD的一半且AC=BD,所以得到所證四邊形的鄰邊EH與HG相等，所以四邊形EFGH為菱形.【解答】解：滿足的條件應為：AC=BD.理由如下：∵E,F,G,H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，同理EF//AC且EF=AC,同理可得則HG//EF且HG=EF,∴四邊形EFGH為平行四邊形，又AC=BD,所以EF=EH,∴四邊形EFGH為菱形.【點評】此題考查學生靈活運用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及菱形的判斷進行證明，是一道綜合題.2.(2023·晉中模擬)如圖，順次連接正六邊形紙板ABCDEF各邊中點得到一個新的正六邊形.若將一個飛鏢隨機投擲到正六邊形紙板ABCDEF上，則飛鏢落在陰影區域的概率為()【分析】通過題目可以容易的得出陰影部分是一個正六邊形，要想計算飛鏢落在陰影區域的概率，只要計算陰影部分的面積占總面積的比例即可.【解答】解：∵六邊形A'B'C'D'E'F'心六邊形ABCDEF,【點評】本題主要考查了概率的應用，運用幾何面積的比來表示概率.二.填空題(共1小題)3.(2023·東莞市校級模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10,BC=6.E是邊CD的【分析】根據題意構造出包含AF的圖形，通過推斷證明該圖形的特征，利用四邊形及三角形的相關性質進行計算得出答案.【解答】解：5,AD=BC=6;DC//AB即DE//AH,A平行四邊形對邊平行且相等).∵EF//AD即EH//AD,∴四邊形AHED是平行四邊形(平行四邊形的判定);EH//CB(平行的傳遞性),(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半),∴∠AFH=180°-∠AFE=90°,即△AFH是一個直角三角形.∴AF2+HF2=AH2,即AF2+12=52,【點評】本題考查了幾何構圖的能力，平行四邊形的性質，三角形勾股定理的運用.三.解答題(共1小題)4.(2023·樂清市模擬)如圖，0是□ABCD的對角線的交點，E,F,G分別是OA,OB,CD的中點.(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形.(2)當∠DEF=90°,AB=6,BC=4時，求四邊形DEFG的周長.【分析】(1)根據平行四邊形的判定方法進行證明.(2)分析四邊形的四條邊，先通過已知數據利用圖形的相關性質算出EF的值，然后通過構造DE延長線段所在的三角形間接求出DE,從而算出周長.【解答】(1)證明：∵E,F,G分別是OA,OB,CD的中點，∴△OAB中，EF//AB且(三角形中位線定理);∴DC//AB,DC=AB(平行四邊形的對邊平行相等),,DG//AB//EF,∴四邊形DEFG是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).解：如圖所示，∠DEF=90°時，延長DE交AB于點H.∵AC、BD分別是平行四邊形ABCD的對角線，BC=4,(平行四邊形對角線相互平分),AD=4(平行四邊形對邊相等).∵點E、F分別是OA、AB的中點，AB=6,∴△OAB中，EF//AB且(三角形中位線定理);∵點F是OB的中點，∴△DEF∽△DHB(兩個直角三角形中，有一個銳角對應相等，這兩個直角三角形相似),答：四邊形DEFG的周長是6+3√3.【點評】本題考查了幾何構圖能力、平行四邊形的相關性質、三角形相似、勾股定理.方法2:正方形中的十字架模型1.(2023·宜城市模擬)七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E,F分別為BC,CD的中點，分別交BD,EF于0,P兩點，M,N分別為BO,DO的中點，連接MP,NF,沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，關于該圖形的下列說法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②圖中的四邊形MPEB是菱形；③四邊形EFNB的面積占正方形ABCD面積的.正確的有()A.①③B.①②C.只有①D.②③【分析】首先根據正方形的性質可判定△ABD,△CBD、△OAB,△OAD均為等腰直角三角形，再判定EF是△BCD的中位線，FN為△OCD的中位線，MP為△OBC的中位線，據此可判定△DFN、△OMP均為直角三角形，據此可對說法①進行判定；根據三角形的中位線得,由BC≠OB可得MP≠EP,據此可對說法②進設ON=a,則BD=4a,NF=a,EF=2a,BN=3a,然后分別求出正方形的面積和四邊形EFNB的面積即可對說法③進行判定.【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴△ABD,△CBD、△OAB,△OAD均為等腰直角三角形，∴EF是△BCD的中位線，△CEF為等腰直角三角形，連接PC,則點A,0,P,c在同一條直線上，∵點N為OD的中點，點F為CD的中點，∵點F為CD的中點，FP//OD,綜上所述：說法①正確；又BC≠OB,∴四邊形MPEB不是菱形，故說法②不正確；設ON=a,則BD=4a,NF=a,,BN=3a∴四邊形EFNB為梯形，∴說法③不正確.綜上所述：說法正確的只是①.【點評】本題主要考查了正方形的性質，三角形中位線定理，梯形的判定，正方形的面積、梯形的面積等知識點，熟練掌握正方形的性質是解決文題的關鍵.2.(2023·沙坪壩區校級模擬)如圖，點E、F、G分別是正方形ABCD的邊AD、BC、AB上的點，連接DG,EF,GF.且EF=DG,DE=2AG,∠ADG的度數為α,則∠EFG的度數A.aB.2αC.45°-α【分析】點F作FH⊥AD于點H,則四邊形CDHF為矩形，易通過HL證明Rt△FHE≌Rt△DAG,得到EH=AG,∠HFE=∠ADG=α,根據DE=2AG可得EH=DH=AG=CF,于是得到BG=BF,則△BFG為等腰直角三角形，∠BFG=45°,由∠BFG+∠EFG+∠HFE=90°即可求解.【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，如圖，過點F作FH⊥AD于點H,則四邊形CDHF為矩形，∴AB-AG=BC-CF,即BG=BF,∴△BFG為等腰直角三角形，∠BFG=45°,【點評】本題主要考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質，解題關鍵是正確作出輔助線，構造全等三角形解決問題.3.(2023·天山區校級二模)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點(不含B,C兩點),將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M,使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N,連接MA,NA.則以下結論中正確的是()①線段AM長度的最小值為5;②四邊形AMCB的面積最大值為10;④當P為BC中點時，AE是線段NP的垂直平分線.A.①②③B.①②【分析】①設BP=x,則PC=4-x,首先證△CMP和△BPA相似得,再過點M作MG⊥AB于點G,由勾股定理得AM=√AG2+42,據此得當AG為最小時，AM為最小，然后求出AG的最小值即可得到AM的最小值，進而可對結論①②設四邊形AMCB的面積為s,則,然后將,AB=BC=4代入取一點K,使AK=PK,則△PKB為等腰直角三角形，則BP=BK=x,繼而可得出PK=√2x,最后由AB=AK+BK=4可求出x的值，進而可對結論③進行判斷；用勾股定理求出x的值，進而可對結論④進行判斷.【解答】解：①∵四邊形ABCD為正方形，邊長為4,設BP=x,則PC=4-x,,過點M作MG⊥AB于點G,∴當x=2時，AG為最小，最小值為3,即當AG=3時，AM為最小，②設四邊形AMCB的面積為s,由①可知：),AB=BC=4,∴當x=2時，s為最大，最大值為10,∴四邊形AMCB的面積最大值為10.AE=AD,AN=AN,在AB上取一點K,使AK=PK,設NE=y,即：22+(4-x)2=(x+2)2,∴AE不是線段NP的垂直平分線，故結論④不正確.綜上所述：正確的結論是①②③.故選：A.【點評】此題主要考查了正方形的性質、相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理，二次函數的最值等知識，解答此題的關鍵是構建二次函數解決最值問題，難點是正確的添加輔助線，構造矩形、等腰直角三角形.4.(2023·浙江模擬)如圖，正方形ABCD中，AE=DF,AF與BE相交于點H,點0為BD中點，連結OH,若DG=OG,則的值為()【分析】先根據題意得到三角形全等，再根據全等三角形的性質得到線段相等，作輔助線構造直角三角形，設DF=k,然后根據勾股定理表示出OH、BH的長度即可解答.∵點0為BD中點，DG=OG,在Rt△AHB中，根據勾股定理過點0作OP⊥AB于點P,過H作HN⊥AB于點N,過0作OM⊥NH交NH的延長線于點M,如圖：則四邊形OMNP為矩形，根據勾股定理可得【點評】本題考查正方形的性質，全等三角形的性質和勾股定理，關鍵是作輔助線，用參數表示出OH、BH的長度.5.(2023·雙峰縣三模)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E,F分別是邊BC,AB的中點，連接AE,DF交于點0,將△ABE沿AE翻折，得到△AGE,延長EG交AD的延長線于點H,連接CG.有以下結論：②AH=EH;③CG//AE;其中正確的有()【分析】①根據正方形的性質可得AD=AB=BC,∠DAB=∠B=90°,從而可證△DAF≌△ABE,進而可得∠BAE=∠ADF,然后可得∠BAE+∠AFD=90°,即可解答；②根據正方形的性質可得AD//BC,從而可得∠DAC=∠AEB,再利用折疊可得∠AEB=∠AEG,進而可得∠DAE=∠AEG,即可解答；③由折疊得：C,從而可得進而可得∠AEB=∠GCE,即可解答；④在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE,然后證明△AOFO△ABE,利用相似三角形的性質，進行計算即可解答.【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∵四邊形ABCD是正方形，),GE=BE,∵∠B=90°,AB=4,故④正確；所以，以上結論，正確的有4個，【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，翻折變換(折疊問題),三角形的中位線定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.6.(2023·金東區二模)如圖，點G是正方形ABCD邊AB上的一點，連結CG,過點C作CE⊥CG,交EF于點H,連結GH,以HD和DA為邊作矩形ADHI.記△CEH的面積為S?,△GHF的面積為S?,矩形ADHI的面積為S?,若AB=4,S?+S?-S?=3,則CE=√26.【分析】先證四邊形GCEF為矩形，再證△ECD和△GBC全等，從而得CE=CG,進而可判定矩整理得x2-6a-11=0,再證△CDE和△CEH相似得x2=4a+16,據此可求出a的值，進而可求得CE的長.∴矩形GCEF為正方形，將x2=4(a+4)代入x2-6a-11=0【點評】此題主要考查了正方形的性質和判定，全等三角形的全等及性質，相似三角形的判定和性質，三角形、矩形、正方形的面積，解答此題的關鍵是熟練掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，難點是設置適當的輔助未知數，利用面積公式和相似三角形的性質找出相關線段之間的關系.7.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E、F分別是邊BC、CD上的一點，且CE=DF,AF、DE相交于點0,BO=BA,則OC的值為進而得∠AOD=90°,再證△BAH≌△ADO得AH=DO,進而得AH=OH=DO,AO=2,再利用三角形的面積公式求出,繼而可求出,進而可得OC的長.【解答】解：過點B作BH⊥0A于點H,過0作OG⊥CD于點G,∵四邊形ABCD為正方形，由勾股定理得：AF=√AD2+DF2=2√5,由三角形的面積公式得：由勾股定理得：由勾股定理得：故答案為：【點評】此題主要考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識點，解答此題的關鍵是熟練掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解全等三角形的對應邊相等、對應角相等，相似三角形的對應邊成比8.(2023·雁塔區校級三模)如圖，在正方形ABCD中，AB=6,E是邊BC的中點，F是正DM=DE,連接CN,MN,CM,則線段CN長度的最小值為_3√5-3_.【分析】首先證明△NDM和△FDE全等，從而得出DM=DE,MN=EF=3,過點M作MP⊥CD于點P,再證△DMP和△EDC全等，從而MP=CD=6,DP=CE=3,然后利用勾股定理求出CM,最后根據“兩點之間線段最短”得出CN+MN..CM,據此即可求出CN的最小值.【解答】解：∵DN⊥DF,DM⊥DE,即：∠EDN+∠NDM=∠FDE+∠EDN=90°,∵四邊形ABCD為正方形，AB=6,則∠MPD=∠DCE=90°,∠DMP+∠CDM=90°,【點評】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，線段的性質等知識點，解答此題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，難點是根據“兩點之間線段最短”構造不等式CN+MN...CM,從而求出CN的最小值.三.解答題(共3小題)9.(2023·南關區四模)【問題提出】如圖①,在正方形ABCD中，點E,F,G分別在邊BC,AB,CD上，GF⊥AE.請判斷AE與GF的數量關系，并說明理由.【類比探究】如圖②,在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG,EP交CD于點H,連結AE交GF于點0.則GF與AE之間的數量關系為【拓展應用】在(2)的條件下，若,GF=3√5,則CE的長為【類比探究】過F作FM⊥DC,證明△ABE△FMG即可解答；【拓展應用】由可設BE=4x,EF=5x,則AF=5x,BF=3x,由(2)可得從而可得AE,在Rt△ABE中根據勾股定理即可求出BE的長，BC,從而求出CE.【解答】解：【問題提出】AE=GF,理由如下：∴∠ABE=∠FMG=90°,AB=BC=FM,∴△ABE△FGH(ASA),【類比探究】理由如下：【拓展應用】∵由折疊性質可知AF=EF,設BE=4x,EF=5x,則AF=5x,BF=3x,AB=8x,故答案為：2.【點評】本題考查正方形的性質，全等三角形的性質，相似三角形的性質和判定，正確作出輔助線是解題關鍵.10.(2023·遵義模擬)【問題探究】如圖1,在正方形ABCD中，點E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF,求證：AE=DF.【知識遷移】如圖2,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點E在邊AD上，點M、N分別在邊AB、CD上，且BE⊥MN,求的值.【拓展應用】如圖3,在平行四邊形ABCD中，AB=m,BC=n,點E、F分別在邊AD、BC上，點M、N分別在邊AB、CD上，當∠EFC與∠MNC的度數之間滿足什么數量關系時，有試寫出其數量關系，并說明理由.【分析】【問題探究】利用ASA證明△ADE≌△DCF,得AE=DF;【知識遷移】過點N作NO⊥AB于點0,利用△ABEO△ONM,得即可得出答案；【拓展應用】作AG//EF,交BC于G,NH//BC,交AB于H,說明△ABG∽△NHM,得,且四邊形AEFG、HNCB是平行四邊形，進而解決問題.【解答】【問題探究】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴△ADE≥△DCF(ASA),【知識遷移】解：如圖，過點N作NO⊥AB于點0,【拓展應用】解：當∠EFC=∠MNC時，作AG//EF,交BC于G,NH//BC,交AB于H,AG//EF,AD//BC,是平行四邊形，【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質，平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握正方形中的十字架模型是解題的關鍵.11.(2023·嘉魚縣模擬)【問題探究】如圖1,正方形ABCD中，點F、G分別在邊BC、CD上，且AF⊥BG于點P,求證AF=BG;【知識遷移】如圖2,矩形ABCD中，AB=m,BC=n,點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于點P.求的值；【拓展應用】如圖3,在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,∠BDC=120°,DB=DC,點E、F分別在線段AB、BC上，且CE⊥DF于點P.請直接寫出的值.(圖1)(圖2)(圖3)【分析】(1)根據正方形的性質，利用ASA證明△ABF≌△BCG,得AF=BG;(3)過點D作DH⊥BC于點H,交CE于點M,首先說明△CBE∽△DHF,得,再利用△BDC是等腰三角形，得出CH=√3DH,進而解決問題.【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，(2)解：作EM⊥DC于點M,作HNIBC于點N,(圖2即則∠DHF=∠ABC=90°,【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了正方形和矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，特殊角的三角函數等知識，作輔助線構造相似三角形是解題的關一.解答題(共3小題)1.(2023·寧陽縣二模)在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°,對角線AC平分∠BAD.(1)如圖1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,試探究邊AD、AB與對角線AC的數量關系為 AD+AB=AC;(2)如圖2,若將(1)中的條件“∠B=90°”去掉，(1)中的結論是否成立?請說明理由；(3)如圖3,若∠DAB=90°,若AD=3,AB=7,求線段AC的長和四邊形ABCD的面積.【分析】(1)先證Rt△DAC≌Rt△BAC得出AD=AB,再求∠DCA的度數，得出,進而求出AD+AB=AC;(2)先畫輔助線：以c為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°,∠ACE的另一邊交AB延長線于點E,作出輔助線后證明△ACE為等邊三角形，根據四邊形內角和為360°和，∠B+∠D=180°求出∠DCB=60°,進而證明△CAD≌△CEB,得出AD=BE,最后得出AD+AB=AC;(3)先證△ACE為等腰直角三角形，再證明△ADC≌△E求四邊形ABCD的面積可以轉化為求△ACE的面積.【解答】解：(1)∵∠B+∠D=180°,∠B=90°,∵對角線AC平分∠BAD,由(1)可得：∠CAB=60°,∵∠D+∠ABC=180°,∠∵∠ABC+∠D+∠DAC+∠DCB=360°,∵對角線AC平分∠BAD,∠BAD=90°,AC2+CE2=AE2,角形的知識，有一定的難度.2.(2023·雨花區校級二模)在00中，弦CD平分圓周角∠ACB,連接AB,過點D作DE//AB交CB的延長線于點E.(1)求證：DE是00的切線；(2)若,且B是CE的中點，o0的直徑是√10,求D(3)P是弦AB下方圓上的一個動點，連接AP和BP,過點D作DH⊥BP于點H,請探究點P在運動的過程中，的比值是否改變，若改變，請說明理由；若不變，請直接寫出比值.【分析】(1)利用垂徑定理即可證得結論；(2)構建直角三角形，利用勾股定理求出線段長度即可求解；(3)利用相似三角形，直角三角形，找到角之間的關系，然后轉化為線段的關系進行求解.【解答】證明：(1)如圖1,連接OD交AB于點F,連接OA,OB,AD,解：(2)如圖2,連接OC,OD,OE,過點0作OF⊥BC于點F,設CF=x,OF=3x,解得：∵B是CE的中點，(3)解法一：如圖3,延長BP至Q使得PQ=AP,連接AQ,oC,連接OB,BD,連接OD交AB于點K,連接HK,∵A,P,B,c四點共圓，∵DE是00的切線，∴K是AB的中點，∴B,K,H,D四點共圓，解法二：如圖4,在BP上截取BM=AP,連接DM,BD,DP,AD,∵弦CD平分圓周角∠ACB,∴HP=HM,∴BP=BM+PM=BM+2HM,∵BH=BM+HM,解法三：如圖：連接DA,DB,DP,CD,將△APD沿PD翻折得到△A'PD,圖3【點評】本題考查了勾股定理，圓內接四邊形，垂徑定理等知識點，難度較大，解題的關鍵是作出輔助線，屬于中考壓軸題.3.(2023·肥城市校級模擬)定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形.(1)如圖1,點A,B,c在00上，∠ABC的求證：四邊形ABCD是等補四邊形；(2)如圖2,在等補四邊形ABCD中，AB=AD,連接AC,AC是否平分∠BCD?請說明理由.(3)如圖3,在等補四邊形ABCD中，AB=AD,其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F,CD=10,AF=5,求DF的長.圖1圖2圖3【分析】(1)由圓內接四邊形對角互補可知∠A+∠C=180°,∠ABC+∠ADC=180°,再證AD=CD,即可根據等補四邊形的定義得出結論；(2)過點A分別作AE⊥BC于點E,AF垂直CD的延長線于點F,證△ABE≌△ADF,得到AE=AF,根據角平分線的判定可得出結論；(3)連接AC,先證∠EAD=∠BCD,推出∠FCA=∠FAD,再證△ACF∽△DAF,利用相似三角形對應邊的比相等可求出DF的長.【解答】解：(1)證明：∵四邊形ABCD為圓內接四邊形，如圖2,過點A分別作AE⊥BC于點E,AF垂直CD的延長線于點F,∴AC是∠BCF的平分線，即AC平分∠BCD;(3)如圖3,連接AC,由(2)知，AC平分∠BCD,即【點評】本題考查了新定義等補四邊形，圓的有關性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質等，解題關鍵是要能夠通過自主學習來進行探究，運用一.多邊形內角與外角(共2小題)1.(2023·濟寧)一個多邊形的內角和是540°,則這個多邊形是五邊形.【分析】根據多邊形的內角和公式列方程并解方程即可.【解答】解：設此多邊形的邊數為n,解得：n=5,即此多邊形為五邊形，故答案為：五.【點評】本題考查多邊形的內角和公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.2.(2023·揚州)如果一個多邊形每一個外角都是60°,那么這個多邊形的邊數為【分析】根據多邊形的外角和是360度即可求得外角的個數，即多邊形的邊數.∴這個多邊形的邊數是6.故答案為：6.【點評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和是360°是解題關鍵.二.平面鑲嵌(密鋪)(共1小題)3.(2023·淮安)如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正【分析】以BH,HG,GD為邊，作正六邊形BHGDFE,,連接BD,DE,AD,由正六邊形性質可得C,B,E共線，A,D,E共線；而∠BDE=∠EDG-∠BDG=90°-60°=30°,BD=2BE=2m=BC,故DE=√3BE=√3m=AD,CE=BC+BE=3m,從而【解答】解：以BH,HG,GD為邊，作正六邊形BHGDFE,,連接BD,DE,AD,如圖：由正六邊形性質可得∠KDG=120°=∠AKD,AK=DK,設正六邊形的邊長為m,則BD=2BE=2m=BC,故答案為：【點評】本題考查平面鑲嵌問題，解題的關鍵是掌握正六邊形的性質和銳角三角函數的定義.三.平行四邊形的性質(共2小題)4.(2023·福建)如圖，在□ABCD中，0為BD的中點，EF過點0且分別交AB,CD于點E,【分析】由平行線四邊形的性質得到CD=AB,CD//AB,因此∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO,【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵0為BD的中點，故答案為：10.【點評】本題考查平行線的性質，全等三角形的判定和性質，關鍵是由△DOF≌△BOE推出DF=BE,由平行線的性質得到CD=AB,推出CF=AE.5.(2023·涼山州)如圖，在oABCD中，對角線AC與BD相交于點0,∠CAB=∠ACB,過點B(1)求證：AC⊥BD;【分析】(1)證AB=CB,得oABCD是菱形，再由菱形的性質即可得出結論；(2)由菱形的性質得,AC⊥BD,再由勾股定理得OB=6,然后證△BOE△AOB,得即可得出結論.【解答】(1)證明：∵∠CAB=∠ACB,(2)解：由(1)可知，□ABCD是菱形，3,AC⊥BD,解得：【點評】本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定與性質、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定與性質等知識，熟練掌握平行四邊形的性質和菱形的判定與性質是解題的關鍵.四.平行四邊形的判定(共1小題)6.(2023·邵陽)如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,若添加一個條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列正確的是()【分析】由平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可.【解答】解：A、由AB//CD,AD=BC,不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項A不∴不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項B不符合題意；C、由AB//CD,AB=AD,不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項c不符合題意；又∵AB//CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項D符合題意；故選：D.【點評】本題考查了平行四邊形的判定以及平行線的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵.五.平行四邊形的判定與性質(共2小題)證：DM=BN.【分析】由平行四邊形的性質得AB//CD,AB=CD,再證BM=DN,然后由平行四邊形的判定即可得出結論.【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，即BM=DN,【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的性質，證明BM=DN是解題的關鍵.8.(2023·杭州)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,點E,F在對角線BD上，且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形.(2)若△ABE的面積等于2,求△CFO的面積.【分析】(1)由平行四邊形的性質得AO=CO,BO=DO,再證OE=OF,即可得出結論；(2)由平行四邊形的性質可求解.【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，(2)解：∵BE=EF,【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質，三角形的面積公式，掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵.六.菱形的性質(共4小題)9.(2023·湘潭)如圖，菱形ABCD中，連接AC,BD,若∠1=20°,則∠2的度數為()A.20°B.60°C.70°【分析】根據菱形的性質和平行線的性質以及三角形的內角和定理即可得到結論.【點評】本題考查了菱形的性質，平行線的性質，熟練掌握菱形的性質定理是解題的關鍵.10.(2023·麗水)如圖，在菱形ABCD中，AB=1,∠【分析】連接BD交AC于點0,由菱形的性質得0A=OC,∠BAO=30°,AC⊥BD,再由含30°角的直角三角形的性質得,然后由勾股定理得,即可得出結論.,AC⊥BD,握菱形的性質和勾股定理是解題的關鍵.11.(2023·牡丹江)如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂A(1,0),∠DAB=60°,將菱形ABCD繞點A旋轉90°后，得到菱形AB?C?D?,則點C?的坐標是_(1-√3,3)或(1+√3,-3)_.【分析】根據菱形的性質和含30°角的直角三角形的性質得出AD=AB=BC=CD解答.【解答】解：如圖所示：∵菱形ABCD的頂點A,B在x軸上，AB=2∴點C?的坐標為(1-√3,3)或(1+√3,-3),故答案為：(1-√3,3)或(1+√3,-3).【點評】此題考查菱形的性質，關鍵是根據菱形的性質和含30°角的直角三角形的性質解答.12.(2023·浙江)如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,連結EF.(1)求證：AE=AF;(2)若∠B=60°,求∠AEF的度數.【分析】(1)欲證明AE=AF,只需要證得△ABE≌△ADF即可； (2)根據菱形的鄰角互補和全等三角形的性質進行推理解答.【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，又∵AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,∴△ABE≥△ADF(AAS).(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，由(1)知△ABE≌△ADF,∴△AEF是等邊三角形.【點評】本題主要考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件.13.(2023·深圳)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=6,將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF,若四邊形ECDF為菱形時，則a的值為()A.1B.2【分析】證得四邊形ECDF為平行四邊形，當CD=CD=4時，OECDF為為菱形，此時a=BE=BC-CE=6-4=2.【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵將線段AB水平向右平得到線段EF,∴四邊形ECDF為平行四邊形，【點評】本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質和判定，平移的性質，證得證得四邊形ECDF為平行四邊形，熟練掌握菱形的判定方法是解決問題的關鍵.14.(2023·齊齊哈爾)如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,AC⊥BD于點0.請添加一個條件：_AD//BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等),使四邊形ABCD成為菱形.【分析】根據AD//BC或AB=CD或或ADB=∠CBD,證得四邊形ABCD是平行四邊形，再根據DO=BO,可證得四邊形ABCD是菱形.【解答】解：當添加“AD//BC”時，∴四邊形ABCD是菱形.故答案為：AD//BC(或AB=CD或OB=OD或ADB=∠CBD等).【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、直角全等三角形全等的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的判定，利用數形結合的思想解答.15.(2023·湘西州)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM//DN,且分別交對角線AC于(1)求證：∠DMN=∠BNM;(2)若∠BAC=∠DAC.求證：四邊形BMDN是菱形.【分析】(1)連接BD,交AC于點0,證明△BOM≌△DON,推出四邊形BMDN為平行四邊形，得到BN//DM,即可得證；(2)先證明四邊形ABCD是菱形，得到AC⊥BD,進而得到MN⊥BD,即可得證.【解答】證明：(1)連接BD,交AC于點0,如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴△BOM≥△DON(ASA),∴四邊形BMDN為平行四邊形，(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形，∴平行四邊形BMDN是菱形.【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質.熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵.八.菱形的判定與性質(共1小題)16.(2023·云南)如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE=AF.(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°,△ABE的面積等于4√3,求平行線AB與DC間的距離.【分析】(1)根據平行四邊形對角相等得到∠BAD=∠BCD,再根據AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，可得到∠DAE=∠BCF,再根據平行四邊形對邊平行得到∠DAE=∠AEB,于是有∠BCF=∠AEB,得出AE//FC,根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形AECF是平行四邊形，最后根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；(2)連接AC,根據平行四邊形的性質和角平分線的定義可證得AB=EB,結合已知∠ABC=60°得到△ABE是等邊三角形，從而求出AB=AE=EB=EC=4,∠BAE=60°,再證得∠EAC=30°,即可得到∠BAC=90°,根據勾股定理求出AC的長，從而得出平行線AB與DC間的距離.【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，(2)解：連接AC,即AB=AE=EB=4,即平行線AB與DC間的距離是4√3.【點評】本題考查了菱形的判定與性質，掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是此題的關鍵，理解平行線間的距離的定義，等邊三角形的性質與判定.九.矩形的性質(共6小題)17.(2023·臺灣)如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,且有一點P從B點沿著BD往D點移動，若過P點作AB的垂線交AB于E點，過P點作AD的垂線交AD于F點，則EF的長度最小為多少()【分析】連接AP、EF,依據PE⊥AB,PF⊥AD,∠A=90°,可得四邊形AEPF為矩形，借助矩形的對角線相等，將求EF的最小值轉化成AP的最小值，再結合垂線段最短，將問題轉化成求Rt△BAD斜邊上的高，利用面積法即可得解.【解答】解：如圖，連接AP、EF,∴四邊形AEPF為矩形.∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值.∵點P從B點沿著BD往D點移動，下面求此時AP的值，故本題選B.【點評】本題考查了矩形的判定與性質、垂線段最短及面積法求直角三角形斜邊上的高，需要熟練掌握并靈活運用.18.(2023·臺州)如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=6.在邊AD上取一點E,使BE=BC,過點C作CF⊥BE,垂足為點F,則BF的長為_2√5.【分析】根據矩形的性質可得出∠AEB=∠FBC,結合已知BE=BC,利用AAS證得△ABE和△FCB全等，得出FC=AB=4,再根據矩形的性質得到BC=AD=6,從而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的長.【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，在RtAFCB中，由勾股定理得BF=√BC2-FC2=√62-42=2√5,故答案為：2√5.【點評】本題考查了矩形的性質，三角形全等的性質與判定，勾股定理，熟知矩形的對邊平行且相等，四個角都是直角.19.(2023·蘭州)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,CD//OE,直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD,AD于點F,G,連接DE.(1)判斷四邊形OCDE的形狀，并說明理由；【分析】(1)先根據線段垂直平分線的性質得FD=FO,ED=OE,CD=CO,再證△FDC和△FOE全等得CD=OE,據此可得ED=OE=CD=CO,進而可判定四邊形OCDE的形狀；(2)先證△ODC為等邊三角形得DO=CD=4,∠ODC=60°,進而DF=2,據此再分別求出CF,GF,進而可得EG的長.【解答】解：(1)四邊形OCDE是菱形，理由如下：∵CE是線段OD的垂直平分線，∴△FDC△FOE(ASA),又ED=OE,CD=CO,(2)∵四邊形ABCD為矩形，∵CE是線段OD的垂直平分線，由(1)可知：四邊形OCDE是菱形，【點評】此題主要考查了矩形的性質，菱形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，解答此題關鍵是理解菱形的判定，等邊三角形的性質，數量利用勾股定理銳角三角函數進行計算.20.(2023