專題3.1平方根【八大題型】

【浙教版】

?題型梳理

【題型1平方根的性質與數軸的綜合】............................................................1

【題型2根據平方根的性質求字母的值】..........................................................3

【題型3根據非負性的性質求值】................................................................5

【題型4利用平方根的概念解方程】..............................................................7

【題型5根據平方根和算術平方根的概念求值】....................................................9

【題型6估算算術平方根的取值范圍】...........................................................11

【題型7求算術平方根的整數部分和小數部分】...................................................12

【題型8有關算術平方根的探究規律題】..........................................................15

?舉一反三

【知識點1平方根和算術平方根】

平方根：

①定義：如果x2=a(aZ0),那么x叫做a的平方根，也稱為二次方根.

②表示方法：正數a的正的平方根記作正，負的平方根記作-正數a的兩個平方根記作士讀作正、

負根號a,其中a叫做被開方數.

③性質：一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根.

算術平方根：

(1)定義：正數a有兩個平方根土我們把正數a的正的平方根叫做a的算術平方根.

⑵性質：①正數的算術平方根是一個正數：0的算術平方根是0：

②負數沒有算術平方根.當a工0時，V?=a；

③算術平方根具有雙重非負性：a>0：GO

【題型1平方根的性質與數軸的綜合】

【例1】(2023春?七年級單元測試)已知a,b在數軸上的位置如圖所示，試化簡：/+VP+J(ai)2+

7(^17-V(a-l)2.

~h-10aiA

【答案J3a—3b

第1頁共18頁

【分析】a,b在數軸上對應點的位置判斷a,b的符號，進而判斷Q-從b-1,的符號，再由算術平方

根化簡方法進行計算即可.

【詳解】解：由a,b在數軸上對應點的位置可知b<-1<0<a<1,

?,?ci—b>0?匕-1V0,cz—1<0?

:.原式=|a|+|b|+|a—b|+|b—1|—\u—11

=a—b+a—b+1—b—1+a

=3a—3b.

【點睛】本題考查算術平方根的性質與化簡，數軸表示數，掌握數軸表示數的定義，算術平方根化簡的方法

是正確解答的前提.

【變式1-1](2023春?湖北武漢?七年級校聯考期中)如圖，已知f=3,那么在數軸上與x對應的點可能是

()

%P2尸3匕

4~~-2-10,1~2~3~4

A.P.B.P&

C.尸2或D.P1或24

【答案】D

【詳解】解：:xM,

.*..r=±V3,

，對應的點為Pi或P4.

故選：D.

【變式1-2](2023春?七年級單元測試)已知小》在數軸上位置如圖，化簡RT討-m=.

ab

【答案】b

【分析】據數。、力在數軸上的位置確定Q-力，〃的符號，再根據算術平方根的性質進行開方運算，再合并

同類項.

【詳解】解：從數軸上可以得出：Q<0,b>0,\a\>\b\t

?\a-bV0,

1?《(a-6)2—=\a—b\—|a|=—(a—b)—(—a)=—a+b+a=b.

第2頁共18頁

故答案為：b.

【點睛】本題考查的是利用數軸比較的大小，算術平方根，掌握算.術平方根的概念是解題的關鍵.

【變式1-3】（2023春?遼寧遼陽?七年級校考階段練習）如圖，正方形/BCD的面積為7,頂點A在數軸上表示

的數為I，若點E在數軸上（點E在點4的左側），且40=4E,則點E所表示的數為（）

【答案】C

【分析】因為面積為7的正方形A3CD邊長為上，所以4。=夕，而得力E=上，力點的坐標為

1,故E點的坐標為1一行.

【詳解】解：???面積為7的正方形ABCZ）為7,

*.AD-y[7,

*：AD=AE,

：.AE=夕，

?.?只點表示的數為1.

???￡點表示的數為1一夕，

故選:C.

【點睛】本題考查了數軸與、平方根的應用，關鍵是結合題意求出==

【題型2根據平方根的性質求字母的值】

【例2】（2023春?廣東云浮?七年級校考期中）已知一個正數的兩個平方根分別為m+3和2機-15.

⑴這個正數是多少？

（2）m+21的算術平方根是多少？

【答案】（I）這個正數是49

（2）加+21的算術平方根是5

【分析】（1）根據“一個正數的兩個平方根互為相反數''可得（m+3）+（2m-15）=0,即可求解；

（2）由（1）可求m+21=25,即可求解.

第3頁共18頁

要使V2023—九是正整數,

即當n=2022時，V2023-n=l.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義進行求解是解決本題的關鍵.

【變式2-3]（2023春?福建泉州?七年級福建省泉州第一中學校考期中）已知％=1-20y=3a-4.

（1）已知x的算術平方根為3,求。的值；

⑵如果x,y都是同一個數的平方根，求這個數.

【答案】（1"=-4

（2）這個數為1或25

【分析】（1）由工的算術平方根為3得到1-2a=9,解方程即可得到答案；

（2）分％=y和x+y=0兩種情況分別進行求解即可.

【詳解】（1）解；??”的算術平方根為3,

1-2a=9,解得Q=-4；

（2）①當％=、時，即1-2a=3。-4,解得Q=1,

.*.x=1—2a=—1,y=3a—4=—1,

???這個數為（—1）2=1；

②當x+y=0時，即1—2Q+3Q—4=0,解得a=3,

:.x=1-2a=-5,y=3a-4=5,

，這個數為52=25,

綜上所述，這個數為1或25.

【點睛】此題考查了平方根和算術平方根，讀懂題意并正確計算是解題的關鍵.

【題型3根據非負性的性質求值】

【例3】（2023春?河南駐馬店?七年級統考期中）已知|3工-y—l|和g+y-4互為相反數，求x+4y的

平方根.

【答案】±3.

【分析】根據題意得出關于x、y的二元一次方程組，解方程組得出x、y的值，代入可求.

【詳解】由題意得：\3x-y-l\+J2x+y-4=0,所以｛瓷二二一

解得％=l,y=2

Ax+4y的平方根=_^/>+4y=_LV1+4x2=J_3

第5頁共18頁

考點：非負數的性質、平方根.

【變式3-1］（2023春?四川達州?七年級統考期末）已知%、y,滿足石=！+|y+2|=0,則好一4y的平方

根為.

【答案】±3

【分析】利用算術平方根及絕對值的非負性求出x、y的值，即可代入求出/-你的平方根.

【詳解】WF^I+|y+2|=0,

Ax-1=0,y+2=0,

/.x=1>y=-2,

:./-4y=1+8=9,

，無2-4y的平方根為±3,

故答案為：±3.

【點睛】此題考查算術平方根及絕對值的非負性，求一個數的平方根，能根據題意求出x、y的值足解題關

鍵.

【變式3-21（2023春?四川內江?七年級四川省內江市第六中學校考開學考試）已知y=G7+標F+9,

則y+x的平方根是（）

A.3B.±3C.4D.±4

【答案】D

【分析】直接利用算術平方根有意義的條件得出x的值，進而得出y的值，再利用平方根的定義得出答案.

【詳解】解：由題意可得：-］之°八，

114-2%>0

解得：x=7,

故y=9,

則y+x=9+7=16,

故y+x的平方根是：±4.

故選：D.

【點睛】本題考查算術平方根有意義的條件，解不等式組.能根據算:術平方根有意義被開方數大于等于0得出

不等式組是解決此題的關鍵.

【變式3-3］（2023春?江蘇蘇州?七年級統考期中）己知（3-x）2-5與J彳+5互為相反數，則言的值是

（）

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A.6B.5C.D.2

【答案】A

【分析】根據互為相反數的兩個數的和等于0列方程，再根據非負數的性質列方程求出X、），，然后代入代

數式進行計算即可得解.

【詳解】解:團（3—幻2一5與爐方+5互為相反數，

團（％—3產—5+yfy^2+5=0?

即"-3）2+百2=0，

所以％-3=0,y-2=0,

解得％=3,y=2,

「廠[.]X+33+3,

所以方=a=6?

故選A.

【點睛】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為。時，這幾個非負數都為0.

【題型4利用平方根的概念解方程】

【例4】（2023春?河南鶴壁?七年級校考期中）若/一。2=（%+2）（工一2）,則a的值為（）

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】C

【分析】先由整式乘法運算公式-平方差公式化簡、移項、合并同類項、直接開平方解方程即可得到答案.

【詳解】解：x2-a2=（x+2）（%-2）,

x2-a2=x2-4,

移項、合并同類項得小=4,

直接開平方得a=±2,

故選：C.

【點睛】小題考查解方程，涉及整式乘法運算公式-平方差公式，掌握解方程步驟移項、合并同類項、直接開

平方等是解決問題的關鍵.

【變式4-1]（2023春?湖南長沙??七年級湖南師大附中博才實驗中學校聯考期中）如果（無-1）2=4,那么x

的值是（）

A.4B.3或一1C.-1D.3

【答案】B

第7頁共18頁

【分析】根據平方根的定義解方程即可.

【詳解】（工-1）2=4,

開平方得％-1=±2,

解得％=3或一1,

故選：B.

【點睛】本題考查了利用平方根的定義解方程，熟練掌握平方根的定義是解題的關鍵.

【變式4-2】（2023春?廣西梧州?七年級統考期中）在公式y=（—1）2—8中，當y=l時，x的值為.

【答案】4或-2

【分析】將y=l代入，用開平方法，解關于x的方程即可.

【詳解】解：把y=1代入y=（x-I）2-8得：（％-1）2-8=1,

移頂得：（％-=9,

開平方得：x-1=±3,

:.X-4或x=-2.

故答案為：4或-2.

【點睛】本題主要考查了開平方運算，解題的關鍵是熟練掌握平方根的定義，一個正數的平方根有兩個，且

這兩個數互為相反數.

【變式4-3］（2023春.江西萍鄉?七年級校考期中）求下列各式中工的值：

（1）9x2-25=0；

（2）4（2x-I）2=36

【答案】（1）%=：,或％=-<

JJ

（2）x=2或久=-1

【分析】（1）根據等式的性質和平方根的定義進行計算即可.

（2）根據等式的性質和平方根的定義進行計算即可.

【詳解】（1）9x2-25=0

移頂得，9/=25,

兩邊都除以9得，％2=g,

由平方根的定義得，x=±|;

即X=或％=--

3

第8頁共18頁

(2)4(2x-I)2=36

兩邊都除以4得，(2x-l)2=9,

由平方根的定義得，2x-1=±3,

即x=2或工=-1；

【點睛】本題考查平方根，理解平方根的定義，掌握等式的性質是正確解答的前提.

【題型5根據平方根和算術平方根的概念求值】

【例5】(2023春?四川資陽?七年級校考期中)已知2b+l的平方根為±3,3a+2b-1的算術平方根為4,求2b+3a

的平方根.

【答案】±g.

【分析】分別根據2b+l的平方根是±3,3a+2b-l的算術平方根是4,求出a、b的值，再求出2b+3a的值,求

出其平方根即可.

【詳解】解：由題意可知：

2b+l=(±3)2=9,

b=4,

3a+2b-l=42=16,

.\3a+8-l=16,

:.a=3，

:.2b+3a=8+9=17,

，2b+3a的平方根士舊.

【點睛】本題考查的是平方根和算術平方根的定義，根據題意求出a、b的值是解答此題的關鍵.

【變式5-1】(2023春?廣東江門?七年級校考期中)已知7^巧=2,則a的值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據4的算術平方根是2可解答.

【詳解】解：???后斗=2,

二a+3=4,

Aa—1.

故選：B.

【點睛】本題考查了算術平方根，掌握算術平方根的定義是關鍵.

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【變式5?2］（2023春?福建莆田?七年級統考期末）已知x=l-a,y=2a-5.

（1）已知x的值4,求a的值及x+y+16的平方根；

（2）如果一個數的平方根是x和y,求這個數.

【答案】（1）a=-3,±3；（2）9.

【分析】（1）根據％=4,求解方程可得a的值；再通過解方程計算得y的值，從而得到x+y+16的平方根;

（2）一個數的平方根是x和v，可得x=-y,通過解方程得a的值，再經計算得x和v，從而完成求解.

【詳解】（1）13%=4

團1-a=4

回a=-3

0y=2a—5=2x（—3）—5=-11

取:+y+16=4+（-11）+16=9

以十y+16的平方根為：±3.

（2）如果一個數的平方根是x和y

即這個數=",且％=-y

01—a=—（2a—5）

回a=4

（x=-3

01Q

ly=3

團這個數="2=9.

【點睛】本題考查了平方根等知識：解題的關鍵是熟練掌握平方根的性質，從而完成求解.

【變式5-3］（2023春?陜西西安?七年級校考期中）已知正數X的平方根是〃［和兒

⑴當71=6時,求〃?的值；

⑵若mZx+im+nyxnSZ,求x-1的值.

【答案】⑴m=-3

（2）x=4

【分析】（1）利用正數平方根互為相反數即可求出機的值；

（2）利用平方根的定義得到（血+"）2=，/=%，代入式子血2》+（瓶+九）2%=32即可求出x值.

【詳解】（1）???正數X的平方根是用和7九+九，

.*.7n+7n+n=O,

Vn=6,

第10頁共18頁

，2m+6=0,

3：

（2）,正數x的平方根是加和m+n,

（m+n）2=x,m2=x,

Vm2x+（m+n）2x=32,

.\X2+X2=32,

.\X2=16,

Vx>0,

:.j=4.

%-1=3.

【點睛】本題考查了平方根的定義及平方根的性質，熟練掌握這兩個知識點是解題的關鍵.

【題型6估算算術平方根的取值范圍】

【例6】（2023春?七年級課時練習）估計質的大小應在（）

A.7.1?7.3之間B.7.3?7,5之間C.7.5?7.7之間D.7.7?7.9之間

【答案】B

【分析】先把回平方，再把選項中的數分別平方，即可解答.

【詳解】解：?；7.32=53.29,7.52=56.25,

二回在7.5?7.7之間，

故選:B.

【點睛】本題考查的是無理數的估算，解答本題的關鍵是熟知用“夾逼法”估算無理數是常用的估算無理數的

方法.

【變式6-1】（2023春?貴州貴陽?七年級校考階段練習）如圖，在數軸上表示數g的點可能是（）

ABCD

IIIII.l.l.l,I.

-3-2-1012345

A.點4B.點、BC.點、CD.點。

【答案】D

【分析】估算出g的范圍即可得出答案.

【詳解】解：：16V17<25,

V17<V25,

?工4</17<5.

第11頁共18頁

故選：D.

【點睛】本題考查算術平方根的大小比較.

【變式6-2】（2023春?貴州六盤水七年級統考期末）數軸上表示下列各數的點，能落在A,8兩個點之間的

是（）

AB

-?--1??->

-101234

A.-V3B.V7

C.VilD.>/13

【答案】B

【分析】首先確定A,B對應的數，再分別估算四個選項的數值進行判斷即可.

【詳解】解:由數軸得，A點對應的數是1,B點對應的數是3,

A.-2<-V3<-l,不符合題意；

B.2<V7<3,符合題意；

C、3<VTT<4,不符合題意；

D.3<713<4,不符合題意；

故選：B

【變式6-3】（2023春?北京東城?七年級北京一七一中校考期中）請寫出&與VT5間的一個整數.

【答案】2（答案不唯一）

【分析】估算出企與45的取值范圍，即可求解.

【詳解】解：<企<2,3Vm<4,

???魚與同間的一個整數為2或3,

故答案為：2（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了算術平方根的估算，估算出a與g的取值范圍是解題的關健.

【題型7求算術平方根的整數部分和小數部分】

【例7】（2023?重慶九龍坡?重慶實驗外國語學校校考三模）若一個正方形的面積是20,則它的邊長最接近

的整數是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】通過算數平方根的算法，計算山正方形邊長，再根據估算得出結果.

第12頁共18頁

【詳解】解：???正方形的面積是20,

???正方形的邊長為兩，

V16<20<20.25,

故4<際<4.5,則際更接近J

故選A.

【點睛】本題考兗了求算數平方根、以及估算算數平方根，其中準確算出算數平方根是關鍵.

【變式7-1]（2023春?全國?七年級專題練習）近!的整數部分是.小數部分是.

【答案】3JII-3

【分析】根據算術平方根的整數部分和小數部分求解的方法直接進行求解即可.

【詳解】解：???9VII<16,

/.3<A/1T<4,

??.E■的整數部分為3,

???VH■的小數部分為E-3；

故答案為3,V1I-3.

【點睛】本題主要考查算術平方根，熟練掌握求一個算術平方根的整數部分和小數部分是解題的關鍵.

【變式7-2]（2023?浙江?七年級假期作業）己知2a-1的算術平方根是3,匕-1的平方根是±4,c是g的整

數部分，求a+26-c的平方根.

【答案】±6

【分析】根據平方根與算術平方根的定義分別求出%b、c的值；進而得出Q+2b-c的值，求出它的平方根

即可；

【詳解】解：的算術平方根是3；6-1的平方根是±4,

A2a-1=9,6-1=16，

工。=5,b=17.

???c是的整數部分，3Vg<4,

c=3.

:?a+2b—c=5+17x2—3=36.

?:36的平方根是±6.

，a+2b-c的平方根為±6.

【點睛】本題考查了考查了平方根與算術平方根；熟練掌握平方艱與算術平方根的定義是解題的關鍵.

第13頁共18頁

【變式7-3]（2023春?浙江?七年級專題練習）（1）采用夾逼法，利用企的一系列不足近似值和過剩近似值

來估計它的大小的過程如下：

因為產=1,2?=4,

所以1<企<2,

因為1.42=1.96,1.52=2.25,

所以1.4<yf2<1.5,

因為1.4M=1.9881,1.422=2.0164,

所以1.41<V2<1.42

因為1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,

所以1.414<V2<1.415,

因此加?1.41（精確到百分位），

使用夾逼法，求出力的近似值（精確到百分位）.

（2）我們規定用符號因表示數》的整數部分，例如用=0,[2.4]=2,

①按此規定[依+2]=_；

②如果苗的整數部分是a,正的小數部分是瓦求⑷-⑸的值.

【答案】（1）2.24：（2）①5,②3-花

【分析】（1）仿照使用夾逼法求應近似值的方法解答即可：

（2）①先使用夾逼法確定g的范圍，然后即可確定國+2的范圍，再根據規定解答即可；

②先確定代的整數部分。與6的小數部分b的值，再代入所求式子化簡計算即可.

【詳解】解：（1）因為2?=4,3?=9,

所以2c遍<3,

因為2.22=4.84,2.32=5295

所以2.2<\/5<2.3,

因為2.232=4.9729,2.242=5.0176,

所以2.23<V5<2.24,

因為2.2362=4.999696,2.2372=5.004169,

所以2.236<?<2.237,

因此迷?2.24.

（2）①因為3.12=9.61,3.22=10.24,

第14頁共18頁

所以3.1<au<3.2,

所以5.1vJIU+2V5.2,

所以[JIU+2]=5；

故答案為:5：

②因為1<<2,2〈的V3,

所以Q=l,b=V5—2,

所以原式=|1|一|遍-2|

=1-(V5-2)

=1-V5+2

=3—Vs.

【點睛】本題考查了利用夾逼法求算術平方根的近似值、對算術平方根的整數和小數部分的認識以及實數的

簡單計算，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握算術平方根的相關知識足解題關鍵.

【題型8有關算術平方根的探究規律題】

【例8】(2023春?四川達州?七年級四川省渠縣中學校考階段練習)探索與應用.先填寫下表，通過觀察后

再回答問題：

a??.0.00010.01110010000?.?

???0.01X1y100???

(1)表格中x=_；>,=_；

(2)從表格中探究〃與論數位的規律，并利用這個規律解決下面兩個問題:

規律：

①已知?3.16,則

②已知J5^=1.8,若低=180,Ma=_.

【答案】(1)0.1,10

(2)規律見解析,①31.6；②32400

【分析】(1)觀察表格確定出“與y的值即可:

第15頁共18頁

（2）根據表格中的規律“算術平方根的被開方數擴大100倍，算術平方根擴大10倍”，據此分別計算①②可

得答案.

【詳解】（1）解：x=0.1,y=10；

故答案為：0.1,10；

（2）根據表中數據可得：算術平方根的被開方數擴大100倍，算術平方根擴大10倍；

①向麗=lOVlOx31.6：

②a=3.24x10000=32400.

故答案為:①31.6；②32400.

【點睛】本題考杳了算術平方根的知識，根據表格的數據發現規律是解題的關鍵.

【變式8-1]（2023春?河南鄭州?七年級鄭州市第八中學校考期中）觀察下列有規律的一組等式：

月=&庠=2$即后=2/4=冊=舟=3舟即4=3島

（1）猜想：/-：------'后盤=-------

（2）你發現了什么規律？根據你發現的規律，請用一個含n（ri為正整數）的式子表示這一規律.

【答案】⑴靖,5在

（2）被開方數中的整數與分數的分子相同，分數的分母是分子的平方加I,小二高=九總5

【分析】（1）根據給定的等式，進行猜想即可；

（2）根據給定的等式可以看出，被開方數中的整數與分數的分子相同，分數的分母是分子的平方加1,進行

表示即可.

【詳解】（1）解：由給定的等式猜想得：J4一標出,6^=5標

故答案為:出,5層

（2）由給定的式子可以得到：被開方數中的整數與分數的分子相同，分數的分母是分子的平方加1,

用一個含九（n為正整數）的式子可表示為：Jn-^=n后;

【點睛】本題考查算術平方根的性質和數字的規律性探究.熟練掌握算術平方根的概念，從給出的式子中正

確的找出規律，是解題的關鍵.

【變式8-2]（2023春?安徽亳州七年級統考階段練習）一組實數按下列規律排列：

1：V2；V3；2；A/5；A/6：yfl第1行

瓜3；710；7TT；\/12；\/13；/14第2行

第16頁共18頁

715；4：717；/18；回;V20；V21第3行

根據這個規律解答以下問題：

（1）直接寫出第4行第1列