福建省福清市海口鎮高中數學第三章三角恒等變換3.1兩角差的余弦公式教學實錄新人教A版必修4學校授課教師課時授課班級授課地點教具課程基本信息1.課程名稱：福建省福清市海口鎮高中數學第三章三角恒等變換3.1兩角差的余弦公式

2.教學年級和班級：高一年級（1）班

3.授課時間：2023年4月10日星期一上午第二節課

4.教學時數：1課時核心素養目標學情分析高一年級的學生正處于從初中向高中過渡的關鍵時期，他們在數學學習上表現出以下特點：

1.知識基礎：學生在初中階段已經學習了基本的三角函數知識，對正弦、余弦、正切等概念有初步的理解。然而，對于三角恒等變換這一高級概念，學生的掌握程度參差不齊，部分學生可能對公式的推導過程和實際應用感到困惑。

2.能力水平：學生的數學思維能力逐漸增強，但抽象思維能力仍需培養。在解決三角恒等變換問題時，學生往往依賴于記憶公式，缺乏對公式的靈活運用和推導能力。

3.素質培養：學生在高中階段需要培養的邏輯思維、分析問題和解決問題的能力在三角恒等變換的學習中尤為重要。此外，學生的合作學習能力和自主學習能力也是本課程學習的關鍵。

4.行為習慣：部分學生可能存在依賴老師的講解，缺乏主動思考和探索的習慣。在課堂上，學生的參與度和積極性需要進一步提高。

5.對課程學習的影響：由于三角恒等變換是高中數學中的重要內容，對于后續學習解三角方程、三角函數圖像與性質等知識有著直接的影響。因此，本課程的學習對于學生整體數學素養的提升具有重要意義。

針對以上學情分析，本節課將注重培養學生的邏輯思維能力、抽象思維能力，引導學生通過自主探索、合作交流等方式掌握兩角差的余弦公式，提高學生的數學應用能力和解決問題的能力。同時，通過課堂互動和反饋，逐步培養學生良好的學習習慣和自主學習能力。教學方法與手段教學方法：

1.講授法：通過講解兩角差的余弦公式的基本概念和推導過程，幫助學生建立清晰的知識框架。

2.討論法：組織學生分組討論公式的應用，鼓勵學生提出問題并分享解題思路，培養學生的合作能力和批判性思維。

3.實踐法：設計實際例題，讓學生動手計算，加深對公式的理解和應用。

教學手段：

1.多媒體輔助教學：利用PPT展示公式推導步驟和典型例題，提高課堂視覺效果。

2.網絡資源整合：引入在線數學工具和軟件，讓學生通過互動式學習加深對公式的理解。

3.課堂練習反饋：利用電子設備收集學生練習情況，實時反饋教學效果，調整教學策略。教學流程1.導入新課（用時5分鐘）

-教師首先回顧上節課學習的正弦和余弦函數的基本性質，引導學生思考如何運用這些性質來解決更復雜的三角問題。

-展示一個實際問題，如測量兩棵樹之間的距離，已知從地面到一棵樹的仰角和另一棵樹的俯角，要求計算兩棵樹之間的水平距離。

-提問學生如何利用已知的三角函數知識來解決這個問題，激發學生對新知識的學習興趣。

2.新課講授（用時15分鐘）

-教師講解兩角差的余弦公式的基本形式和推導過程，通過幾何圖形和公式變換幫助學生理解公式的來源。

-舉例說明公式的應用，如計算兩個角度之差的余弦值，以及如何使用公式簡化三角函數的表達式。

-通過動畫或動態圖形展示公式的幾何意義，幫助學生直觀理解兩角差的余弦公式。

3.實踐活動（用時10分鐘）

-分發練習題，讓學生獨立完成，題目包括直接使用公式計算和推導公式。

-學生在練習過程中，教師巡視指導，解答學生提出的問題。

-選擇幾組學生的答案進行展示和討論，讓學生學會如何檢查自己的計算過程。

4.學生小組討論（用時10分鐘）

-學生分組討論以下三個問題：

1.如何判斷何時使用兩角差的余弦公式？

-例如：討論在什么情況下，使用兩角差的余弦公式比直接計算更簡便。

2.公式在解決實際問題中的應用實例。

-例如：討論如何用公式解決測量問題，如計算兩車之間的相對速度。

3.公式與其他三角恒等式的關系。

-例如：討論兩角差的余弦公式與和差化積公式的聯系。

5.總結回顧（用時5分鐘）

-教師引導學生回顧本節課所學內容，強調兩角差的余弦公式的重要性。

-提出一些思考題，如公式的逆過程是什么，如何運用公式進行三角函數的周期性分析。

-學生分享討論中的心得體會，教師進行總結和補充。知識點梳理1.兩角差的余弦公式

-公式形式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

-推導過程：通過構建直角三角形，利用三角函數的定義和角度的關系進行推導。

-應用：用于計算兩個角度之差的余弦值，簡化三角函數的表達式，解決實際問題。

2.兩角差的正弦公式

-公式形式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

-推導過程：與余弦公式類似，通過構建直角三角形，利用三角函數的定義和角度的關系進行推導。

-應用：用于計算兩個角度之差的正弦值，簡化三角函數的表達式，解決實際問題。

3.兩角差的正切公式

-公式形式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

-推導過程：與正弦和余弦公式類似，通過構建直角三角形，利用三角函數的定義和角度的關系進行推導。

-應用：用于計算兩個角度之差的正切值，簡化三角函數的表達式，解決實際問題。

4.兩角差的余割公式

-公式形式：sec(α-β)=1/cos(α-β)

-推導過程：基于余弦公式，利用余弦的倒數性質進行推導。

-應用：用于計算兩個角度之差的余割值，簡化三角函數的表達式，解決實際問題。

5.兩角差的正割公式

-公式形式：csc(α-β)=1/sin(α-β)

-推導過程：基于正弦公式，利用正弦的倒數性質進行推導。

-應用：用于計算兩個角度之差的正割值，簡化三角函數的表達式，解決實際問題。

6.兩角差的余切公式

-公式形式：cot(α-β)=1/tan(α-β)

-推導過程：基于正切公式，利用正切的倒數性質進行推導。

-應用：用于計算兩個角度之差的余切值，簡化三角函數的表達式，解決實際問題。

7.公式的應用

-簡化三角函數表達式：通過應用兩角差的公式，可以將復雜的三角函數表達式簡化為更簡單的形式。

-解三角方程：在解三角方程時，可以運用兩角差的公式將方程轉化為更易解的形式。

-解決實際問題：在幾何、物理等領域，兩角差的公式可以用于解決涉及角度差的實際問題。

8.公式的證明

-幾何證明：通過構建直角三角形，利用三角函數的定義和角度的關系進行證明。

-代數證明：通過三角函數的和差化積公式和恒等式進行證明。

9.注意事項

-正確記憶公式：兩角差的公式需要正確記憶，避免混淆。

-公式的適用范圍：了解公式的適用范圍，避免錯誤使用。

-計算精度：在計算過程中注意精度，避免因四舍五入導致結果不準確。教學反思與改進這節課下來，我對兩角差的余弦公式這一部分的教學進行了一些反思。首先，我想說的是，課堂的整體氛圍還是不錯的，學生們對新的知識表現出了較高的興趣，這也是讓我感到欣慰的地方。但是，在教學過程中，我也發現了一些問題，需要我在今后的教學中加以改進。

首先，我覺得在導入新課的時候，我可以更加注重學生的已有知識基礎。我發現，有些學生在對兩角差的余弦公式進行推導和理解時，還是有些吃力的。這可能是因為他們在初中階段對三角函數的理解不夠深入，或者是記憶不夠牢固。所以，我打算在今后的教學中，花更多的時間幫助學生鞏固和復習相關的三角函數知識，比如正弦、余弦、正切的定義和性質，這樣可以為學習兩角差的公式打下更堅實的基礎。

其次，我發現有些學生在實踐活動中的參與度不高。雖然我設計了不同的練習題，但似乎沒有激發起所有學生的積極性。有的學生只是簡單地完成作業，沒有深入思考和探索。我認為，可能是因為練習題的設計不夠多樣化，或者是難度過大，讓學生感到無從下手。因此，我計劃在未來的教學中，根據學生的不同水平和興趣，設計更多樣化、更具挑戰性的練習題，同時也會嘗試引入一些與生活實際相關的例子，讓學生感受到數學的實用性和趣味性。

再次，我在學生小組討論環節發現，有些學生雖然能回答出問題，但答案缺乏深度和邏輯性。這可能是因為他們缺乏獨立思考和表達的能力。為了改善這一點，我打算在今后的教學中，更加注重培養學生的批判性思維和表達技巧。比如，可以讓學生在討論前先獨立思考，然后鼓勵他們在小組內進行充分的交流，最后選取代表進行全班分享，這樣可以提高學生的參與度和表達效果。

最后，我覺得在教學過程中，我應該更加關注學生的學習效果。雖然我在課堂上進行了提問和互動，但似乎還不足以全面了解學生對知識的掌握情況。因此，我計劃在今后的教學中，增加一些形式多樣的評估方式，比如課堂小測驗、課后作業、小組展示等，以便更準確地把握學生的學習進度和難點。課后作業1.計算題

-題目：已知cos(α-β)=0.8，sinα=0.6，求sinβ的值。

-解答：由cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，得0.8=0.6cosβ+0.8sinβsinβ。

解得sinβ=0.4。

2.應用題

-題目：在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，求∠C的正切值。

-解答：∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°。

tanC=tan(105°)=tan(60°+45°)=(tan60°+tan45°)/(1-tan60°tan45°)=(√3+1)/(1-√3)。

3.推導題

-題目：已知cos(α-β)=1/2，sinα=1/2，求cosβ的值。

-解答：由cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，得1/2=1/2cosβ+1/2sinβsinβ。

解得cosβ=1/2。

4.綜合題

-題目：在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，AB=5cm，求BC的長度。

-解答：由∠A=60°，∠B=30°，得∠C=180°-60°-30°=90°。

在直角三角形ABC中，sinA=BC/AB，得BC=AB*sinA=5cm*(√3/2)=5√3/2cm。

5.創新題

-題目：已知cos(α-β)=1/3，且α和β都是銳角，求α和β的度數。

-解答：由cos(α-β)=1/3，且α和β都是銳角，可以推斷出α-β的取值范圍在(0°,90°)之間。

在這個范圍內，cos(α-β)=1/3對應的α-β的值可以通過查表或計算得出，這里假設α-β≈70.53°。

因為α和β都是銳角，我們可以通過試錯法或利用反三角函數求解α和β的具體值。例如，假設α=40°，則β=α-70.53°≈69.47°；

假設α=70°，則β=α-70.53°≈69.47°。因此，α和β的度數大約為40°和69.47°。課堂小結，當堂檢測課堂小結：

今天我們學習了三角恒等變換中的兩角差的余弦公式。首先，我們回顧了三角函數的基本性質，包括正弦、余弦和正切的定義和性質。接著，我們通過構建直角三角形，利用三角函數的定義和角度的關系推導出了兩角差的余弦公式。

在課堂講解過程中，我們通過幾何圖形和公式變換，幫助學生理解了公式的來源，并通過具體的例子展示了公式的應用。學生們在實踐活動中積極參與，通過獨立完成練習題，加深了對公式的理解和應用。

在小組討論環節，學生們分享了他們在討論中的心得體會，我們討論了如何判斷何時使用兩角差的余弦公式，以及公式在解決實際問題中的應用實例。這些討論讓學生們更加深入地理解了公式的實際意義。

現在，讓我們來做一個簡單的課堂小結：

1.兩角差的余弦公式的基本形式和推導過程。

2.公式的應用，包括計算兩個角度之差的余弦值，以及如何使用公式簡化三角函數的表達式。

3.公式在解決實際問題中的應用，如測量問題、解三角方程等。

當堂檢測：

為了檢測學生對本節課內容的掌握情況，我們將進行以下幾道題目的檢測：

1.已知cos(α-β)=0.6