專題6.3向量的數量積【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1向量數量積的計算】 3【題型2求投影向量】 4【題型3向量夾角（夾角余弦值）的計算】 6【題型4垂直關系的向量表示】 7【題型5求向量的模】 9【題型6已知模求參數】 11【題型7向量數量積的幾何應用】 13【知識點1向量的數量積】1．向量的數量積(1)向量數量積的物理背景在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力的作用下產生位移，那么力所做的功W=||||，其中是與的夾角.

我們知道力和位移都是矢量，而功是一個標量(數量).這說明兩個矢量也可以進行運算，并且這個運算明顯不同于向量的數乘運算，因為數乘運算的結果是一個向量，而這個運算的結果是數量.(2)向量的夾角已知兩個非零向量,，如圖所示，O是平面上的任意一點，作=，=，則∠AOB=(0≤≤π)叫做向量與的夾角，也常用表示.(3)兩個向量數量積的定義已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數量||||叫做向量與的數量積(或內積)，記作，即=||||.

規定：零向量與任一向量的數量積為0，即0=0.(4)向量的投影如圖，設，是兩個非零向量，=，=，我們考慮如下的變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量數量積的性質和運算律(1)向量數量積的性質設，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則

①==.

②=0.

③當與同向時，=；當與反向時，=-.

特別地，==或=.

④|a|，當且僅當向量，共線，即∥時，等號成立.

⑤=.(2)向量數量積的運算律由向量數量積的定義，可以發現下列運算律成立：

對于向量，，和實數，有

①交換律：=；

②數乘結合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.3．向量數量積的常用結論(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，當且僅當與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等號成立.

以上結論可作為公式使用.4．向量數量積的兩大應用(1)夾角與垂直根據平面向量數量積的性質：若，為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數量積可以用來解決有關角度、垂直問題.(2)向量的模的求解方法：①公式法：利用及，把向量的模的運算轉化為數量積運算；②幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【題型1向量數量積的計算】【例1】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）向量a，b滿足a=2，b=4，向量a與b的夾角為2π3，則a?a+b=（

）A．0 B．8 C．4+43 D．【解答過程】由條件根據數量積的定義求a?b，再結合數量積的運算律求【解答過程】因為a=2，b=4，向量a與b的夾角為所以a?所以a?故選：A.【變式1-1】（23-24高一下·河南周口·階段練習）設向量a，b的夾角的余弦值為?13，a=2，b=3，則A．-23 B．23 C．-27 D．27【解答過程】由數量積的定義以及運算律直接計算即可求解.【解答過程】設a與b的夾角為θ，則cosθ=?又a=2，b=3，所以所以2a故選：B.【變式1-2】（23-24高一下·河南漯河·期末）已知向量a，b滿足a=1，b=3，且a與b夾角的余弦值為13，則aA．?13 B．?28 C．23 D．13【解答過程】根據向量的數量積運算律運算即可.【解答過程】由題得a?所以a+2故選：A.【變式1-3】（23-24高一下·江蘇連云港·期末）已知點A，B，C均位于單位圓（圓心為O，半徑為1）上，且AB=2,ABA．2 B．3 C．2+1 D．【解答過程】設O為圓心，由|AB|=2，可得OB·OA【解答過程】設O為圓心，則|OA|=|OB所以AB2=(所以AB=AB因為cosAB,OC故選：C.【題型2求投影向量】【例2】（23-24高一下·河南漯河·階段練習）已知a=23b，且滿足a,b=5πA．b B．?b C．3b 【解答過程】運用投影向量的概念，結合數量積運算計算即可.【解答過程】因為|a|=23所以a在b上的投影向量為|a故選：D.【變式2-1】（23-24高一下·江蘇·階段練習）在矩形ABCD中，AB=6,AD=4，E為BC的中點，則向量AE在向量AC上的投影向量是（

）A．1113AC B．1213AC C．【解答過程】以AB,AD為基底向量表示【解答過程】由題意可知：AB=6，AD=4，且AC=則AC?AC2所以向量AE在向量AC上的投影向量是AC?故選：A.【變式2-2】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量a，b滿足a=b=2，且a+b=10A．14 B．14b C．1【解答過程】根據已知條件利用模的平方求出數量積，再結合投影向量的定義即可求解.【解答過程】由已知a=b=2則a2解得a?故a在b上的投影向量是a?bb故選：B.【變式2-3】（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量a=3,b=5，設a與b的夾角為60°，則b在A．?536a B．536【解答過程】直接利用投影向量的計算公式進行計算即可.【解答過程】由題意知，b在a上的投影向量為：b→故選：C.【題型3\o"向量夾角的計算"\t"/gzsx/zj168400/_blank"向量夾角（夾角余弦值）的計算】【例3】（23-24高一下·四川眉山·期末）向量a，b滿足a=3，b=1，a?2b=1，則向量A．π6 B．π3 C．2π【解答過程】根據平面向量數量積的定義和數量積的運算律求解即可.【解答過程】由a?2b=1兩邊平方得a所以cosa,b=3故選：A.【變式3-1】（23-24高一下·河南新鄉·期末）已知平面向量a，b滿足a=1，b=2，且2a?bA．12 B．14 C．16【解答過程】對2a?b【解答過程】因為2a因為a=1，b所以a?b=故選：D.【變式3-2】（23-24高一下·福建龍巖·階段練習）已知e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，設向量a=2e1+e2，A．13π B．16π C．【解答過程】計算出a?b=?72，a【解答過程】a=?6+1其中a2=2b2=?3所以cosa所以a與b夾角為23故選：C.【變式3-3】（23-24高一下·湖北·期末）已知單位向量a，b互相垂直，若存在實數t，使得a+1?tb與1?ta+b的夾角為A．?1±22 B．?1±2 C．?1±【解答過程】根據向量數量積的運算律和定義，列等式，即可求解.【解答過程】因為a=1?t+1?t=2?2t，a+1?tb又a+1?tb與1?t所以2?2t=1+1?t2解得：t=?1±3故選：D.【題型4\o"垂直關系的向量表示"\t"/gzsx/zj168400/_blank"垂直關系的向量表示】【例4】（23-24高一下·山東·期中）已知非零向量a，b滿足|a|=3|b|，cosa,bA．?3 B．?13 C．?2 【解答過程】利用平面向量數量積公式計算即可.【解答過程】由題意知b?(k由|a|=3|b故選：D.【變式4-1】（23-24高一下·陜西渭南·期末）在四邊形ABCD中，若AB=DC，且AB?A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰形【解答過程】由AB=DC，可得AB∥DC，AB=DC，再由AB?【解答過程】因為四邊形ABCD中，AB=所以AB∥DC，AB=DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形，因為AB?AD=0，所以AB所以四邊形ABCD為矩形.故選：B.【變式4-2】（23-24高一下·山西運城·階段練習）已知向量a，b滿足|a|=2，|b(1)求a在b上的投影向量；(2)若向量2a?λb與λ【解答過程】（1）求出a?（2）利用垂直關系的向量表示，結合數量積的運算律求解即得.【解答過程】（1）a?所以a在b上的投影向量為a?（2）由向量2a?λb與λ整理得2λa2+(2?所以λ=?2±【變式4-3】（23-24高一下·云南·階段練習）如圖，在△ABC中，AD=13DB，點E,F分別是AC,BC(1)用a,b表示(2)如果∠A=60°,AB=2AC【解答過程】（1）根據AD=（2）根據平面向量數量積運算計算CD?【解答過程】（1）如圖，由AD=13DB又點E，F分別是AC，BC的中點，則CD=EF=（2）由∠A=60°，AB=2AC，可得則CD?=|故CD⊥EF．【題型5求向量的?！俊纠?】（23-24高一下·河南開封·期末）已知a=3，b=4，且a與b的夾角θ=2π3A．13 B．13 C．37 D．37【解答過程】根據數量積的定義求出a?b，再由【解答過程】因為a=3，b=4，且a與b的夾角所以a?所以a?故選：D.【變式5-1】（23-24高一下·福建寧德·期末）若平面向量a,b,c兩兩的夾角相等，|aA．3 B．6 C．3或6 D．3或6【解答過程】依題意可得，a→,b→,【解答過程】因為平面向量a→所以平面向量a→,b→,又因為a當夾角為0°時，即向量a→,當夾角為120°時，即aa→c→則a→綜上所述，a→+b→+故選：C.【變式5-2】（23-24高一下·山東濰坊·期末）在△ABC中，AC=1，BC=2，CA?CB=1，CD=2tCA+1?tA．2 B．3 C．32 【解答過程】先求CD2，利用向量的運算法則展開后，可以轉化為關于t【解答過程】因為CD所以CD又因為AC=1，BC=2，CA?所以CA所以CD當t=12時，CDmin故選：B.【變式5-3】（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）已知向量a，b的夾角為2π3，a=1，b=2，在△ABC中，AB=2a+3b，A．2 B．22 C．23【解答過程】首先由數量積的定義求出a?b，再由平面向量線性運算法則得到AD=2【解答過程】因為向量a，b的夾角為2π3，a=1所以a?又因為AD=1所以AD=4×故選：A.【題型6已知模求參數】【例6】（2024高三·全國·專題練習）若單位向量e1，e2的夾角為π3，向量a=e1+λe2A．12 B．－C．34 D．－【解答過程】根據a2=e【解答過程】由題意可得：e1a2化簡得λ2+λ+1故選：B.【變式6-1】（2024·四川成都·模擬預測）已知平面向量|a|=2，|b|=1，a,b的夾角為60°A．?1 B．1 C．12 D．【解答過程】對a+t【解答過程】因為a+tb=即4+2×2×cos60°故選：A.【變式6-2】（2024高三·全國·專題練習）已知a，b都是單位向量，若a?12b與b垂直，且a+A．1 B．2 C．2 D．3【解答過程】先由題意結合向量垂直的表示得a?b=【解答過程】由于a?12所以a?12b?又由a+b=k即2+1=k22?1，故k2=3所以k的值為3.故選：D.【變式6-3】（23-24高一·安徽·期末）設非零向量a,b的夾角為θ，若a=2b，且不等式2a+bA．?1,3 B．?1,5 C．?7,3 D．5,7【解答過程】根據題先利用平面向量的數量積的運算法則進行轉化為(13?λ【解答過程】由題意，非零向量a,b的夾角為θ，且則a?不等式2a+b所以(2a+b整理得(13?λ因為cosθ∈?1,1，所以13?λ2+8?4λ≥0即實數λ的取值范圍為?1,3.故選：A.【題型7向量數量積的幾何應用】【例7】（2024高三·全國·專題練習）已知正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為該正六邊形的中心，圓O的半徑為2，圓O的直徑MN∥CD，點P在正六邊形的邊上運動，則PM?PN的最小值為（A．5 B．6 C．7 D．8【解答過程】根據PM?PN=【解答過程】如圖所示，由正六邊形的幾何性質可知，△OAB，△OBC，△OCD，△ODE，△OEF，△OFA均是邊長為4的等邊三角形，當點P位于正六邊形ABCDEF的頂點時，PO取最大值4，當點P為正六邊形各邊的中點時，PO取最小值，即POmin所以PO∈所以PM?即PM?故選：D.【變式7-1】（23-24高一下·重慶·期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點P在以AB為直徑的半圓上（正方形ABCD內部，含邊界），則PC?PD的取值范圍為（A．0,2 B．0,4 C．0,3 D．0,1【解答過程】取CD中點E，連接PE，求出PE的取值范圍，再根據PC?【解答過程】取CD中點E，連接PE，因為ABCD是邊長為2的正方形，動點P在以AB為直徑的半圓上，所以當P在A點或B點時，PE取得最大值5，當P在弧AB中點時，PE取得最小值1，PE的取值范圍為1,5又因為PC?PD=PE+所以PC=PE因為PE的取值范圍為1,5所以PE2的取值范圍為1,5，PC?PD故選：B.【變式7-2】（23-24高一下·遼寧朝陽·期中）在△ABC中，CA=2，AB=3，∠BAC=2π3，D為BC(1)求AD?(2)若點P滿足CP=λCA，求PB?【解答過程】（1）將AD?BC化為AB和AC表示，利用AB和（2）用AB、AC表示PB?PC，求出PB?【解答過程】（1）因為D為BC的三等分點（靠近C點），所以CD=所