專題16二次函數與動點綜合問題

方法揭秘,

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二次函數與動點問題的背景是特殊圖形,考查問題也是二次函數的有個性質和特殊圖形的性質，體現

的數學思想方法主要是數形結合思想和分類討論思想，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別

要關注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置.)

動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或三角函數、線段或面積的最值.

解決“動點型問題”的關鍵是動中求靜，靈活運用“動中求靜”，找到并運用不變的數、不變的量、

不變的關系，建立函數關系及綜合應用代數、幾何知識解決問題.根據題意靈活運用特殊三角形和四邊形

的相關性質、判定、定理知識確定二次函數關系式，通過二次函數解析式或函數圖象判定“動點型問題”

涉及的線與線關系、特殊三角形、四邊形及相應的周長、面積，還有存在、最值等問題.

典例剖析.

【例1】(2022?本溪二模)如圖，拋物線y=-芻＜：2+法+。經過A(3,。)，C(-1,0)兩點，與y軸交于點8.

-3

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點M是線段A3上方拋物線上一動點，以為邊作平行四邊形A8M。，連接OM,若將

平行四邊形的面積分成為1：7的兩部分，求點M的橫坐標；

(3)如圖2,點尸從點8出發，以每秒1個單位長度的速度沿勻速運動，同時點。從點A出發，以

每秒1個單位長度的速度沿A-。-8勻速運動，當點尸到達點A時，P、。同時停止運動，設點P運動

的時間為/秒，點G在坐標平面內，使以8、P、。、G為頂點的四邊形是菱形，直接寫出所有符合條件

的“直.

【例2】(2022?沈北新區二模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線〉=0?+區+6(#0)交x軸于A、B

兩點，交y軸于點C,MOA=OC=3OB,連接AC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)動點P和動點。同時出發，點P從點C以每秒2個單位長度的速度沿CA運動到點A,點Q從點O

以每秒1個單位長度的速度沿OC運動到點C,連接PQ,當點P到達點A時，點。停止運動，求S&CPQ

的最大值及此時點P的坐標；

(3)點〃是拋物線上一點，是否存在點使得/ACM=15°?若存在，請直接寫出點M的坐標；若不

存在，請說明理由.

【例3】(2022?三亞模擬)如圖1,拋物線y=-/+6x+c與x軸正半軸、y軸分別交于A(3,0)、8(0,3)兩點，

點P為拋物線的頂點，連接AB、BP.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求NP8A的度數；

(3)如圖2,點M從點。出發，沿著OA的方向以1個單位/秒的速度向A勻速運動，同時點N從點A出

發，沿著A8的方向以圾個單位/秒的速度向B勻速運動，設運動時間為f秒，軸交于點E,

NFLx軸交拋物線于點尸，連接MN、EF.

①當時，求點尸的坐標；

②在M、N運動的過程中，存在t使得△BNP與相似，請直接寫出f的值.

【例4】(2021?長沙模擬)在一個三角形中，如果其中某兩邊的長度之和等于第三邊長度的兩倍，則稱該三角

形為“調和三角形”例如我們學過的等邊三角形就是“調和三角形”.

(1)已知一個“調和二角形”二條邊的長度分別為4,6,777-1,求機的值.

(2)已知Rt^ABC是“調和三角形”，它的三邊長分別為a,b,c,且a<b<c.

①求a：b：c的值；

②若AABC周長的數值與面積的數值相等，求m6,c的值.

(3)在(2)的條件下，動點尸從點A出發以每秒2個單位c長度的速度沿路線A-B-C運動，動點。從點

C出發以每秒1個單位長度的速度向點A運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運

動時間為/秒，設尸PQ2.

①求y關于r的函數關系式；

②求y的最小值.

滿分訓練“

1.(2021?遵化市模擬)如圖，關于x的二次函數y=/+foc+c的圖象與無軸交于點4(1,0)和點2,與y軸交

于點C(0,3),拋物線的對稱軸與無軸交于點。.

(1)求二次函數的表達式；

(2)在y軸上是否存在一點尸，使△P2C為等腰三角形？若存在.請求出點P的坐標；

(3)有一個點M從點A出發，以每秒1個單位的速度在AB上向點2運動，另一個點N從點。與點M同

時出發，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動,

問點M、N運動到何處時，△A/NB面積最大，試求出最大面積.

2.(2020?市中區一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+a+4經過A(-3,0)、8(4,0)兩點，且

與y軸交于點C,D(4-4、,巧，0).動點P從點A出發，沿線段以每秒1個單位長度的速度向點B移

動，同時動點。從點C出發，沿線段CA以某一速度向點A移動.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若經過f秒的移動，線段被CD垂直平分，求此時f的值；

(3)在第一象限的拋物線上取一點G,使得SAGCB=SAGO4,再在拋物線上找點E(不與點A、B、C重合),

使得NGBE=45°,求E點的坐標.

3.(2020?項城市三模)如圖，拋物線y=ax2+bx吟■(a7^:0)經過4-3,0),C(5,0)兩點，點2為拋物線

頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)動點P從點B出發，沿線段BD向終點D作勻速運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t,過

點尸作交2C于點M,以尸M為正方形的一邊，向上作正方形PMAQ,邊QN交BC于點R,

延長交AC于點E.

①當/為何值時，點N落在拋物線上；

②在點P運動過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形ECR。為平行四邊形？若存在，求出此時刻的f

值；若不存在，請說明理由.

4.(2018?泉山區三模)在平面直角坐標系尤0y中，拋物線丫=0?+次+4經過4(-3,0)、8(4,0)兩點，且與

y軸交于點C,點。在x軸的負半軸上，且BO=BC,有一動點P從點A出發，沿線段AB以每秒1個單

位長度的速度向點B移動，同時另一個動點。從點C出發，沿線段C4以某一速度向點A移動.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若經過/秒的移動，線段P。被CD垂直平分，求此時f的值；

(3)該拋物線的對稱軸上是否存在一點使MQ+MA的值最小？若存在，求出點〃的坐標；若不存在，

請說明理由.

5.(2018?揚州)如圖1,四邊形042C是矩形，點A的坐標為(3,0),點C的坐標為(0,6),點P從點。出

發，沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A運動，同時點。從點A出發，沿以每秒2個單位長度

的速度向點2運動，當點尸與點A重合時運動停止.設運動時間為r秒.

(1)當t=2時，線段PQ的中點坐標為；

(2)當△C8。與△B4。相似時，求t的值；

⑶當t=l時，拋物線y=/+6x+c經過P,。兩點，與y軸交于點拋物線的頂點為K,如圖2所示,

問該拋物線上是否存在點。，使若存在，求出所有滿足條件的D的坐標;若不存在,

2

6.(2019?蘭州)二次函數y=a,+Z?+2的圖象交無軸于點(-1,0),2(4,0)兩點，交y軸于點C.動點M從

點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿A8方向運動，過點M作MNLx軸交直線8C于點N,交拋物

線于點D連接AC,設運動的時間為/秒.

⑴求二次函數》=。/+6無+2的表達式；

(2)連接2D,當f=3時，求△DA?的面積；

2

(3)在直線上存在一點P,當△PBC是以/8PC為直角的等腰直角三角形時，求此時點。的坐標；

(4)當片巨時，在直線MN上存在一點。，使得NAQC+NO4c=90°,求點。的坐標.

4

7.(2019?鄂州)如圖，已知拋物線y=-/+fcv+c與尤軸交于A、B兩點，AB=4,交y軸于點C,對稱軸是

直線X—1.

(1)求拋物線的解析式及點C的坐標；

(2)連接BC,E是線段OC上一點，E關于直線x=l的對稱點F正好落在8c上，求點尸的坐標；

(3)動點M從點。出發，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，過M作x軸的垂線交拋物線于點N,

交線段BC于點Q.設運動時間為您＞0)秒.

①若△AOC與△8MN相似，請直接寫出t的值；

②△B。。能否為等腰三角形？若能，求出/的值；若不能，請說明理由.

8.(2019?樂山)如圖，已知拋物線y=a(尤+2)(x-6)與x軸相交于A、8兩點，與y軸交于C點，HtanZCAB

=3.設拋物線的頂點為M,對稱軸交x軸于點M

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)P為拋物線的對稱軸上一點，。(%0)為x軸上一點，且PQJ_PC.

①當點尸在線段朋N(含端點)上運動時，求”的變化范圍；

②在①的條件下，當“取最大值時，求點尸到線段C。的距離；

③在①的條件下，當〃取最大值時，將線段CQ向上平移f個單位長度，使得線段CQ與拋物線有兩個交

點，求f的取值范圍.

9.(2019?西寧)如圖①，直線y=-逐刀+2正與x軸，y軸分別交于A,8兩點，以A為頂點的拋物線經過

點8,點尸是拋物線上一點，連接OP,AP.

JT

圖①圖②

(1)求拋物線的解析式；

(2)若AAOP的面積是3?,求尸點坐標；

(3)如圖②，動點M,N同時從點0出發，點〃以1個單位長度/秒的速度沿x軸正半軸方向勻速運動，

點N以個單位長度/秒的速度沿y軸正半軸方向勻速運動，當其中一個動點停止運動時，另一個動點

也隨之停止運動，過點N作人萬〃彳軸交直線A8于點E.若設運動時間為/秒，是否存在某一時刻，使

四邊形AMVE是菱形？若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由.

10.(2019?沈陽)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=0?+a+2(°#0)與x軸交于A,8兩點(點A在點B

的左側)，與y軸交于點C,拋物線經過點。(-2,-3)和點E(3,2),點尸是第一象限拋物線上的一個動

(1)求直線DE和拋物線的表達式；

⑵在y軸上取點F(0,1),連接PRPB,當四邊形。3P尸的面積是7時，求點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，當點P在拋物線對稱軸的右側時，直線OE上存在兩點M,N(點M在點N的上方),

且MN=2如,動點。從點P出發，沿的路線運動到終點A,當點Q的運動路程最短時,

請直接寫出此時點N的坐標.

11.(2019?湖州汝口圖1,已知在平面直角坐標系xOy中，四邊形0ABe是矩形，點A,C分另I」在x軸和y軸

的正半軸上，連接AC,。4=3,tan/OAC=1,。是的中點.

3

⑴求OC的長和點D的坐標;

(2)如圖2,M是線段OC上的點，OM=Zoc,點尸是線段0M上的一個動點，經過P,D,B三點的拋

3

物線交無軸的正半軸于點E,連接。￡交于點?

①將△Q8/沿DE所在的直線翻折，若點B恰好落在AC上，求此時BF的長和點E的坐標；

②以線段。尸為邊，在。P所在直線的右上方作等邊△。/G,當動點P從點。運動到點M時，點G也隨

之運動，請直接寫出點G運動路徑的長.

12.(2021?高明區校級模擬)在平面直角坐標系中，RtAABC,ZACB=90°,A8〃x軸，如圖1,C(l,0),

且OC：OA=AC：BC=1：2.

(1)A點坐標為,B點坐標為；

(2)求過A、B、C三點的拋物線表達式；

(3)如圖2,拋物線對稱軸與AB交于點。，現有一點尸從點A出發，以每秒1個單位的速度在AB上向點

B運動,另一點。從點D與點尸同時出發，以每秒5個單位在拋物線對稱軸上運動.當點P到達8點時，

13.(2020?香洲區校級一模)如圖1,矩形028的邊OD,分別在x軸和y軸上,且2(0,8),0(10,0).點

E是DC邊上一點，將矩形OBCD沿過點。的射線0E折疊，使點。恰好落在BC邊上的點A處.

(1)若拋物線y=a/+fcv經過點A,D,求此拋物線的解析式；

(2)若點M是(1)中的拋物線對稱軸上的一點，點N是坐標平面內一點，是否存在M,N使以A,M,N,

E為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由；

(3)如圖2,動點P從點。出發沿x軸正方向以每秒1個單位的速度向終點。運動，動點。從點。出發

沿折線。-C-A以同樣的速度運動，兩點同時出發，當一點運動到終點時，另一點也隨之停止，過動點

尸作直線軸，依次交射線04OE于點F,G,設運動時間為小秒)，△QFG的面積為S,求S與/

的函數關系式，并直接寫出/的取值范圍.(f的取值應保證△OFG的存在)

14.(2020?南充一模)如圖，拋物線y=-L(x+l)(x-〃)與無軸交于A,B兩點(點A在點8左側)，與y軸交

2

于點C,△ABC的面積為5.動點P從點A出發沿43方向以每秒1個單位的速度向點2運動，過P作

PN_Lx軸交8C于交拋物線于N.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當M在線段2C上，MN最大時，求運動的時間;

(3)經過多長時間，點N到點8、點C的距離相等？

15.(2020?潮南區模擬)如圖，關于x的二次函數y=/+6無+c的圖象與％軸交于點4(1,0)和點2,與y軸交

于點C(0,3),拋物線的對稱軸與無軸交于點。.

(1)求二次函數的解析式.

(2)有一個點M從點A出發，以每秒1個單位的速度在A8上向點8運動，另一個點N從點。與點M同

時出發，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，

問點M、N運動到何處時，△MN8面積最大，試求出最大面積.

(3)在y軸上是否存在一點尸，使△P8C為等腰三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐標，若不存在請說

明理由.

16.(2020?潮州模擬)如圖1,已知拋物線y=L：2+bx+c與x軸交于A、8兩點(點A在點8的左側)，與y軸

2

交于點C,且02=204=4.

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)設尸是(1)中拋物線上的一個動點，當直線0C平分NACP時，求點P的坐標；

(3)如圖2,點G是線段AC的中點，動點E從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點2運動，動

點F從點B出發，以每秒加個單位長度的速度向終點C運動，若E、F兩點同時出發，運動時間為t

秒.則當f為何值時，△EFG的面積是△ABC的面積的工？

17.(2021?饒平縣校級模擬)如圖，拋物線y=/+bx+c過點A(3,0),8(1,0),交y軸于點C,點尸是該拋

物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動(點P不與A重合)，過點P作尸。〃y軸交直線AC于點

D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；

⑶△APD能否構成直角三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點尸坐標；若不能，請說明理由.

18.(2020?山西模擬)綜合與實踐

如圖，拋物線y=3/一旦x-3與％軸交于點42(點A在點2的左側)，交y軸于點C.點。從點A出

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發以每秒1個單位長度的速度向點8運動，點E同時從點B出發以相同的速度向點C運動，設運動的時

間為/秒.

(1)求點A,B,C的坐標;

(2)求t為何值時，ABDE是等腰三角形;

(3)在點。和點E的運動過程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出

f的值；若不存在，請說明理由.

19.(2020?雁塔區校級模擬)將拋物線Ci：y=-/+3沿x軸翻折，得拋物線C2.

(1)請求出拋物線C2的表達式；

(2)現將拋物線Ci向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為與x軸的交點從左到右

依次為A、B；將拋物線C2向右也平移，"個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N,與x軸交點

從左到右依次為。、E.在平移過程中，是否存在以點A,N,E,M為頂點的四邊形是矩形的情形？若

存在，請求出此時，〃的值；若不存在，請說明理由.

20.(2020?清江浦區模擬)如圖1,矩形的邊。OB分別在無軸和y軸上，且8(0,8),0(10,0).點

E是。C邊上一點，將矩形OBCD沿過點。的射線OE折疊，使點。恰好落在BC邊上的點A處.

(1)若拋物線y=—+6x經過點A,D,求此拋物線的解析式；

(2)若點M是(1)中拋物線對稱軸上的一點，是否存在點使為等腰三角形？若存在，直接寫出

點M的坐標；若不存在，說明理由；

(3)如圖2,動點尸從點。出發沿龍軸正方向以每秒1個單位的速度向終點。運動，動點。從點。出發

沿折線Q-C-A以同樣的速度運動，兩點同時出發，當一點運動到終點時，另一點也隨之停止，過動點

尸作直線軸，依次交射線。4,0E于點F,G,設運動時間為"秒)，△。/G的面積為S,求S與r

的函數關系式，并直接寫出/的取值范