第3章圓單元檢測能力提升卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.如圖，△ABC的頂點A、B、C均在。。上，若/ABC=25°,則/AOC的大小是（）

A.25°B.50°C.65°D.75°

2.下列說法中正確的是（）

A.所對圓心角相等的兩條弧是等弧

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等

D.經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸

3.如圖，A、B、C、。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，若,則這個正多邊形

的邊數為（）

A

A.10B.11C.12D.13

4.如圖，△ABC中，ZA=50°,以AB為直徑的（DO分別與8C,AC交于點。，E,且BD=C。，連接

BE,DE,則/BE。的大小為（）

A.25°B.30°C.35°D.50°

5.如圖，點A在O。上，。。_1弦3c于點。.若/54C=45°,OD=1,則BC=（）

A.V2B.2V2C.2D.M

6.如圖，AB.CD是OO的兩條直徑，點E是弧2。的中點,連接AC、BE,若NACD=20°,JUilZABE

C.50°D.55°

7.如圖，在。。中，弦A8〃CQ,OPLCD,OM=MN,AB=20,CD=16,則。。的半徑為（）

A.4aB.4A/7C.475D.8A/2

8.如圖，AABC內接于O。,AC為直徑，半徑OO〃BC,連接OB,AD.若NA08=a,則/BA。的度

數為（）

A.B.900C.90。——D.1800

9.如圖，四邊形ABC。內接于oo,AE_LC8交CB的延長線于點E,若8A平分AD=6,CE=4,

則AE的長為（）

A

E

c.2V3D.2V5

10.如圖在給定的O。中，弦AB的弦心距。H=6,CD^16,點E在弦CD上，且OE=E￡>=5,當△EA8

面積的為最大時，0H的長為（）

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.在半徑為6的圓中，60°的圓心角所對的弧長為.

12.在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,8c=8,則這個三角形的外接圓的直徑是

13.如圖，在半徑為10。根的。。中，AB=16cm,0C_LA8于點C,則0c等于cm.

14.半徑為3的正六邊形內接于OO,則正六邊形的邊長為.

15.如圖，等腰△ABC內接于O。，A3=AC,點。為劣弧上一點，NADC=60°,若CD=2BD=4,

則四邊形ABDC的面積為.

16.如圖，在半圓。中，直徑AB=8,C,。是半圓上兩點，尸是直徑上一點，若NAOC=48°,ZA0D

=72°,則PC+P。的最小值為

18題每題6分，第19、20題每題8分，第21、22題每題10分，第

23、24題每題12分，共72分)

17.如圖，。。的弦AB,CD相交于點E,且AB=CD,求證：EB=ED.

18.如圖，在平面直角坐標系中，ZVIBC的三個頂點坐標分別為A(-1,3),B(-3,0),C(-1,0),

把△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°后得到△421C.(每個方格的邊長均為1個單位)

(1)畫出△481C并直接寫出:

Ai的坐標為

Bi的坐標為

(2)判斷直線與直線481的位置關系為

19.如圖，△ABC是。。的內接三角形，是O。的直徑，ZABC=60°.

(1)求/CA。的度數;

(2)若。。的半徑為1,求圖中陰影部分的面積.

D

C

20.如圖，。。的直徑A8垂直于弦CD,垂足為E,AE=2,CD=8.

(1)求O。的半徑長；

(2)連接BC,作OP_L8C于點八求。尸的長.

21.如圖，四邊形A3C。內接于一圓，連結AC、BD.

(1)若/D48=60。，ZACB=70°,求/A3。的度數.

(2)若AC為直徑，C為俞的中點，請探究ND4B與/ACB之間的關系.

D

22.如圖，在半圓。中，直徑AB=6,點C在篇上，連接8C,弦8。平分/ABC,連接。Z).

(1)求證：OD〃BC；

(2)連接。C,AD.OC//AD,求8。的長.

23.在△ABC中，AB^AC,以AB為直徑作O。，交BC于點D,交直線AC于點E,連結BE.

小明：根據題意，我畫出了如圖1的情況；

小麗：小明，你的思考不夠全面，我認為還有其他的情況，若NB4C為鈍角，我發現圓與直線AC的交

點在線段CA的延長線上；

小明：哦…我明白了！

(1)在圖1中求證：點。是邊8C的中點；

(2)記NABE的度數為a.求出NC的度數(用a表示).

AE

E

D

圖1圖2

24.已知AB是。。的直徑，點C在。。上，。為弧的中點.

(1)如圖①，連接AC,AD,0D.求證：OD〃AC；

(2)如圖②，過點。作。ELAB交。。于點E,直徑￡尸交AC于點G,若G為AC中點,

①求證：/BOD=45°；

②若。。的半徑為2,求AC的長.

答案與解析

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.如圖，△ABC的頂點A、B、C均在。。上，若/ABC=25°,則/AOC的大小是（）

A.25°B.50°C.65°D.75°

【點撥】利用圓周角定理解決問題即可.

【解析】解：VZAOC^2ZABC,ZABC=25°,

：.ZAOC=50°,

故選：B.

【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是記住在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.

2.下列說法中正確的是（）

A.所對圓心角相等的兩條弧是等弧

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等

D.經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸

【點撥】根據等弧的定義垂徑定理，圓周角定理一一判斷即可.

【解析】解：A.在同圓或等圓中，所對圓心角相等的兩條弧是等弧，故A錯誤，本選項不符合題意；

B.平分弦的直徑垂直于弦，此弦不能是直徑，故3錯誤，本選項不符合題意；

C.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故C錯誤，本選項不符合題意；

D.經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸，故。正確，本選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，軸對稱等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識

解決問題.

3.如圖，A、B、C、。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，若,則這個正多邊形

的邊數為（)

\D

o.

//C

A

A.10B.11C.12D.13

【點撥】連接04OB,根據圓周角定理得到NA03=2NAO3=36°,于是得到結論.

【解析】解：連接。4,OB,

TA、B、。、。為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，

???點A、B、C、。在以點。為圓心，OA為半徑的同一個圓上，

VZADB=18°,

ZAOB=2ZADB=36°,

???這個正多邊形的邊數=氈2二=10,

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關鍵.

4.如圖，ZkABC中，ZA=50°,以AB為直徑的。。分別與5C,AC交于點。，E,且5。=。。，連接

【點撥】連接AD,證明A5=AC,利用三線合一的性質求出NE4O即可解決問題.

【解析】解：連接AD,

￡

BDC

,：AB是直徑，

ZADB=90°,BPAD±BC,

,:BD=DC,

：.AB^AC,

：.ZBAD=^ZBAC=25°,

2

：.ZBED=ZBAD=25°.

故選：A.

【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬

于中考常考題型.

5.如圖，點A在。。上，弦于點D若/BAC=45°,OD=1,則8C=()

A.V2B.2V2C.2D.V3

【點撥】利用圓周角定理得到乙BOC=90°,利用等腰三角形的性質得/OBC=/OCB=45°,再根據

垂徑定理得到8。=。，根據等腰三角形的判定與性質求出從而得到BC的長.

【解析】解：???/JBAC=45°,

NBOC=22X45°=90°,

\'OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=45a,

\'OD±BC,

:.BD=CD,ZBOD=180o-90°-45°=45°=NOBD,

：.BD=OD=2,

：.BC=2BD=2.

故選：C.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半.也考查了垂徑定理.

6.如圖，AB,C。是O。的兩條直徑，點E是弧3。的中點，連接AC、BE,若NAC￡>=20°,貝U/ABE

的度數()

c

A.40°B.44°C.50°D.55°

【點撥】連接05利用圓周角定理求得NAOD=40°,再求得NDOE=/BOE=70°,根據等邊對等

角即可求解.

【解析】解：連接OE如圖所示:

VZACD=20°,

ZAOD=2ZACD=40°,

???點E是弧3。的中點，

?'?ZDOE=ZBOE-1(180°-ZA0D)=70O，

?：OE=OB,

?'?ZABE=ZOEB=y(1800-/BOE)=55°，

故選：D.

【點睛】本題主要考查圓周角定理及等腰三角形的判定和性質,熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

7.如圖，在。。中，弦AB〃C。，OPLCD,OM=MN,AB=20,CD=16,則。。的半徑為（)

A.4A/6B.4A/7c.4泥D.872

【點撥】如圖，連接。4,OC.設。4=OC=r,OM=MNa,構建方程組求出7?即可.

【解析】解：如圖，連接OA,OC.

p

VOPLCDfCD//AB,

：.OPLAB,

:?CN=DN=8,AM=MB=10,

設OA=OC=r,OM=MN=a,

(2_ic212

則有，r-1°a,

r2=82+(2a)2

解得廠=44，

故選：B.

【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程組解決問題.

8.如圖，4ABC內接于O。，AC為直徑，半徑OD〃BC,連接。2,AD.若NAOB=a,則NBA。的度

數為()

A.B.9Q°—5-C.go。—D.180°—

【點撥】由AC為O。的直徑，ZAOB^a,得NC=W,ZBOC=180°-a,由0D〃2C,/DOC=

2

ZC=—,則NBODMNBOC+NDOCMigO。--,所以NA4Z)=工/8。￡>=90°--,于是得到

2224

問題的答案.

【解析】解：：AC為。。的直徑，ZAOB=a,

：.ZC=^ZAOB^—,ZBOC=180°-ZAOB=18Q°-a,

22

?：OD//BC,

：.ZDOC=ZC=—,

ZBOD=ZBOC+ZDOC=180°-a+-￡-=180°-

22

：.ZBAD=^ZBOD=1.(180°-W)=90°-

2224

故選：c.

【點睛】此題重點考查平行線的性質、圓周角定理等知識，證明NDOC=NC=Q_是解題的關鍵.

2

9.如圖，四邊形ABC。內接于o。，AELC2交CB的延長線于點E,若A4平分NOBE,AD=6,CE=4,

則AE的長為()

C.273D.2V5

【點撥】連接AC,根據圓內接四邊形對角互補得到/A8E=NAOC,根據前=標得到/A8r>=NAC￡)

結合角平分線得到即可得到：ZADC=ZACD,從而得到AC=A￡>,結合勾股定理即

可得到答案;

【解析】解：連接AC,

C、---

:四邊形ABC。內接于。。,

ZA￡)C+ZABC=180°,

VZABE+ZABC=18Q°,

：.ZABE=ZADC,

AD=AD，

NABD=/ACD,

平分NZJ8E,

ZABE=ZABD,

：.ZADC=ZACD,

J.AC^AD,

VAEXCB,AD=6,CE=4,

：.AC=6

???AEWAC2-CE2=W^，

故選：D.

【點睛】本題考查勾股定理及圓內接四邊形對角互補，同弧所對的圓周角相等，等角對等邊等知識，掌

握這些知識是解題的關鍵.

10.如圖在給定的O。中，弦的弦心距。H=6,8=16,點E在弦CD上，且。E=E￡>=5,當△EA8

面積的為最大時，OH的長為（）

2753C.6A/6D.2屈

【點撥】過點E作ENLA8于點N,則點E軌跡為以點。為圓心，5為半徑的圓，由EO+OH

NEN,則當點E,O,H三點共線時，EN最大,則面積最大，過點。作X。延長線的垂線，垂

足為點M,過點。作OGLCO于點G,由垂徑定理得DG*；D=8，則GE=GO-ED=3,由勾股定理

得0G=4,顯然△MEQg/XGE。，則MZ)=OG=4,ME=GE=3,故MH=14,在中，由勾

股定理即可求解.

【解析】解：過點E作EN_LAB于點N,如圖,

.?.點E軌跡為以點。為圓心，5為半徑的圓,

■:EO+OH與EN,OH±AB,

如圖：當點E,O,H三點共線時，EN最大,則△EA8面積最大,

過點。作OGLCO于點G,過點。作HO延長線的垂線，垂足為點

?1

??DG《CD=8，

：.GE=GD-ED=3,

OG=V52-32=4'

"JDMLEM,OGLCD,

：.ZM=ZOGE=90°,

;EO=ED,ZMED=ZGEO,

：.△MED”AGE0,

：.MD=OG=4,ME=GE=3,

：.MH^ME+OE+OH^3+5+6=14,

...在RtZYDMH中，由勾股定理得：DH=JFj再石^qN=K廂，

故選：B.

【點睛】本題考查了圓與三角形的綜合題，涉及勾股定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質，難度

較大，解題的關鍵在于確定點E的軌跡以及當點￡,O,H三點共線時，EN最大，則△EAB面積最大.

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.在半徑為6的圓中，60°的圓心角所對的弧長為2TT.

【點撥】直接利用弧長公式計算即可.

【解析】解：/=n-r=60兀X6=21T.

180180

故答案為：2TT.

【點睛】本題考查了弧長的計算，解題的關鍵是牢記弧長的計算公式，難度不大.

12.在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,8C=8,則這個三角形的外接圓的直徑是10.

【點撥】首先根據勾股定理，得其斜邊是5,即可得到答案.

【解析】解：???/C=90°,AC=6,8C=8,

-,-BA=VAC2+BC2=10,

.?.這個三角形的外接圓的直徑為10.

故答案為：10.

【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、勾股定理等知識，解題的關鍵是記住直角三角形的斜邊就是

外接圓的直徑.

13.如圖，在半徑為10c機的。。中，AB^16cm,0C_LA2于點C,則0c等于6cm.

【點撥】連接如圖，先利用垂徑定理得到ACuBCuLgug,然后根據勾股定理計算OC的長.

2

【解析】解：連接04如圖，

VOCXAB,

.'.AC=BC=JLAB=8cm,

2

在RtZ\OAC中，OC=。三嬴^=五正幣=6(cm).

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股

定理.

14.半徑為3的正六邊形內接于OO,則正六邊形的邊長為3.

【點撥】由于正六邊形可以分成六個邊長的正三角形，而正多邊形的半徑即為正三角形的邊長，同時也

是正六邊形ABCDEF的邊長.

【解析】解：：正六邊形ABCOEF內接于。。，。。的半徑為3,

而正六邊形可以分成六個邊長的正三角形，

正多邊形的半徑即為正三角形的邊長，

正三角形的邊長為3,

/.正六邊形ABCDEF的邊長為3,

故答案為：3.

oE------

【點睛】此題主要考查正多邊形的計算問題，屬于常規題，解題關鍵是根據正六邊形可以分成六個邊長

的正三角形解答.

15.如圖，等腰△ABC內接于。0,AB=AC,點O為劣弧8c上一點，ZADC=60°,若CQ=2BO=4,

則四邊形ABDC的面積為9M.

【點撥】過點B作8ELC。的延長線于點E,先證明△ABC為等邊三角形，再證明/QBE=30°,根

據C￡)=28D=4,可得8。=2,所以DE=^BD=1，BE=V3DE=V3>然后根據四邊形ABDC的面積=

△BDC的面積+等邊三角形A2C的面積，即可解決問題.

【解析】解：如圖，過點3作BE,CO的延長線于點E,

VZABC=ZA￡)C=60°,

又AB=AC,

.,.△ABC為等邊三角形，

/.ZACB=ZABC=60°,

：.ZADB=ZACB=ZADC=60°,

：.ZBDC=120°,

:./BDE=60°,

:.NDBE=3Q°,

?:CD=2BD=4,

:.BD=2,

.1

??DE-yBD=l'

BE=V3DE=V3>

???ABDC的面積=/xCDBE卷X4X?=2V^，

在Rtz\BEC中，BE=V3>CE=CD+DE=4+1=5,

根據勾股定理得：BC2=BEr+C^=3+25=28,

等邊三角形ABC的面積=?BC2=7?，

4

四邊形ABDC的面積=的面積+等邊三角形A8C的面積=2^3+7^3=973.

四邊形ABDC的面積為973.

故答案為：973.

A

?

--"ED

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定與性質，解決

本題的關鍵是熟練運用圓周角定理，垂徑定理.

16.如圖，在半圓。中，直徑AB=8,C,。是半圓上兩點，尸是直徑上一點，若NAOC=48°,ZAOD

【點撥】將半圓。補充成一個整圓，過點C作AB的垂線交AB。。于點C',連接C'D交于點P,

連接PC、OC,連接OD,延長。。交。。于點E,連接C'E.根據垂徑定理可知是CC'的垂直

兩平分線，從而可得PC+PD最小值為C'。的長度；根據圓周角定理求得NCC'。=12°,從而求得

NAPC=78°,由對頂角的性質可知/￡>PO=78°,再根據三角形內角和定理求得/PDO=30°,由

三角函數求出C。即可.

【解析】解：將半圓。補充成一個整圓，過點C作的垂線交A8。。于點C',連接C'D交AB

于點尸，連接PC、0C,連接0D,延長。。交O。于點E,連接C'E.

...A2是CC'的垂直兩平分線，

：.PC=PC,

：.PC'+PD=PC+PD=C'D,

.?.PC+PZ)最小值為c，。的長度，

:NAOC=48°,NAOO=72°,

：.ZCOD=ZAOD-ZAOC=72a-48°=24°,

：.ZCC'Z)=AZCO￡>=AX24°=12°,

22

ZAPC=90°-ZCC￡>=90°-12°=78°,

：.ZDPO=ZAPC'=78°,

：.ZPDO^180°-ZDPO-ZAOD=180°-78°-72°=30°,

為直徑,

ZDCE=90°,DE=AB=8,

：.CD=DE-cosZPDO=8X近二4我,

2

：.PC+PD的最小值為4日.

故答案為：473-

【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、軸對稱-最短路線問題，作點C的對稱點并將PC+PO的最

小值轉化為線段，掌握圓周角定理、垂徑定理、三角形內角和定理、特殊角的三角函數是解題的關鍵.

三.解答題（共8小題，其中第17、18題每題6分，第19、20題每題8分，第21、22題每題10分，第

23、24題每題12分，共72分）

17.如圖，的弦AB,CD相交于點E,且AB=CD,求證：EB=ED.

【點撥】連接AC,利用在同圓或等圓中，等弦對等弧，同弧或等弧所對的圓周角相等，得出/A=/C；

利用等腰三角形的判定定理得到EA=EC,利用等式的性質即可得出結論.

【解析】證明：連接AC,如圖，

.1?AB=CD.

AB+BD=CD+BD.

BPAD=BC.

ZA=ZC.

：.EA=EC.

：.AB-EA=CD-EC.即EB=ED.

【點睛】本題主要考查了圓心角，弧，弦的關系，圓周角定理及其推論，等腰三角形的判定，等式的性

質，連接AC,利用等弧所對的圓周角相等得出NA=/C是解題的關鍵.

18.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(-1,3),B(-3,0),C(-1,0),

把△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°后得到△A1B1C.(每個方格的邊長均為1個單位)

(1)畫出△481C并直接寫出：

Ai的坐標為(2,0),

Bi的坐標為(-1,2)；

(2)判斷直線AB與直線AiBi的位置關系為垂直

yjk

【點撥】(1)利用網格特點和旋轉的性質畫出點A、2的對應點4、Bi,然后寫出點4、21的坐標;

(2)根據旋轉的性質判斷.

【解析】解：(1)如圖，△4B1C為所作，4的坐標為(2,0),21的坐標為(-1,2)；

故答案為：(2,0)；(T,2)；

(2)因為△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°后得到△ALBC,

所以A3繞點C按順時針方向旋轉90°后得到481,

即直線與直線4囪垂直.

故答案為：垂直.

【點睛】本題考查了作圖-旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也

相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉

后的圖形.

19.如圖，△ABC是。。的內接三角形，是O。的直徑，ZABC=60°.

(1)求/CA。的度數；

(2)若。。的半徑為1,求圖中陰影部分的面積.

D

C

【點撥】(1)根據圓周角定理得到/ACO=90°,/AOC=/4BC=60°,根據直角三角形的性質計

算即可；

(2)連接OC,過。作OQLAC于Q,根據勾股定理求出A。，再根據垂徑定理求出AC,根據圓周角

定理求出NAOC,根據扇形面積公式、三角形的面積公式計算，得到答案.

【解析】解：(1)是。。的直徑，

AZACD=90°,

VZADC=ZABC=60°,

：.ZCAD^90°-/A￡)C=30°；

(2)連接。C,過。作OQJ_AC于Q,

VZCAD=30°,o。的半徑為1,

OQ=—OA=~,

22

由勾股定理得：42=加2_0122={]2得)2=有,

,?OQYAC,

：.AC=2AQ=y/3,

由圓周角定理得：ZAOC=2ZABC=120°,

:?S陰影部分=S扇形A。。-SAAOC

2

=120nxi

36022

=兀_F

----.

34

【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、扇形面積公式是解題的關鍵.

20.如圖，O。的直徑A8垂直于弦C￡),垂足為E,AE=2,CD=8.

(1)求。。的半徑長；

(2)連接BC,作OFLBC于點R求。尸的長.

c

【點撥】（1）連接。。，如圖，設OO的半徑長為r,先根據垂徑定理得到OE=CE=4,再利用勾股

定理得到（r-2）2+42=^,然后解方程即可；

（2）先利用勾股定理計算出8C=4泥，再根據垂徑定理得到8F=Cr=2遙，然后利用勾股定理可計

算出。尸的長.

【解析】解：（1）連接OD,如圖，設。。的半徑長為r,

'：ABLCD,

：.ZOED=9G°,DE=CE=lcD=AX8=4,

22

在RtZ\O￡>E中，'：OE=r-2,OD=r,OE=4,

（r-2）2+42=/,

解得r=5,

即O。的半徑長為5；

（2）在RtZXBCE中，"CE=4,BE=AB-AE=8,

BC=^42+g2=4V5>

'：OF±BC,

:.BF=CF=LBC=2相,NOF2=90°,

2

在RtAOBF中，0F=JoB2-BF2=V52-（2V5）2=遙，

即。尸的長為質.

A

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股

定理.

21.如圖，四邊形A3C。內接于一圓，連結AC、BD.

(1)若ND4B=60°,ZACB=70°,求N4B。的度數.

（2）若AC為直徑，C為俞的中點，請探究NZMB與/ACB之間的關系.

D

【點撥】（1）根據圓周角定理求出再根據三角形內角和定理求出NAB。；

（2）根據圓周角定理得到ZABC=90°,根據直角三角形的兩銳角互余解答即可.

2

【解析】解：（1）VZACB=70°,

；.NADB=NACB=70°,

ZDAB=60°,

：.ZABD=180°-70°-60°=50°；

（2）：C為面的中點，

：.ZCAB=ZCAD=^ZDAB,

2

：AC為直徑，

AZABC=90°,

：.ZCAB+ZACB=90°,

：.^ZDAB+ZACB=90°.

2

【點睛】本題考查的是圓周角定理、三角形內角和定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周

角相等是解題的關鍵.

22.如圖，在半圓。中，直徑AB=6,點C在篇上，連接8C,弦8。平分/A8C,連接OD

（2）連接。C,AD.OC//AD,求8。的長.

【點撥】（1）利用角平分線的定義結合平行線的性質和判定即可得證;

(2)先證明△AOO是等邊三角形，再利用圓周角定理和勾股定理即可求解.

【解析】(1)證明：??,弦50平分NA3C,

???/ABD=NCBD,

?：OB=OD,

：.ZABD=ZODBf

：.ZODB=ZCBD,

：.OD//BC；

(2)解：VOC//AD,

：.ZBAD=ZBOC,

■:NBOD=2NBAD,

:?/BOD=2/BOC,

：.ZBOC=ZCODf

???/ABD=NCBD,

：.ZAOD=ZCOD.

：.ZBOC=ZAOD=ZCOD=60°,

\'OA=ODfAB=6,

：.AAOD是等邊三角形，

?1

??AD=0A=yAB=3^

TAB是半圓的直徑，

ZADB=90°,

AB￡>=7AB2-AD2=V62-32=3^3-

【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，熟知以上知識是解題的關鍵.

23.在△A3C中，AB=AC,以A3為直徑作。0,交8C于點。，交直線AC于點連結3E.

小明：根據題意，我畫出了如圖1的情況；

小麗：小明，你的思考不夠全面，我認為還有其他的情況，若N8AC為鈍角，我發現圓與直線AC的交

點在線段CA的延長線上；

小明：哦…我明白了！

(1)在圖1中求證：點。是邊3c的中點；

(2)記NA8E的度數為a.求出NC的度數(用a表示).

圖1圖2

【點撥】(1)連接A。，根據直徑所對的圓周角是直角得AOL8C,再根據等腰三角形的性質可得出結

論；

(2)當△ABC是銳角三角形時，點E在邊AC上，根據NAEB=90°得/8AC=90°-a,再根據AB

=AC可得出NC的度數；當△ABC是鈍角三角形時，點E在C4的延長線上，根據NAEB=90°得/

84c=90°+