第4章一元一次方程（壓軸必刷30題3種題型專項訓練）

一.一元一次方程的解（共2小題）

1.（2022秋?啟東市校級月考）我們規定，若關于尤的一元一次方程or=b的解為x=b-a,則稱該方程為

“差解方程”，例如：2x=4的解為2,且2=4-2,則方程2x=4是差解方程.

請根據上述規定解答下列問題：

（1）判斷3x=4.5是否是差解方程；

（2）若關于x的一元一次方程5工=%+1是差解方程，求的值.

2.（2022秋?宿城區期中）我們規定，若關于x的一元一次方程水=6的解為6-a,則稱該方程為“差解方

程”，例如：2尤=4的解為2,且2=4-2,則方程2x=4是差解方程.

請根據上邊規定解答下列問題：

（1）判斷3x=4.5是否是差解方程；

（2）若關于x的一元一次方程6X=?7+2是差解方程，求m的值.

二.解一元一次方程（共3小題）

3.（2021秋?高新區期末）用“*”定義一種新運算：對于任意有理數。和6,規定a*6=a廿+2"+a.

如：1*3=1X32+2X1X3+1=16

（1）求2*（-2）的值；

（2）若2*x=m,（1x）*3=n（其中x為有理數），試比較如〃的大??；

（3）若［（^|^）*（-3）］*=。+4,求a的值.

4.（2022秋?工業園區校級月考）如圖，小明在一張紙面上畫了一條數軸，折疊紙面，使表示數-1的點與

表示數5的點重合，請你回答以下問題：

（1）表示數-2的點與表示數的點重合；表示數7的點與表示數的點重合.

（2）若數軸上點A在點B的左側，A,2兩點之間的距離為12,且A,8兩點按小明的方法折疊后重合，

則點A表示的數是;點8表示的數是；

（3）已知數軸上的點M分別到（2）中A,8兩點的距離之和為2022,求點〃表示的數是多少？

??1111111111111A

-7-6-5-4-3-2-101234567

5.（2021秋?涕陽市期末）閱讀理解學：

我們都應該知道，任何無限循環小數都應該屬于有理數，那是因為所有無限循環小數都可以化成分數形

式，而分數屬于有理數.那么無限循環小數怎么化成分數呢？下面的學習材料會告訴我們原因和方法：

問題：利用一元一次方程將0.:化成分數.

設0.7=尤.

由0.7=0.7777-,可知10X0.7=7777-=7+0.7777-=7+0.p

即10x=7+x.

可解得xJ，即工.

（1）將0.g直接寫成分數形式為.

（2）請仿照上述方法把下列小數化成分數，要求寫出利用一元一次方程進行解答的過程.

①0.27;

?0.136.

三.一元一次方程的應用（共25小題）

6.（2022秋?高新區期末）甲、乙兩個旅行團同時去蘇州旅游，已知乙團人數比甲團人數多4人，兩團人數

之和恰等于兩團人數之差的18倍.

（1）問甲、乙兩個旅行團的人數各是多少？

（2）若乙團中兒童人數恰為甲團中兒童人數的3倍少2人，某景點成人票價為每張100元，兒童票價是

成人票價的六折，兩旅行團在此景點所花費的門票費用相同，求甲、乙兩團兒童人數各是多少？

7.（2022秋?興化市校級期末）甲、乙兩班學生到集市上購買蘋果，蘋果的價格如表:

購買蘋果數不超過30千克30千克以上但不超50千克以上

過50千克

每千克價格3元2.5元2元

甲班分兩次共購買蘋果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班則一次購買蘋果80千克.

（1）乙班比甲班少付出多少元？

（2）甲班第一次、第二次分別購買蘋果多少千克？

8.（2023秋?海門市校級月考）已知A、B、C三點在同一條數軸上，點A、8表示的數分別為-2,18,點

C在原點右側，且

4

（1）A、8兩點相距個單位；

（2）求點C表示的數；

（3）點尸、。是該數軸上的兩個動點，點尸從點A出發，沿數軸以每秒1個單位的速度向右運動，點。

從點8出發，沿數軸以每秒2個單位的速度向左運動，它們同時出發，運動時間為f秒，求當f為何值

時，P、。兩點到C點的距離相等？

9.（2022秋?建鄴區校級期末）揚子江藥業集團生產的某種藥品的長方體包裝盒的側面展開圖如圖所示.根

據圖中數據，如果長方體盒子的長比寬多4c7",求這種藥品包裝盒的體積.

37cm

高

寬

18cm

長

10.（2023秋?濱?？h月考）生活與數學

0一二三四五六

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

(1)山姆同學在某月的日歷上圈出2X2個數，如圖1,正方形的方框內的四個數的和是48,那么這四

個數是.

XXX

圖1圖2圖3

(2)小麗也在上面的日歷上圈出2X2個數，如圖2,斜框內的四個數的和是46,則它們分別

是.

(3)劉莉也在日歷上圈出5個數，呈十字框形，如圖3,它們的和是55,則中間的數是.

(4)某月有5個星期日的和是75,則這個月中最后一個星期日是號？

11.(2022秋?興化市校級月考)結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)探究：

①數軸上表示5和2的兩點之間的距離是.

②數軸上表示-1和-5的兩點之間的距離是.

③數軸上表示-3和4的兩點之間的距離是.

(2)歸納：

一般的，數軸上表示數a和數6的兩點之間的距離等于.

(3)應用：

①若數軸上表示數a的點位于-4與3之間，則|a+4|+|a-3|的值=.

②若a表示數軸上的一個有理數，且|a-l|=|a+3|,貝Ua=.

③若a表示數軸上的一個有理數，|a-l|+|a+2|的最小值是.

④若a表示數軸上的一個有理數，且|a+3|+|a-5|>8,則有理數a的取值范圍是.

（4）拓展：

已知，如圖2,A、8分別為數軸上的兩點，A點對應的數為-20,2點對應的數為100.若當電子螞蟻尸

從A點出發，以4個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻。恰好從8點出發，以3單位/秒的

速度向左運動，求經過多長時間兩只電子螞蟻在數軸上相距20個單位長度，并寫出此時點P所表示的

數.

一5一4一3—2—1012345

圖1

AB

—1----------------------1----->

-20100

圖2

12.（2022秋?海安市月考）已知：在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來一快一慢兩列火車，快車長AB=2

（單位長度），慢車長CD=4（單位長度），設正在行駛途中的某一時刻，如圖，以兩車之間的某點。為

原點，取向右方向為正方向畫數軸，此時快車頭A在數軸上表示的數是m慢車頭C在數軸上表示的數

是b.若快車A8以6個單位長度/秒的速度向右勻速繼續行駛，同時慢車以2個單位長度/秒的速度

向左勻速繼續行駛，且|a+8|+（b-16）2=0.

（1）求此時刻快車頭A與慢車頭C之間相距單位長度；

（2）從此時刻開始算起，問再行駛多少秒鐘兩列火車行駛到車頭AC相距8個單位長度？

（3）此時在快車A8上有一位愛動腦筋的七年級學生乘客P,他發現行駛中有一段時間/秒鐘，他的位

置P到兩列火車頭A、C的距離和加上到兩列火車尾B、D的距離和是一個不變的值（即PA+PC+PB+PD

為定值）.你認為學生尸發現的這一結論是否正確？若正確，求出這個時間及定值；若不正確，請說明理

由.

______II111.

BAOCD

13.（2022秋?淮陰區期中）據電力部門統計，每天8：00至21：00是用電高峰期，簡稱“峰時”，21：00

至次日8：00是用電低谷期，簡稱“谷時”.為了緩解供電需求緊張的矛盾，我市電力部門擬逐步統一換

裝“峰谷分時”電表，對用電實行“峰谷分時電價”新政策，具體見下表：

時間換表前換表后

峰時（8：00-21：00）谷時（21：00-8：00）

電價每度0.52每度0.55元每度0.30元

元

小明家對換表后最初使用的95度電進行測算，經測算比換表前使用95度電節約了5.9元，問小明家使

用“峰時”電和“谷時”電分別是多少度？

14.（2022秋?姜堰區期中）閱讀理解：M、N、尸為數軸上三點，若點尸到M的距離是點尸到N的距離的

k（Q0）倍，即滿足左.PN時，則稱點P關于M、N的“相對關系值”為左.例如，當點M、N、

產表示的數分別為0、2、3時，PM=3PN,則稱點尸關于M、N的“相對關系值”為3；PN=LMN,則

2

稱點N關于尸、M的“相對關系值”為上.

2

如圖，點A、B、C、。在數軸上，它們所表示的數分別為-I、2、6、-6.

DAOBC

?1,1???

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

（1）原點。關于A、8的“相對關系值“為a,原點。關于8、A的“相對關系值”為6,則。

=，b=.

（2）點E為數軸上一動點，點E所表示的數為x,若x滿足|x+3|+|x-2|=5,且點E關于C、。的“相對

關系值”為％,則人的取值范圍是.

（3）點尸從點B出發，以每秒1個單位的速度向左運動，設運動時間為f（f>0）秒，當經過t秒時，

C、D、尸三點中恰有一個點關于另外兩點的“相對關系值”為2,求r的值.

15.（2022秋?蘇州期中）【問題背景】落實“雙減”政策后，某校開展了豐富多彩的科技活動.如圖1,電

子螞蟻尸、。在長18分米的賽道上同時相向勻速運動，電子螞蟻尸從A出發，速度為4分米/分鐘,

電子螞蟻。從B出發，速度為2分米/分鐘，當電子螞蟻尸到達8時，電子螞蟻P,。停止運動.經過幾

分鐘尸，。之間相距6分米？

【問題解決】小辰同學在學習《有理數》之后，發現運用數形結合的方法建立數軸可以較快地解決上述

問題：如圖2,將點A與數軸的原點。重合，點8落在正半軸上.設運動的時間為f（0W/W4.5）.

（1）/分鐘后點尸在數軸上對應的數是；點。對應的數是；（用含f的代數式

表示）

（2）我們知道，如果數軸上N兩點分別對應數小小則川.試運用該方法求經過幾分鐘

P,。之間相距6分米？

（3）在賽道AB上有一個標記位置C,AC=6.若電子螞蟻尸與標記位置C之間的距離為a,電子螞蟻

Q與B之間的距離為b.在運動過程中，是否存在某一時刻t,使得。+6=4?若存在，請求出運動的時

間；若不存在，請說明理由.

ABAB

IIII.

（圖1）°（圖2）

16.（2022秋?海陵區校級月考）閱讀理解，完成下列各題:

定義：已知A、3、C為數軸上任意三點，若點C到點A的距離是它到點B的距離的3倍，則稱點C是

［A,3的3倍點，例如：如圖1,點C是［A,a的3倍點，點。不是［A,B］的3倍點，但點。是由，A］

的3倍點，根據這個定義解決下面問題：

⑴在圖1中，點A［C,0的3倍點（填寫“是”或“不是”［D,C］的3倍點是點（填

寫A或B或C或。）；

（2）如圖2,M、N為數軸上兩點，點M表示的數是-3,點N表示的數是5,若點E是［M,N］的3倍

點，則點E表示的數是；

（3）若P、Q為數軸上兩點，點尸在點。的左側，PQ=a,一動點X從點尸出發，以每秒3個單位長

度的速度沿數軸向右運動，設運動時間為t秒，求當f為何值時，點以恰好是P和Q兩點的3倍點？（用

含a的代數式表示）

-1------1--------1-----1-------!-------1-----IIIIIIIII［I

-3-2-10123-4-3-2-10123456

圖1圖2

17.（2022秋?昆山市校級月考）如圖所示，將連續的奇數1,3,5,7…排列成如下的數表，用十字形框框

出5個數.

探究規律一：設十字框中間的奇數為無，則框中五個奇數的和用含X的整式表示為,這說明被

十字框框中的五個奇數的和一定是正整數p5>1）的倍數，這個正整數p是.

探究規律二：落在十字框中間且位于第二列的一組奇數是15,27,39-,則這一組數可以用整式表示為

12/71+3（機為正整數），同樣，落在十字框中間且位于第三列的一組奇數可以表示為；（用

含m的式子表示）

運用規律

（1）被十字框框中的五個奇數的和可能是625嗎？若能，請求出這五個數，若不能，請說明理由.

（2）請問（1）中的十字框中間的奇數落在第幾行第幾列？

1357911

131517fl9l2123

2527[29~31司35

3739彳口43K47

18.（2022秋?廣陵區校級月考）從泰州乘“K”字頭列車A、“T”字頭列車8都可直達南京，已知A車的平

均速度為SQkm/h,B車的平均速度為A車的1.5倍，且行完全程B車所需時間比A車少40分鐘.

（1）求泰州至南京的鐵路里程；

（2）若兩車以各自的平均速度分別從泰州、南京同時相向而行，問經過多少時間兩車相距40加1?

19.（2022秋?江都區月考）某地的一種綠色蔬菜，在市場上若直接銷售，每噸利潤為1000元，經粗加工后

銷售，每噸利潤4000元，經精加工后銷售，每噸利潤7000元.當地一家公司現有這種蔬菜140噸，該

公司加工廠的生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸，如果對蔬菜進行精加工，每天可

加工6噸，但每天兩種方式不能同時進行.受季節等條件的限制，必須用15天時間將這批蔬菜全部銷售

或加工完畢.為此，公司研制了三種方案：

方案一：將蔬菜全部進行粗加工；

方案二：盡可能地對蔬菜進行精加工，沒來得及加工的蔬菜，在市場上直接出售；

方案三：將一部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并剛好15天完成.

如果你是公司經理，你會選擇哪一種方案，說說理由.

20.（2023秋?錫山區期中）如圖，數軸上有A、B、C、。四點，點。對應的數為無，已知。4=5,。8=3,

CD=2,P、Q兩點同時從原點0出發，沿著數軸正方向分別以每秒鐘a和6個單位長度的速度運動,

且a<b.點。到點。后立即朝數軸的負方向運動，速度不變，在點C處與點P相遇，相遇后點P也立

即朝著數軸的負方向運動，且P點的速度變為2a,。點的速度不變.

（1）尸、Q兩點相遇時，點P前進的路程為；Q、P兩點相遇前的速度比電

a

=；（用含有x的式子表示）

（2）若點B為線段的中點，①此時，點。表示的數x=；

②相遇后，當點尸到達點A處時，點。在原點。的（填“左”或“右”）側，并求出此時點0

在數軸上所表示的數字；

（3）在（2）的條件下，當點P到達點A處時，立即掉頭朝數軸的正方向運動，速度變為3a,點。的速

度始終不變，這兩點在點M處第二次相遇,則點M在數軸上所表示的數字為.

A0BCDA0BcD

（備用圖）

21.（2023秋?沐陽縣校級月考）探索規律：將連續的偶2,4,6,8,排成如圖:

246810

1214161820

2224262830

32343638-10

（1）十字框中的五個數的和與中間的數16有什么關系？

（2）設中間的數為無，用代數式表示十字框中的五個數的和；

（3）若將十字框上下左右移動，可框住另外的五位數，其它五位數的和能等于2010嗎？如能，寫出這

五位數，如不能，說明理由.

22.（2021秋?姑蘇區校級期末）為增強公民節水意識，合理利用水資源，某市采用“階梯收費”，標準如下

表:

用水量單價

不超過6m3的部分27E/m3

超過6m3不超過10m3的部分47E/m3

超出102的部分8元加

譬如：某用戶2月份用水9:/,則應繳水費：2X6+4X（9-6）=24（元）

（1）某用戶3月用水15/應繳水費多少元？

（2）已知某用戶4月份繳水費20元，求該用戶4月份的用水量；

（3）如果該用戶5、6月份共用水20加（6月份用水量超過5月份用水量），共交水費64元，則該戶居

民5、6月份各用水多少立方米？

23.（2021秋?惠山區期末）【探索新知】

如圖1,點C將線段A3分成AC和2C兩部分，若BC=nAC,則稱點C是線段AB的圓周率點，線段

AC,稱作互為圓周率伴侶線段.

（1）若AC=3,貝I]A8=；

（2）若點。也是圖1中線段AB的圓周率點（不同于C點），貝UAC（填“=”或“#"）

【深入研究】

如圖2,現有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數軸上表示1的點重合，并把圓片沿

數軸向右無滑動地滾動1周，該點到達點C的位置.

（3）若點M、N均為線段OC的圓周率點，求線段的長度.

（4）在圖2中，若點。在射線0C上，且線段CZ）與圖中以0、C、。中某兩點為端點的線段互為圓周

率伴侶線段，直接寫出D點所表示的數.

24.（2022秋?江都區校級月考）元旦期間，某商場打出促銷廣告（如下表）

優惠一次性購物一次性購物一次性購物

條件不超過200元超過200元但不超過超過500元

500元

優惠無優惠全部按9折優惠其中500元仍按9折優惠，

辦法超過500元部分按8折優惠

小明媽媽第一次購物用了134元，第二次購物用了490元.

（1）小明媽媽第一次所購物品的原價是元；

（2）小明媽媽第二次所購物品的原價是多少元？（寫出解答過程）

（3）若小明媽媽將兩次購買的物品一次性買清，可比兩次購買節省多少元?

25.（2022秋?梁溪區校級月考）在數軸上A點表示數a,8點表示數6,且a、b滿足|a+2|+|b-4|=0；

（1）點A表示的數為；點B表示的數為；

（2）如果M、N為數軸上兩個動點，點〃從點A出發，速度為每秒1個單位長度；點N從點B出發,

速度為點A的3倍，它們同時向左運動，點。為原

點.-5-4-3-2-1012345**-5-4-3-2-1012345**-5-4-3-2-1012345>

當運動2秒時，點M、N對應的數分別是、.

當運動f秒時，點M、N對應的數分別是、.（用含f的式子表示）運動多

少秒時，點M、N、。中恰有一個點為另外兩個點所連線段的中點？（可以直接寫出答案）

26.（2022秋?興化市校級月考）如圖，已知A、8分別為數軸上的兩點，A點對應的數為-20,8點對應的

數為80.

-2080

AR

（1）請直接寫出A8的中點M對應的數；

（2）現在有一只電子螞蟻尸從A點出發，以2個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻。恰好

從B點出發，以3個單位/秒的速度向左運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的C點相遇，請求出C點對應

的數是多少；

（3）若當電子螞蟻尸從A點出發時，以2個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從B

點出發，以3個單位/秒的速度向左運動，經過多長時間兩只電子螞蟻在數軸上相距25個單位長度？

27.（2022秋?昆山市校級月考）在購買足球賽門票時，設購買門票張數為無（張），現有兩種購買方案：

方案一:若單位贊助廣告費10000元,則該單位購買門票的價格為60元（總費用=廣告贊助費+門票費）.

方案二：若購買的門票數不超過100張，每張100元，若所購門票超過100張，則超出部分按八折計算.

解答下列問題：

（1）方案一中，用含x的代數式來表示總費用為.方案二中，當購買的門票數x不

超過100張時，用含x的代數式來表示總費用為