2024-2025學年高中數學第一章三角函數1.4.3正切函數的性質與圖象（4）教學教學實錄新人教A版必修4學校授課教師課時授課班級授課地點教具教材分析2024-2025學年高中數學第一章三角函數1.4.3正切函數的性質與圖象（4）教學教學實錄新人教A版必修4。本節課以正切函數的定義和性質為基礎，通過實例分析和數學推導，引導學生理解正切函數的單調性、周期性、奇偶性和漸近線等性質，進而繪制正切函數的圖象。課程內容與課本緊密相連，符合教學實際，實用性較強。核心素養目標分析本節課旨在培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等核心素養。通過探究正切函數的性質，學生能夠運用數學抽象思維理解函數概念，運用邏輯推理分析函數特征，通過數學建模解決實際問題，培養直觀想象和數學運算能力，同時提高數據分析的能力。教學難點與重點1.教學重點

①理解正切函數的單調性和周期性，能夠運用公式和圖象進行分析。

②掌握正切函數的奇偶性和對稱性，并能識別和描述函數圖象的基本特征。

③能夠根據正切函數的定義域和值域，繪制其基本圖象，并理解漸近線的概念。

2.教學難點

①正切函數性質的理解和推導過程，需要學生具備較強的邏輯推理和抽象思維能力。

②正切函數圖象的繪制，特別是理解漸近線在圖象上的作用，對學生空間想象能力有較高要求。

③在實際應用中，如何運用正切函數的性質解決實際問題，需要學生能夠將理論知識與實際問題相結合。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有本節課所需的教材或學習資料，包括人教版《高中數學》必修4中的正切函數相關章節。

2.輔助材料：準備與教學內容相關的圖片、圖表和視頻等多媒體資源，如正切函數圖象的動態展示和實例分析。

3.教學工具：準備直尺、圓規等繪圖工具，用于學生繪制正切函數的圖象。

4.教室布置：根據教學需要，布置教室環境，包括設置分組討論區，為學生提供合作學習的機會。教學過程一、導入新課

（1）課堂開始，我會首先提問：“同學們，我們已經學習了正弦函數和余弦函數，它們都有哪些性質呢？”

（2）引導學生回顧正弦函數和余弦函數的性質，如周期性、奇偶性、單調性等。

（3）接著，我會引入本節課的主題：“今天，我們將學習正切函數的性質與圖象，看看它有哪些獨特的特點。”

二、新課講授

1.正切函數的定義

（1）我會先解釋正切函數的定義：“正切函數是正弦函數與余弦函數的比值，即tanθ=sinθ/cosθ。”

（2）通過實際例子，如三角形的邊角關系，幫助學生理解正切函數的定義。

2.正切函數的性質

（1）單調性

-我會講解正切函數的單調性：“正切函數在(-π/2,π/2)區間內是增函數。”

-通過圖象展示和數學推導，讓學生理解正切函數的單調性。

（2）周期性

-解釋正切函數的周期性：“正切函數的周期是π，即tan(θ+π)=tanθ。”

-展示周期性的圖象，讓學生直觀感受周期性。

（3）奇偶性

-講解正切函數的奇偶性：“正切函數是奇函數，即tan(-θ)=-tanθ。”

-通過圖象和數學推導，讓學生理解奇偶性。

（4）漸近線

-介紹正切函數的漸近線：“正切函數的漸近線是y=kπ，其中k為整數。”

-通過圖象展示漸近線，讓學生理解漸近線的作用。

3.正切函數的圖象

（1）我會引導學生繪制正切函數的基本圖象：“首先，在坐標系中畫出正切函數的漸近線，然后畫出幾個關鍵點，最后連接這些點，得到正切函數的圖象。”

（2）通過小組合作，讓學生動手繪制正切函數的圖象，并觀察其特征。

三、課堂練習

1.單項選擇題

（1）我會給出幾個關于正切函數性質的選擇題，讓學生獨立完成。

（2）學生完成后，我會請他們舉手發言，解釋自己的答案，并給予點評。

2.應用題

（1）我會給出一個實際問題，要求學生運用正切函數的性質進行解答。

（2）學生完成解答后，我會請他們展示自己的解題過程，并給予指導和反饋。

四、課堂小結

1.回顧本節課的重點內容：“今天我們學習了正切函數的性質與圖象，包括單調性、周期性、奇偶性和漸近線等。”

2.強調正切函數在實際生活中的應用：“正切函數在物理學、工程學等領域有著廣泛的應用，希望大家能夠靈活運用所學知識。”

五、布置作業

1.完成課后練習題，鞏固所學知識。

2.查閱資料，了解正切函數在其他領域的應用。

六、課堂評價

1.觀察學生在課堂上的參與度，了解他們對正切函數性質的理解程度。

2.收集學生的作業，評估他們對知識的掌握情況。知識點梳理1.正切函數的定義

-正切函數是正弦函數與余弦函數的比值，即tanθ=sinθ/cosθ。

-定義域：所有實數除去了kπ+π/2（k為整數），即(-∞,kπ-π/2)∪(kπ+π/2,+∞)。

2.正切函數的性質

-單調性：在(-π/2,π/2)區間內，正切函數是增函數；在(kπ-π/2,kπ+π/2)區間內，正切函數是減函數（k為整數）。

-周期性：正切函數的周期是π，即tan(θ+π)=tanθ。

-奇偶性：正切函數是奇函數，即tan(-θ)=-tanθ。

-漸近線：正切函數的漸近線是y=kπ（k為整數），即在x=kπ+π/2時，函數值趨向于正無窮或負無窮。

3.正切函數的圖象

-正切函數的圖象有無數條漸近線，每條漸近線垂直于x軸，并且穿過y=kπ（k為整數）。

-圖象在第一和第三象限內，隨著x的增加，函數值逐漸增大；在第二和第四象限內，隨著x的增加，函數值逐漸減小。

-圖象在每個周期內，從y=kπ開始，逐漸逼近漸近線，然后轉向下一個周期。

4.正切函數的應用

-在物理學中，正切函數可以用來描述物體在斜面上的運動。

-在工程學中，正切函數可以用來計算三角形的斜率。

-在幾何學中，正切函數可以用來求解三角形的邊角關系。

5.正切函數與正弦函數、余弦函數的關系

-正切函數是正弦函數與余弦函數的比值，即tanθ=sinθ/cosθ。

-正切函數的周期是正弦函數和余弦函數周期的公倍數，即π。

-正切函數的奇偶性與正弦函數和余弦函數的奇偶性相同。

6.正切函數的極限

-當x趨向于kπ+π/2（k為整數）時，正切函數的值趨向于正無窮或負無窮。

-當x趨向于kπ（k為整數）時，正切函數的值趨向于0。

7.正切函數的導數

-正切函數的導數是sec2θ，即dtanθ/dθ=sec2θ。

8.正切函數的反函數

-正切函數的反函數是反正切函數，記作arctanθ。

-反正切函數的定義域是(-∞,+∞)，值域是(-π/2,π/2)。板書設計1.正切函數定義

①tanθ=sinθ/cosθ

②定義域：(-∞,kπ-π/2)∪(kπ+π/2,+∞)

③值域：(-∞,+∞)

2.正切函數性質

①單調性：在(-π/2,π/2)區間內增，在(kπ-π/2,kπ+π/2)區間內減

②周期性：周期為π，tan(θ+π)=tanθ

③奇偶性：奇函數，tan(-θ)=-tanθ

④漸近線：y=kπ（k為整數）

3.正切函數圖象

①漸近線：垂直于x軸，穿過y=kπ（k為整數）

②圖象特征：每個周期內從y=kπ開始，逼近漸近線，轉向下一個周期

4.正切函數與正弦、余弦函數關系

①正切函數是正弦函數與余弦函數的比值

②正切函數周期是正弦函數和余弦函數周期的公倍數

③正切函數奇偶性與正弦函數和余弦函數相同

5.正切函數應用

①物理學：描述物體在斜面上的運動

②工程學：計算三角形的斜率

③幾何學：求解三角形的邊角關系

6.導數與反函數

①導數：dtanθ/dθ=sec2θ

②反函數：arctanθ，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)典型例題講解1.例題一：求正切函數的周期

解答：已知函數y=tanθ，求其周期。

解：由于正切函數的周期是π，所以函數y=tanθ的周期為π。

2.例題二：判斷正切函數的單調性

解答：已知函數y=tanθ，求其在區間(0,π)上的單調性。

解：在區間(0,π)上，函數y=tanθ是增函數。

3.例題三：求正切函數的值

解答：已知tan60°=√3，求tan(60°+π)的值。

解：由于tan(θ+π)=tanθ，所以tan(60°+π)=tan60°=√3。

4.例題四：求正切函數的反函數

解答：已知y=tanx，求其反函數。

解：由于y=tanx，可以得到x=arctany。因此，正切函數的反函數為y=arctanx。

5.例題五：利用正切函數的性質解題

解答：已知tanα=2，tanβ=3，求tan(α+β)的值。

解：根據兩角和的正切公式，我們有：

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

代入tanα=2和tanβ=3，得到：

tan(α+β)=(2+3)/(1-2*3)=5/(1-6)=-5/5=-1。

1.正切函數的周期是π，這意味著每隔π個單位長度，函數的值會重復。

2.正切函數在其定義域內是周期性的，但在每個周期的特