重難點專題06解三角形圖形類問題【題型歸納目錄】題型一：妙用兩次正弦定理題型二：兩角使用余弦定理題型三：張角定理與等面積法題型四：角平分線問題題型五：中線問題題型六：高問題【方法技巧與總結】解決三角形圖形類問題的方法：方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.

【典型例題】題型一：妙用兩次正弦定理【例1】記的內角、、的對邊分別為、、，已知，點在邊上，且，，求.【解析】因為中，，則為銳角，所以，因為，，所以，所以，設，則，在和中，由正弦定理得，，因為，上面兩個等式相除可得，得，即，所以.【變式11】已知是內一點，.(1)若，求；(2)若，求.【解析】（1）如圖所示，在中，，所以.所以.在中，由正弦定理得，即，解得.（2）如圖所示，當時，.設，則.在中，由正弦定理得.在中，由正弦定理得.因為，所以，即，整理得，即，解得，即.【變式12】如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求；(2)若，求．【解析】（1）在中，，所以，在中，，所以，又，所以，在中由余弦定理，即，所以.（2）由已知可得，又，所以，，設，，則，在中由正弦定理，即，所以，在中由正弦定理，即，所以，又，所以，解得或，由，當時，當時，所以或.題型二：兩角使用余弦定理【例2】如圖，四邊形中，，．(1)求；(2)若，求．【解析】（1）中，設，則，解得，；（2）設，則設，，中，中，，，可得，化簡得，即又，，即，解得【變式21】如圖，在平面四邊形中，，，，．(1)求四邊形的周長；(2)求四邊形的面積．【解析】（1）因為，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四邊形的周長為；（2）因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以四邊形的面積為．【變式22】如圖，在平面四邊形中，與的交點為E，平分，，．(1)證明：；(2)若，求．【解析】（1）如圖，由題意知，則，由余弦定理得，即，整理得，因為，所以．（2）因為，所以，因為，所以，所以．又因為，，所以四邊形是等腰梯形，所以．設，則，解得．．在中，由正弦定理可得，又因為，所以．【變式23】在中，若在上，平分，求的周長.【解析】設，由角平分線定理可得，則，由余弦定理得，即，將代入化簡得，即解得或（舍去），經檢驗只能，所以的周長為.題型三：張角定理與等面積法【例3】在中，設角，，所對的邊分別為，，，且(1)求；(2)若為上的點，平分角，且，，求.【解析】（1）因為，所以由正弦定理可得：，整理得.由余弦定理得：又因為所以（2）由（1）知.又因為平分角，所以.由得.即.又因為，，所以.再由角平分線的性質可知：【變式31】在中，設角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若D為上點，平分角A，且，，求．【解析】（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，可得，又因為，可得．（2）因為D為上點，平分角，則，又由，可得，又因為，可得，解得，因為，所以．【變式32】已知中，角的對邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若點在邊上，平分角，且，求的值.【解析】(1)由及正弦定理可得，即，因為，且，即，所以.（2）因為，所以，因為平分角，所以，由，可得，，整理得，所以.題型四：角平分線問題【例4】的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，，角B的平分線與交于點D，求.【解析】（1）因為，所以.，而，所以.（2）在中，，所以，解得.因為，所以，，，所以.【變式41】在中，內角的對邊分別為，設的面積為，分別以為邊長的正三角形的面積依次為且．(1)求；(2)設的平分線交于點，若，，求的長．【解析】（1）由題意，，，則．由余弦定理得，所以，又，所以，則，又，所以．（2）法一：由（1）知，又，所以，所以，所以．由余弦定理可得，得，，所以，所以，在中．法二：由（1）知，，整理得，由正弦定理得，又，所以，因為，所以，由，，得．在中，.【變式42】記的內角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)設的平分線交線段于點，若，證明：為直角三角形.【解析】（1）因為，所以.由余弦定理，得，又因為，所以.（2）因為是的平分線，所以，設的邊上的高為，則由，得，即，由余弦定理，得，所以，從而，故為直角三角形.【變式43】在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．(1)求A；(2)若的外接圓面積為，角B的平分線交AC于D，求的面積．【解析】（1）因為，所以，因為，所以，即，所以，因為，所以．（2）由（1）可知，因為的外接圓面積為，所以的外接圓半徑為3，因為，所以，，則，而，，所以．題型五：中線問題【例5】在中，內角、、所對邊的長分別為、、，且滿足，，，是的中線，求的長.【解析】由平面向量數量積的定義可得，可得，由余弦定理可得，可得，因為是的中線，則，即，所以，，所以，，故.【變式51】在中，滿足(1)求；(2)若，邊上的中線，，求的周長和面積.【解析】（1）在中，因為，由正弦定理得，又因為，則，因為，可得，所以，即，化簡得因為，可得，解得，所以.（2）由邊的中線，可得，可得，即，即，在中，由余弦定理，可得，聯立方程組，可得，所以，所以，所以的周長為，面積為.【變式52】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(1)求角A的大小.(2)若，求AC邊上的中線BD的長.【解析】（1）因為，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，且，所以.（2）因為，且，可知，可得，由正弦定理可得，則，又因為BD為AC邊上的中線，則，可得，所以AC邊上的中線BD的長為.題型六：高問題【例6】記的內角的對邊分別為，已知．(1)求．(2)若的面積為，，求邊上的高．【解析】（1）由已知條件及正弦定理，得．又，，則，，則．又，，則，解得．（2）由的面積為，得，，則．由余弦定理，得，．又，，解得．，．設邊上的高為，則，．【變式61】在中，內角所對的邊分別為，.(1)求的大??；(2)若，邊上的高為.（i）求的值；（ii）求的值.【解析】（1）因為，，為的內角，所以，因為，所以可化為：，即，即，因為，解得：.（2）（i）由三角形面積公式得，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，所以；（ii）由（i）可得，在中，由正弦定理可得，即，解得，又，所以為銳角，所以，所以，，所以.【變式62】在中，已知角的對邊分別是，且.(1)求角的大??；(2)若邊上的高為，求三角形ABC的周長.【解析】（1）由題設及余弦定理知，整理得，所以，，則；（2）由題意及（1）知：，則，由，即，所以（負值舍），故，而，所以三角形ABC的周長為.

【強化訓練】1．記的內角、、的對邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若點在邊上，且，，求.【解析】（1）因為，由余弦定理可得，化簡可得，由余弦定理可得，因為，所以，.（2）因為，則為銳角，所以，，因為，所以，，所以，，設，則，在和中，由正弦定理得，，因為，上面兩個等式相除可得，得，即，所以，.2．在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若是內一點，，，，，求．【解析】（1）因為，所以由正弦定理得；，，，則；（2），，；在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：；，即，3．在平面四邊形中，，，且.(1)求的長；(2)若為的中點，求.【解析】（1）在三角形中，，，所以由余弦定理得：，所以，又，所以，又，所以.（2）在三角形中，，所以，所以，所以在中，為的中點，所以，，，所以由余弦定理得：，所以，在中，，，，所以由余弦定理得：所以，所以在中，由余弦定理得：.4．如圖所示，在中，設分別為內角的對邊，已知，．(1)求角；(2)若，過作的垂線并延長到點，使四點共圓，與交于點，求四邊形的面積．【解析】（1）由，聯立方程組，解得，不妨設，可得由余弦定理得，因為，所以.（2）由，由（1）知，可得，因為過作的垂線并延長到點，使四點共圓，在直角中，可得，則，因為，可得，在直角中，可得，即，所以，所以，所以四邊形的面積為.5．平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)求四邊形周長的取值范圍；(3)若為邊上一點，且滿足，，求的面積．【解析】（1）因為，，所以，在中由余弦定理；（2）在中，即，所以，所以，當且僅當時取等號，又，則，即，所以，所以，即四邊形周長的取值范圍為；（3）因為，所以，又，所以，，又，所以，在中由余弦定理，即在中由余弦定理，即，又，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，所以..6．在中，角所對的邊分別為，滿足.(1)求角的大?。?2)若的面積為，的平分線交于點，且1，求的值.【解析】（1）由正弦定理知，，因為所以，又，所以，因為，，故，，所以，故，所以.（2）因為，即，所以，解得或，當時，；當時，.7．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．(1)求A；(2)若的外接圓面積為，角B的平分線交于D，求的面積，及與的面積之比．【解析】（1）在中，，．因為，，所以，即，．因為，所以，即，所以，；（2）因為的外接圓面積為，所以的外接圓半徑為3．由（1）知，所以，因為，所以，．．，所以的面積為，與的面積之比為．8．的內角，，所對的邊分別為，，，的平分線交于點，為的中線．若，，．(1)求的長；(2)求的長.【解析】（1）由所以，又，所以.因為為中點，所以，所以.所以，即.（2）因為平分，所以.設，由.所以.故.9．已知的內角所對的邊分別為，，，且．(1)求角的大??；(2)若的面積為，中線，求．【解析】（1）在中，，則，因為，則，由正弦定理得：，所以，所以，又，得，所以，即，由，解得.（2）因為的面積為，所以，由（1）知，故，因為為中線，即為中點，則，又，則，所以，解得，由余弦定理得，所以.10．在中，已知角的對邊分別是，且．(1)求角的大??；(2)若邊上的中線為，求的值；【解析】（1）因為，由正弦定理可得：，又因為，即，可得在中，，則，可得，且，所以.（2）在中，由余弦定理可得，即，因為邊上的中線為，則，可得，即，可得，所以.11．在△中，內角的對邊分別為．(1)求；(2)若△的面積為，求邊上的中線的長．【解析】（1）因為，由正弦定理得，因為，由余弦定理得：，又，所以．（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，則，.故邊上的中線的長為.12．記的內角的對邊分別為，已知(1)求A的值；(2)若邊上的兩條中線相交于點P，且求的正切值.【解析】（1）在，因為，由正弦定理得：即即因為所以而所以整理得因為中所以又所以（2）因為AM是邊BC的中線，所以則不妨設則所以即解得或舍所以在中即即，解得即所以，在中又易知，P是重心，所以所以13．已知的內角的對邊分別為，且滿足．(1)求B的大??；(2)若是的中線，求的最小值．【解析】（1）由正弦定理得，又，故，即，又，故，故，，又，故；（2）因為，為的中線，所以，又，在中，由正弦定理得，即，故，故當時，取得最小值，最小值為.14．記的內角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求;(2)若，，求及邊上的高．【解析】（1）由,可得，即，由于，則，故，解得；（2）因為，由正弦定理可得,又，則，所以，所以，所以，所以，由正弦定理可得，即，解得，故邊上的高為.15．記的內角，，的對邊分別為，，，已知，且．(1)求；(2)若，且邊上的高為，求的周長．【解析】（1）因為，所以根據正弦定理可得，所以，所以，所以，因為，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以；（2）因為，，所以由余弦定理可得，所以，，又因為邊上的高為，所以，所以，所以，所以，所以，所以的周長為．16．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求角C；(2)若的