第11章解三角形章末題型歸納總結（能力篇）【題型歸納目錄】題型一：應用正弦、余弦定理解三角形題型二：判斷三角形的形狀題型三：正弦、余弦定理在實際中的應用題型四：三角形多解問題題型五：三角形范圍與最值問題題型六：圖形類問題題型七：角平分線問題、中線問題、高問題題型八：三角形中的面積與周長問題

【思維導圖】

【知識點梳理】知識點1：基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式；；．常見變形（1），，；（2），，；；；．（2）面積公式：（r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R，r．）知識點2：相關應用（1）正弦定理的應用=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對大角大角對大邊=3\*GB3③合分比：（2）內角和定理：=1\*GB3①同理有：，．=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內角成等差數列．知識點3：實際應用1、仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．2、方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．3、方向角：相對于某一正方向的水平角．（1）北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向（如圖③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．（3）南偏西等其他方向角類似．4、坡角與坡度（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）．（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．解題方法總結1、方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式解的個數一解兩解一解一解無解2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．【典型例題】題型一：應用正弦、余弦定理解三角形【典例11】已知的面積為，則（

）A．13 B．14 C．17 D．15【答案】C【解析】因為的面積為，所以的面積，所以，由余弦定理得，所以.故選：C.【典例12】的內角，，的對邊分別為，，，的面積為，且，，則邊（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得，由余弦定理得，所以.故選：C.【變式11】在中內角所對邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得：，即：，根據正弦定理得，所以，因為為三角形內角，則，則.故選：C.【變式12】在中，，則的長為（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】根據三角形內角和為，所以可知，則，根據正弦定理可知，代入解之可得.故選：C【變式13】在中，，若最大邊的邊長為，則最小邊的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，若為銳角，則由，所以，此時，因為，所以，所以為鈍角，可得，因為，所以為最小角，邊長最小，由正弦定理得，解得；若為鈍角，則由，所以，此時，因為，所以為鈍角，這樣內角和大于，故不是鈍角，綜上所述，.故選：A.題型二：判斷三角形的形狀【典例21】在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以由正弦定理得，因為，所以，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形.故選：D【典例22】在中，（分別為角的對邊），則的形狀為（

）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】因為，所以，整理得到，又由正弦定理，得到，所以，得到，又，所以，得到，又，所以，故選：B.【變式21】已知的三內角所對的邊分別是，設向量，若，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由題意，向量，且，則，故，整理得到，故，故或，即或，故的形狀為等腰或直角三角形.故選：D.【變式22】中，角的對邊分別為，且，則的形狀是（

）A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，因為在中，則，則，即，即，因為，則當時，即時，上式成立，此時為直角三角形；當時，即時，則有，因為，則，此時為等腰三角形；綜上，為等腰三角形或直角三角形.故選：B.【變式23】在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則（

）A．為直角三角形 B．為銳角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定【答案】A【解析】由，可得，則，，，即，由，故只能為銳角，可得，因為，所以，.故選：A.題型三：正弦、余弦定理在實際中的應用【典例31】圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為．【答案】54m【解析】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案為：54m.【典例32】如圖，為測量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角，C點的仰角以及；從C點測得，已知山高，則山高m．【答案】【解析】在中，因，則，在，，則，由正弦定理可得，即，解得，在中，，，則．所以山高為.故答案為：.【變式31】某課外活動小組，為測量山高，如圖，他們在山腳處測得山頂的仰角為，沿傾斜角為的斜坡前進后到達處，又測得山頂的仰角為，則此山的高度約為.【答案】【解析】過點D作，交BC于E，因為，所以，則.又因為，所以在中，由正弦定理，得，在中，，故山高度約為.故答案為：【變式32】如圖所示，某學校花園的平面圖是呈圓心角為120°的扇形區域，兩個涼亭分別座落在點及點處，花園里有一條平行于的小路；已知某人從涼亭沿小路走到點用了3分鐘，從點沿走到涼亭用了5分鐘；若此人步行的速度為每分鐘60米，則該花園扇形的半徑的長為米（精確到1米）．【答案】267【解析】設該扇形的半徑為米，連接.由題意，得(米)，（米），在中，即解得（米).故答案為：267.【變式33】如圖，點是海上的一個鉆井平臺，甲船?乙船?丙船分別位于點三個位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正東方向，且海里，海里，若海里，則丙船到鉆井平臺的距離為海里．

【答案】【解析】設，則，在中，由正弦定理可得，可得，所以，則，所以海里，，在中，由余弦定理得，即丙船到鉆井平臺的距離為海里．故答案為：.題型四：三角形多解問題【典例41】在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，根據下列條件解三角形：①，，；②，，.則（

）A．①只有一個解，②有兩個解 B．①有兩個解，②只有一個解C．①②都只有一個解 D．①②都有兩個解【答案】A【解析】對于①：由正弦定理可知，因為，所以，則①只有一個解；對于②：由正弦定理可知，且，則有兩解，因此②有兩個解；故選：A【典例42】在中，角的對邊分別為，，，若，，只有一個解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的外接圓的半徑，如圖所示，,是圓的直徑.可知點在優弧上（不包括端點），當為時，此時取到最大值；當點從點A到時，此時越來越大，且；當點從點到C時，此時越來越小，且；綜上所述：若只有一個解，則的取值范圍為.故選：D.【變式41】已知的內角，，所對的邊分別為，，，若滿足條件，的有兩個，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由正弦定理得，則，由滿足條件，的有兩個，得，且，即，因此，所以.故選：A【變式42】在中，，，分別為角，，所對的邊，已知，，，若滿足條件的角有兩個不同的值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理，可得，所以，若滿足條件的角有兩個不同的值，即三角形有兩解，因為，所以，即，解得.故選：.【變式43】在中，三個內角對應的邊為，且．若僅有唯一解，則下列關于的取值不一定成立的是（

）A．或 B．C． D．【答案】B【解析】由正弦定理得：，所以，因為，所以，因為僅有唯一解，所以的值確定，當時，僅有唯一解，此時，則，當時，，僅有唯一解，此時，當，且時，有兩解，不符合題意，綜上：若僅有唯一解，則或.故選：B．題型五：三角形范圍與最值問題【典例51】銳角面積為，角的對邊分別為，且.(1)求證：；(2)求的取值范圍．【解析】（1）由可得，，故，，，由于，由于為銳角三角形，因此，故.（2）,由于，所以，故，.【典例52】在銳角中，角所對的邊分別為，且.(1)求；(2)若，求周長的取值范圍.【解析】（1）在銳角中，因為，所以由正弦定理得，故，得到，化為，故得，化簡得，即，由余弦定理得，因為，所以.（2）因為，由正弦定理得，所以，且設周長為，所以，，，因為在銳角中，所以，所以，解得，綜上可得，所以，故，則，得到，即，故周長的取值范圍為.【變式51】如圖，在中，點在邊上，．(1)若，，，求；(2)若是銳角三角形，，求的取值范圍．【解析】（1）在中，由余弦定理得，即，即，而，解得，則，在中，，由余弦定理得.（2）在銳角中，，，且，則，由正弦定理得，顯然，即有，因此，即，所以的取值范圍是.【變式52】在中，內角、、的對邊分別為、、，且.(1)求的值；(2)若是銳角三角形，，求的取值范圍.【解析】（1）因為，由余弦定理可得.（2）因為，，則，由正弦定理可得，所以，，因為為銳角三角形，則，解得，所以，，則，故.即的取值范圍是.【變式53】在中，角，，的對邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，為邊上一點（不同于，兩點），，求的面積的取值范圍.【解析】（1）因為，所以由正弦定理可知，因為，整理得，因為，所以，所以，即，又因為，所以．（2）如圖，設，，由正弦定理有，得，因為，所以，所以，在中，由余弦定理可知，，即，解得或．若，，則的面積為：，即；若，則，則，因為，所以，綜上可得的面積的取值范圍為.題型六：圖形類問題【典例61】如圖，在平面四邊形中，與的交點為E，平分，，．(1)證明：；(2)若，求．【解析】（1）如圖，由題意知，則，由余弦定理得，即，整理得，因為，所以．（2）因為，所以，因為，所以，所以．又因為，，所以四邊形是等腰梯形，所以．設，則，解得．．在中，由正弦定理可得，又因為，所以．【典例62】如圖所示，在中，設分別為內角的對邊，已知，．(1)求角；(2)若，過作的垂線并延長到點，使四點共圓，與交于點，求四邊形的面積．【解析】（1）由，聯立方程組，解得，不妨設，可得由余弦定理得，因為，所以.（2）由，由（1）知，可得，因為過作的垂線并延長到點，使四點共圓，在直角中，可得，則，因為，可得，在直角中，可得，即，所以，所以，所以四邊形的面積為.【變式61】在四邊形中，，記，，的角平分線與相交于點，且，.(1)求的大小；(2)求的值.【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，因為，兩式相除得，所以，又因為，可得，所以.（2）因為，所以，又因為平分，可得，因為，且，，所以，即，解得，在中，由余弦定理得，所以.【變式62】如圖，在梯形ABCD中，，，(1)求；(2)求BC的長．【解析】（1）在中，，，則、均為銳角，則，，.（2）在中，由正弦定理得，，由，得，在中，由余弦定理得：，所以.【變式63】在中，.(1)求角B的大小；(2)若E為的中點，F是邊上的點，且滿足，，求的值.【解析】（1）由，得，即，所以，又，所以，所以，所以；（2）由及正弦定理可得：，又，所以，如圖以點為原點建立平面直角坐標系，設，則，則，所以，設，則，因為，所以，解得，所以.題型七：角平分線問題、中線問題、高問題【典例71】在中，.(1)求；(2)若的邊上的高等于，求.【解析】（1）由題意，，解得（2），結合，解得，又，則，得，根據三角形的面積公式，，解得，不妨設，由余弦定理，，則，再由余弦定理，【典例72】設三角形的內角的對邊分別為且.(1)求角的大小；(2)若邊上的高為，求三角形的周長.【解析】（1）因為為三角形的內角，所以，因為，所以可化為，即，即，又易知，解得，即.（2）由三角形面積公式得，代入得：，所以，故為正三角形，，周長等于【變式71】已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且．(1)求A；(2)若．再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求b，c．條件①：中線AD長為；條件②：△ABC的面積為．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【解析】（1）中，已知，由正弦定理得，又，則有，由，，得，則有，由，有，所以，得．（2）若選擇條件①：由，余弦定理得，由，有，得，由，解得：，或，．若選擇條件②；由，得，△ABC的面積，得，由，解得：，或，．【變式72】在中，內角所對的邊分別是，且，.(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線長；(3)求邊上的中線的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，所以，又，所以，又，所以；（2）由及余弦定理得，即，又因為，所以，所以，所以，即；（3）因為E是AC的中點，所以，則，由正弦定理得，，即，因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即邊上的中線的取值范圍為.【變式73】的內角所對的邊分別為，且(1)若，求在上的投影向量；（用向量表示）(2)若，，為的平分線，為中線，求的值.【解析】（1），解得，又，故.因為在中，，而，即，所以投影向量為.（2），由可得，，所以.題型八：三角形中的面積與周長問題【典例81】在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)若，且的面積為，求的周長.【解析】（1）由，得，即且，則.（2）因為，所以，解得，由余弦定理得，所以，所以的周長為.【典例82】①，②，③三個條件中任選一個，補充