第08講二項式定理【人教A版2019】模塊一模塊一二項式定理1．二項式定理一般地，對于任意正整數n，都有

.(*)

公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(k∈{0,1,2,,n})叫做二項式系數，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：.2．二項展開式的規律

(1)二項展開式一共有(n+1)項.

(2)(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.

(3)每一項中a和b的冪指數之和為n.3．二項展開式中的通項問題的求解方法：求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等)，解出項數k+1，代回通項公式即可.【題型1求二項展開式】【例1.1】（2324高二下·北京通州·期中）二項式x+23的展開式為（

A．x3+6xC．x3+12x【例1.2】（2324高二下·江蘇南京·期中）化簡x+14?4x+1A．x4 B．x?14 C．x+14 【變式1.1】（2024·湖南·模擬預測）下列不屬于x?23的展開式的項的是（

A．x3 B．6x2 C．12x【變式1.2】（2324高二下·遼寧朝陽·期中）化簡16?32x+24x2?8A．x4 B．2?x4 C．2+x4【題型2求展開式的特定項或特定項的系數】【例2.1】（2324高二下·廣東茂名·期中）x?12x10A．210 B．252 C．?638 【例2.2】（2324高二下·山西呂梁·期末）若x+mxx?1xA．2 B．3 C．2 D．3【變式2.1】（2324高二下·內蒙古赤峰·期中）2x?1x5的展開式中xA．?80 B．?40 C．40 D．80【變式2.2】（2324高二下·河北保定·期末）9x+8x5的展開式中含xA．C52×C．C51×模塊二模塊二二項式系數的性質1．二項式系數的性質(1)楊輝三角——二項式系數表

當n依次取1,2,3,時，觀察的展開式的二項式系數：從中我們可以看出，左側三角是根據二項式定理得到的，右側三角是算出對應的組合數的值后所得結果，由此我們可以發現以下性質：

①每一行中的二項式系數是對稱的，如第一項與最后一項的二項式系數相等，第二項與倒數第二項的二項式系數相等.

②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和.

③從第二行起，每一行的二項式系數從兩端向中間逐漸增大.

④第一行的兩個數之和為，第二行的三個數之和為，，第六行的各數之和為，，第n行的(n+1)個數之和為.(2)二項式系數的性質對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等(即)增減性當時，二項式系數逐漸增大；當時，二項式系數逐漸減小，因此二項式系數在中間取得最大值最大值當n是偶數時，展開式的中間一項的二項式系數最大；當n是奇數時，展開式的中間兩項與的二項式系數，相等且最大各二項式

系數的和2．兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.3．二項式系數的最值問題的求法：

二項式系數最大項的確定方法：當n為偶數時，展開式中第項的二項式系數最大，最大值為；當n為奇數時，展開式中第項和第項的二項式系數最大，最大值為或.【題型3用賦值法求系數和問題】【例3.1】（2324高二下·新疆·期末）已知(2x+3)8=a0+A．215 B．216 C．217【例3.2】（2324高二下·山東泰安·期中）已知對任意實數x，(2x?1)8=aA．aB．aC．aD．a【變式3.1】（2324高二下·河北石家莊·期末）已知fx=2x?3(1)求a2(2)求a1(3)求a1【變式3.2】（2324高二下·浙江臺州·期中）已知2x?110=a(1)求a3(2)求a1(3)求a0【題型4多項式積的展開式問題】【例4.1】（2324高二下·山東菏澤·期中）x?yx+y4的展開式中x2A．?1 B．?2 C．?3 D．4【例4.2】（2324高二下·廣東梅州·期中）1+2x51?A．?42 B．?41 C．42 D．43【變式4.1】（2324高二下·云南大理·期末）1+x1?2x5的展開式中x2A．?40 B．?10 C．40 D．30【變式4.2】（2024高三下·全國·專題練習）若x3+4xa+1x6的展開式中A．3?12 B．±314 C．【題型5三項展開式的系數問題】【例5.1】（2324高二下·重慶巴南·期中）x2?1A．544 B．559 C．495 D．79【例5.2】（2024·山東·二模）1+x?1y8展開式中xA．?840 B．?420 C．420 D．840【變式5.1】（2324高二下·山東棗莊·階段練習）求x2+x?2y5的展開式中xA．40 B．?40 C．120 D．?120【變式5.2】（2324高三上·河北保定·期末）2x2?3x+a5的展開式的各項系數之和為1，則該展開式中含A．?600 B．?840 C．?1080 D．?2040【題型6求展開式中系數的最大（小）項】【例6.1】（2024·河南安陽·二模）2x+y8的展開式中各項系數的最大值為（

A．112 B．448 C．896 D．1792【例6.2】（2324高二下·江蘇常州·期中）在3x?2y20的展開式中，系數絕對值最大項是（

A．第10項 B．第9項 C．第11項 D．第8項【變式6.1】（2324高二下·江蘇徐州·期中）已知2x+1(1)求展開式中含有x的項：(2)求展開式中系數最大項．【變式6.2】（2324高二下·福建福州·期中）在x?(1)求展開式中所有項的系數和；(2)求二項式系數最大的項；(3)系數的絕對值最大的項是第幾項?【題型7證明整除問題或求余數】【例7.1】（2324高二下·江蘇徐州·期中）已知a,b,m(m>0)為整數，若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm)．如9和21除以6所得的余數都是3，則記為9≡21(mod6)，若a=C240A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【例7.2】（2324高二下·四川廣元·階段練習）已知今天是周四，那么3141天后是（

A．周一 B．周三 C．周五 D．周日【變式7.1】（2324高二下·山東聊城·期中）已知1+xn3?1(1)求n；(2)證明：43n【變式7.2】（2324高二下·安徽·期中）若x+22023=a(1)求T的大小（用指數式表示）；(2)求2T除以4所得的余數．【題型8二項式定理與數列求和】【例8.1】（2024·江西·模擬預測）設2x2?17xA．21 B．64 C．78 D．156【例8.2】（2425高二·全國·課后作業）已知2?xnn≥2,n∈N，展開式中x的系數為fn，則A．2019110 B．2019505 C．10091010【變式8.1】（2324高二下·江蘇宿遷·階段練習）已知(1+x)2(1)求a1(2)①證明：1C2nk=2n+12n+21C2n+1k+②利用①的結論求1a【變式8.2】（2324高二下·江蘇·期末）記fn(x)=(x+1)(1)化簡：i=1n(2)證明：fn+1(x)+2fn+2(x)+?+k【題型9楊輝三角問題】【例9.1】（2425高二上·全國·隨堂練習）楊輝三角在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個數是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【例9.2】（2324高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發起一批又一批數學愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（

）A．CB．第2023行中從左往右第1013個數與第1014個數相等C．記第n行的第i個數為ai，則i=1D．第20行中第8個數與第9個數之比為8:13【變式9.1】（2425高二上·上海浦東新·期中）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律，它的許多性質與組合數的性質有關，圖1為楊輝三角的部分內容，圖2為楊輝三角的改寫形式(1)求圖2中第11行的各數之和；(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數一直取到第100行的第3個數，求取出的所有數之和；(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數之比為3:8:14？若存在，試求出這三個數；若不存在，請說明理由.【變式9.2】（2024·四川內江·模擬預測）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家?教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律，它的許多性質與組合數的性質有關，圖1為楊輝三角的部分內容，圖2為楊輝三角的改寫形式(1)求圖2中第10行的各數之和；(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數一直取到第15行的第3個數，求取出的所有數之和；(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數之比為3:8:14？若存在，試求出這三個數；若不存在，請說明理由.一、單選題1．（2324高二下·天津西青·期末）(x?1)10的展開式的第7項的系數為（

A．C107 B．C106 C．2．（2324高二下·新疆克孜勒蘇·期中）若(x+3x2A．9 B．10 C．11 D．123．（2324高二下·河北秦皇島·階段練習）985+211被10除所得的余數為（A．1 B．2 C．0 D．94．（2324高二下·新疆克孜勒蘇·期末）已知(x?1)n的二項展開式中二項式系數和為32，若(x?1)n=a0A．80 B．192 C．?192 D．?805．（2024·湖南衡陽·一模）(x2?1xA．30 B．?30 C．60 D．?606．（2324高二下·全國·單元測試）已知二項式ax+13xn(a>0)的展開式奇數項的二項式系數和為256，展開式中xA．1 B．14 C．2 D．7．（2324高二下·天津濱海新·期中）已知f(x)=(2?x)8=A．aB．f(?1)除以5所得的余數是1C．aD．a8．（2425高二下·山東·階段練習）“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示，則下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（

）A．在第10行中第5個數最大B．第2023行中第1011個數和第1012個數相等C．CD．第6行的第7個數、第7行的第7個數及第8行的第7個數之和等于9行的第8個數二、多選題9．（2324高二下·河北石家莊·階段練習）在x?12xA．所有系數的絕對值之和為129 B．xC．系數最大項為第3項 D．有理項共有5項10．（2324高二下·貴州安順·期中）關于x2A．所有項的二項式系數和為64 B．所有項的系數和為0C．常數項為?20 D．系數最大的項為第3項11．（2324高二下·江蘇徐州·期中）已知1?2x2021=aA．展開式中所有項的系數和為?1B．展開式中二項系數最大項為第1010項C．aD．|三、填空題12．（2324高二下·福建福州·階段練習）若2x?m(x?1)5的展開式中x3的系數為40，則實數m=13．（2425高三上·上海·開學考試）設x∈R，若(3+x)5=a0+a14．（2324高二下·山東菏澤·期中）如圖，在由二項式系數所構成的楊輝三角形中，第行中從左至右第11與第12個數的比為1∶2．四、解答題15．（2425高二上·福建龍巖·階段練習）已知x+1(1)求展開式中的常數項；(2)求展開式中系數最大項．16．（2024高三·全國